教学课件《断裂力学》

断裂力学航天科学与力学系

绪论

1.断裂力学的产生1.1二战前的断裂力学相关历史信息按照以前制订的许用应力值设计的工程结构，出现了不少事故。1912年4月14日，英国当时最大、最豪华的46000t的英制邮轮“泰坦尼克”号，在首航中失事了，使1513人丧生。泰坦尼克号的失事就是由于轮船碰在冰山上，再加上材料的冷脆性而发生的，这一点在它失事后的30多年才搞清楚。类似的事故在压力容器、输油管、涡轮机等方面也都有惨痛的教训。从20世纪20年代开始，人们注意到金属与其他材料，特别是对于例如玻璃一类脆性材料的理论强度与实际强度之间有很大差别.1921年，英国学者格里菲思(A．A．Griffith，1893-1963)首先分析了这个问题，他从分析带有椭圆孔的无限人平板的应力场着手，当椭圆的短轴趋于零时，椭圆孔便趋于一条裂纹，这时裂纹尖端的应力趋于无穷增大。Griffith计算出由于孔的存在，厚度为1的平板应变能将减少量。他认为裂纹开裂时表面张力增加的能量应当与裂纹存在弹性体减少的能量相抵，进而得出裂纹长度与载荷的定量关系。Griffith还进行了玻璃管的实验，事先在玻璃管上用金刚钻刻裂纹．实验结果与理论吻合很好。1.2二战以来的若干断裂事故1943-1947年,美国近500艘全焊船1000多起脆性破坏，238艘报废。总是在焊接缺陷等应力集中区域，-3~4°C水1947年，苏联4500m3石油储罐，-43°C，底部和下部壳连接处，大量裂纹。（低温、脆性、焊点应力集中、内外温差）五十年代，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体试验，发生爆炸。高强度合金，传统强度和韧性指标合格，爆炸时工作压力远低于许用应力。（裂纹）1963年，美国F-111飞机训练中，左翼脱落，飞机坠毁，而当时飞行速度、负荷远低于设计指标。（热处理不当、机翼枢轴出现缺陷，疲劳载荷，裂纹）单击添加大标题从20世纪20年代开始，人们注意到金属与其他材料，特别是对于例如玻璃一类脆性材料的理论强度与实际强度之间有很大差别.1921年，英国学者格里菲思(A．A．Griffith，1893-1963)首先分析了这个问题，他从分析带有椭圆孔的无限人平板的应力场着手，当椭圆的短轴趋于零时，椭圆孔便趋于一条裂纹，这时裂纹尖端的应力趋于无穷增大。Griffith计算出由于孔的存在，厚度为1的平板应变能将减少量。他认为裂纹开裂时表面张力增加的能量应当与裂纹存在弹性体减少的能量相抵，进而得出裂纹长度与载荷的定量关系。Griffith还进行了玻璃管的实验，事先在玻璃管上用金刚钻刻裂纹．实验结果与理论吻合很好。A380裂纹事故为了修理空客A380的机翼裂纹，空客公司不得不支付1亿欧元的巨额账单

图片来源：《法兰西晚报》空客项目副总裁汤姆・威廉斯在一份声明中说，A380型客机机翼内部大约4000个支架的铝合金选材不当以及设计缺陷致使支架所承压力过大，显现裂纹。空中客车公司25日证实，设计和制造缺陷导致一些处于运营状态的A380型客机机翼部件出现裂纹。一些空客员工说，多数接受检查的A380机翼部件可能出现一种类型的裂纹。

二战前后一系列严重灾难，这些事故中毁坏的结构是经过传统强度理论严格设计的，为什么不断出现断裂呢？（屈服），为屈服应力，塑性材料（破坏），为强度极限，脆性材料

循环加载

这些结构大多由高与超高强度材料制造，高强度刚屈服应力，而普通钢仅200MPa，且材料韧性也很好(材料可按延伸律分为脆性和韧性两大类，5％为界限)1.2事故原因分析及断裂力学研究目的上述典型事故中，脆性断裂总是由宏观裂纹引起的；这些裂纹要么由冶金夹杂物及加工和装配引起，要么由疲劳载荷及工作环境引起；对于大多数结构和零件来说，宏观裂纹的存在是不可避免的；含裂纹材料的强度，取决于材料对裂纹扩展的抗力，这种抗力由材料的内部属性决定。断裂力学的目的：就是应用弹塑性理论和新的实验技术，研究裂纹尖端附近的应力、应变场和裂纹的扩展规律。2.断裂力学的研究对象2.1宏观裂纹产生和发展的几个研究阶段：断裂力学的理论基础：弹性力学塑性力学粘弹性力学…断裂力学是材料力学的发展和补充，但两者的设计思想不同2.2断裂力学和材料力学的差别

注意：由于断裂力学考虑了裂纹，根据裂纹失稳准则得到的断裂应力与传统强度条件得出的结果不一定相同。

1）静载荷情况2）循环载荷情况传统的疲劳设计，是用光滑试件作S－N曲线，求出下界限应力疲劳极限。如果最大工作应力满足下式为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。

断裂力学认为：含裂纹构件，只有裂纹未达到临界长度仍可使用；在循环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。选用指标：载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩展的能力。

断裂力学区分两种寿命，材料的断裂寿命为－裂纹发生寿命，－剩余寿命。若初始裂纹深度为，临界裂纹深度为，裂纹扩展速率剩余寿命：实验得到：为循环载荷的最大与最小应力强度因子的差，或应力强度因子幅度

2）循环载荷情况3）腐蚀介质下的情况总之：断裂力学抛弃了物体的连续性假设,而从物体中含有裂纹这一前提出发,以弹性力学和塑性力学为理论工具,确定含裂纹体的应力场、位移场分布,据此找出决定位移扩展的物理量,同时,通过试验测定出材料抵抗裂纹扩展的纯力,并建立二者之间的关系,即建立断裂准则2.3断裂力学的研究对象3.断裂的分类针对晶体材料分析:结晶体:由原子(或离子、分子)规则排列形成.

解理断裂:金属在一定条件下,当应力达到一定数值时,便以极快的速度沿一定的结晶学平面发生断裂.断裂面平滑而光亮.

解理断裂是脆性断裂.解理断裂通常是由于解理面的正应力的作用破坏了晶体原子间的合力而引起的.3.1断裂的晶体学分类

——晶体学解理断裂与滑移断裂

滑移断裂:受剪应力作用破坏了晶体原子间的结合力而引起的断裂.

特点:断口黑暗,鹅毛装或纤维状,断裂面与拉伸轴成一定角度,断裂发生前,发生了明显的塑性变形.3.2断裂的工程学分类——脆性断裂与韧性断裂韧性材料:

脆性断裂:平齐而光亮,且与正应力垂直.断口上呈现人字纹 或放射花样,基本上没有塑性变形.

韧性断裂:断裂前发生明显的宏观塑性变形,灰暗色,纤维状.缺口试件在冲击载荷下破断试验得到的缺口韧性值来衡量.脆性材料:脆性断裂韧性断裂判断断裂韧性的指标裂纹扩展前裂纹尖端无塑性区,或塑性区尺寸远远小于裂纹长度.K准则和G准则.发展成熟,理论简单,基础较牢固.4.断裂力学的研究内容4.1.线弹性断裂力学4.3.断裂动力学裂纹快速传播过程中,必须考虑材料的惯性效应.4.2.弹塑性断裂力学断裂前断裂尖端处的塑性区足够大.COD(裂纹尖端张开位移)理论,J积分理论在工程上已应用,但完善程度不够.22第一章线弹性断裂力学

23线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：1).能量平衡的观点:认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；2).应力场强度的观点:认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。

§1.1能量平衡理论24

取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉长后固定两端。板受均匀拉伸应力作用，则板内储存的应变能为1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得到Griffith裂纹。1.能量释放率与G准则中心割开一个裂纹，那么由于裂纹表面应力消失，放出部分应变能。

§1.1能量平衡理论25对于平面应力状态释放出的部分弹性应变能为

（根据椭圆孔的解答算出）（由于有Inglis的解，上述计算是初等的，但Griffith接着提出了一个大胆的创新思想，即裂纹的出现使固体材料出现了一个新表面，此表面和液体表面一样具有表面能，系统所释放的能量U的一部分将转化为表面能。）裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为γ——形成单位面积表面所需要的表面能4aB——上下表面的面积和。1能量释放率与G准则26临界状态：应变能释放率=形成新表面所需要吸收的能量率稍有干扰，裂纹就自行扩展，成为不稳定。1能量释放率与G准则27应变能释放率能量吸收率I代表I型裂纹，那么裂纹的临界条件为临界状态裂纹稳定裂纹不稳定

1能量释放率与G准则28对于平面应力问题，临界条件或临界应力：表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值——剩余强度。1能量释放率与G准则29临界裂纹长度

对于平面应变有Griffith判据如下：超过临界应力(2)当裂纹尺寸超过临界裂纹尺寸脆性物体断裂1能量释放率与G准则(1)当外加应力30Orowan与Irwin对Griffith理论的解释与发展

Orowan在1948年指出:金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为P剩余强度和临界裂纹长度抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能1能量释放率与G准则31例如：设裂纹扩展单位面积所需要的塑性变形能为P,则对金属p比大几个数量级，可以忽略不计相应的剩余强度和临界裂纹长度分别为对于含中心裂纹的无限大金属板的临界条件为1能量释放率与G准则32Irwin在1948年引入记号外力功释放出的应变能能量释放率能量释放率也称为裂纹扩展能力

准则临界值Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形.1能量释放率与G准则33前面仅是以固定边情况为例。对于一般约束情况，具有更广泛的物理意义。

取一厚度为B的板，中心有穿透裂纹长度为2a，载荷P，面积A=2aB。在裂纹长度不变的情况下，P与作用点位移Δ成正比将板拉长后固定两端。下图中直线的斜率为刚度系数，其倒数λ为柔度系数（柔度），等于单位载荷下的位移。当裂纹面积增加时，弹性裂纹体刚度下降，柔度增加，即弹性曲线斜率减小。下面需要分析三种不同边界条件的情况2G1的柔度公式341）固定位移情况在图中体系应变能减少，释放出的应变能作为裂纹扩展所需的功。应变能增加量=2G1的柔度公式35在图中，体系应变能增加，载荷作的功一半用于增加系统应变能，一半作为剩余功用于裂纹扩展。将上述两种情况的统一写成应变能增加量=矩形(外力功)-2G1的柔度公式（固定边取负固定力取正）用于裂纹扩展的能量=2）固定载荷情况

36裂纹扩展时，载荷对位移曲线从a变化到f，其斜率为3)弹性约束情况对于一般弹性条件，可看成弹性约束，简化为裂纹体与弹簧串联的力学模型。弹簧柔度系数2G1的柔度公式37上式称为应变能释放率的柔度表达式。那么知道了载荷与柔度随面积的变化率，可以计算出系统推动裂纹扩展的有效能量为外力功与应变能增加（或减少）之差（或和）对前两种情况，则由2G1的柔度公式381.裂纹的类型a.按裂纹的几何类型分类穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹.深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.§1.2裂纹尖端附近的应力场和位移值

39b.按裂纹的受力和断裂特征分类张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.1.裂纹的类型撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.引申……402.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场

设无限大板含长2a的中心裂纹，受双轴拉力，如图:41

按弹性力学的平面问题求解，得出裂纹尖端附近的应力场和位移场——剪切模量(1-16)(1-17)2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场42

各式中共有的系数，称为裂纹尖端应力强度因子，简称应力强度因子。对于无限大板有中心裂纹受双轴拉应力的情况:公式(1-16)和(1-17)的推导如下:第一步：解I型Westergaard应力函数

弹性力学平面问题（见书附录），归结为选取一个应力函数使其满足边界条件和双调和方程:微分算子2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场43

取一复变解析函数,令其一次积分和二次积分的实部和虚部组合成应力函数,则:容易证明是一个双调和函数。各应力分量表达式：柯西黎曼条件2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场简化44柯西黎曼条件补充复变函数知识45将上面两式代入应力表达式同理(自行推导)可得：2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场46求出了应力分量表达式，把其代入材料的本构方程和几何方程，可得到位移分量：

平面应力

对平面应变：

通过以上推导可知，求应力和位移，不需找出应力函数，只需选择，并使其满足边界条件。2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场47在处第二步：选I型裂纹的边界条件：在处选取如下：能够满足全部边界条件2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场我们可以考察一下48在裂纹表面处虚数！注意：2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场无穷远处裂纹表面49将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标当趋于常数,设:，右裂尖附近,在很小范围内时2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场50第三步：用求I型裂尖附近的应力场和位移场

应力强度因子是在裂尖时存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有下面近似关系：以极坐标表示复变量把上面两式代入前面应力表达式中，并利用就可得裂尖应力和位移场得表达式(1-16)、(1-17)。2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场注意：51

按弹性力学的平面问题求解，得出裂纹尖端附近的应力场和位移场——剪切模量(1-16)(1-17)2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场523滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移

设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用按弹性力学平面问题求解，可得出裂纹尖端附近应力场和位移场.53公式(1-35)和(1-36)的推导如下(1-35)(1-36)3滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移对无限大平面问题54第一步：解II型Westergaard应力函数求解方法与I型基本相同，1主要差别是无穷远处边界上受力条件不同。选取应力函数

进而可得到位移分量平面应变3滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移55第二步：选II型裂纹的边界条件：，在处在处选取能够满足全部边界条件。3滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移56在裂纹表面处虚数3滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移无穷远处57将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标当趋于常数,设:，右裂尖附近,在很小范围内时3滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移58第三步：用求II型裂尖附近的应力场和位移场

应力强度因子是在裂尖时存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有：若以极坐标表示复变量把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式则可得到3滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移594撕开型（III型）裂纹尖端附近的应力和位移

只在无限远处有沿z轴的均匀剪应力，即反平面问题或纯剪变形问题60按弹性力学反平面问题求解，得出裂纹尖端附近应力场和位移场公式(1-45)和(1-46)的推导如下(1-45)(1-46)4撕开型（III型）裂纹尖端附近的应力和位移61第一步：解III型Westergaard应力函数对反平面问题，位移，本构关系为

平衡方程为（拉普拉斯方程）

4撕开型（III型）裂纹尖端附近的应力和位移62选取解析函数，令

能够满足拉普拉斯方程。下面只需将所选函数能满足边界条件。利用本构关系和柯西－黎曼条件4撕开型（III型）裂纹尖端附近的应力和位移63第二步：选III型裂纹的选取在裂纹表面处

=虚数4撕开型（III型）裂纹尖端附近的应力和位移参考64当趋于常数,设:，右裂尖附近,在很小范围内时采用裂纹尖端坐标系4撕开型（III型）裂纹尖端附近的应力和位移65第三步：用求III型裂尖附近的应力场和位移场

应力强度因子是在裂尖时存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，若以极坐标表示复变量把上面两式代入前面应力表达式中，就可得裂尖应力和位移场的表达式。4撕开型（III型）裂纹尖端附近的应力和位移66注意：以上三种类型求解方法，仅适用于1）无限大板2）贯穿裂纹3）载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称675.应力强度因子通过前面的推导，各种类型裂尖应力和位移场可表示为

若上标写成II、III，代表II型或III型裂纹。可见应力场有如下三个特点：处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点；1）2）应力强度因子在裂尖为有限量；3）裂尖附近的应力分布是和的函数。68由上述裂尖应力场的特点，可认为：1）用应力为参量建立如传统的强度条件失去意义2）应力强度因子是有限量，它是代表应力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是合适的。

——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力——裂纹尺寸，即裂纹长或深——形状系数，与裂纹大小、位置有关应力强度因子一般形式：应力强度因子单位：

N.m-3/25.应力强度因子69§1.3脆性断裂的K准则1.应力强度因子与应变能释放率的关系

根据前面所述的应变能释放率公式与应力强度因子可以发现它们之间应有一定关系。这关系将进一步揭示应力强度因子的物理意义。

以张开型裂纹为例，由于应变能释放率代表裂纹扩展单位面积所释放的应变能。那么逆向思维一下……70

右图a所示裂纹原长为a，扩展微小长度（图b）后，释放出的能量可用从图b状态闭合到图c状态所作的功来计算。闭合时作用在裂纹上表面上x位置的应力由图b中的0值，逐渐增加到图a中的

利用上节的裂尖附近应力和位移场，可以计算使裂纹闭合单位面积所作的功，显然这部分功应该等于裂纹扩展单位面积所释放的能量。71由I型裂纹的应力表达式，当，时由图b看出，闭合时的位移最初为其中，注意：图b与图a的坐标原点不同。由I型裂纹的位移表达式：闭合后，位移为0。闭合过程中，应力在段所作的功为72闭合单位面积所作的功裂纹扩展单位面积所释放的能量=由于：可见，应力强度因子与应变能释放率有对应关系：不仅表示裂尖附近弹性应力场的强度，也可确定裂纹扩展释放的能量率，故：对于线弹性断裂问题，与等价1应力强度因子与应变能释放率的关系73

同理，对于II型和III型裂纹同样可得到类似关系

需要注意：对于I型和II型裂纹问题可分为平面应力和平面应变问题，而对于三型裂纹问题只是一种反平面问题。1应力强度因子与应变能释放率的关系742脆性断裂的K准则

在1.1节我们已经讲了脆性材料裂纹失稳扩展的临界条件为：75

由本节1中，可以得到以应力强度因子表示的裂纹失稳扩展的临界条件为：表示裂尖的应力强度因子达到时，裂纹失稳扩展。与都是材料常数，称为材料的平面应变断裂韧度。在线弹性条件下强调：

与概念不同，脆性断裂的K准则2脆性断裂的K准则

—断裂韧度，材料具有的一种机械性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力，由试验测定。

—是表示裂尖应力场强度的一个参量，可用弹性理论方法进行计算，由载荷及裂纹体形状和尺寸决定。76

根据实验和理论分析，断裂韧度随试件厚度增加而下降，如下图。需要注意：金属在平面应力条件下裂尖产生较大塑性变形，K准则（建立在线弹性断裂力学基础上）不适用，而要采用第三章的弹塑性断裂力学的断裂准则。但是当裂尖塑性变形区较小时，通过下一节的修正后，仍可用K准则。2脆性断裂的K准则1）薄板的裂尖处于平面应力状态，断裂韧度较高，裂纹不易扩展，用表示；2）随板厚增加，裂尖处于平面应变状态的部分增加，裂纹较易扩展，断裂韧度降低，当厚度降至一定值后，断裂韧度降至最小，称为平面应变断裂韧度，用表示。这是由于：77注意：对于线弹性断裂问题，采用G准则和K准则所得的结果是一样的。但是由于利用弹性理论可直接计算应力强度因子，而且试验测定比测定方便，故工程一般常用K准则。

根据K准则，可以计算剩余强度（临界应力）和临界裂纹长度，进行断裂安全分析。例如：对具中心裂纹无限大板，受双轴拉应力对于其它结构，表达式不同。2脆性断裂的K准则78§1.4线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广1裂纹尖端塑性区和等效模型的概念

线弹性断裂力学只适用于纯线弹性裂纹体。对绝大多数金属，裂尖附近由于应力集中，必形成塑性区。那么线弹性断裂力学能否继续使用呢？对于小范围屈服情况，如塑性区尺寸比裂纹长度小一个数量级，工程中一般仍用线弹性理论计算应力强度因子，不过要对应力强度因子进行修正。最常用的修正方法是等效模型法。Irwin假设I型裂纹的弹性应力场因塑性区的形成而发生平移。

裂纹平面内的法向应力，先不管塑性区的影响，当时，按线弹性解79

称为等效裂纹长度1裂纹尖端塑性区和等效模型的概念等效裂纹模型法指以代替原裂纹长，对应力强度因子进行修正。这说明，塑性区的存在相当裂纹长度增加，即裂纹体的柔度增加，因而裂纹的应变能释放率也增加。802塑性区的形状和尺寸

对平面应力情况，据材料力学公式，裂尖附近的主应力为：把前面求得的应力代入上式有利用VonMises屈服条件81利用上述两式可求出矢径与幅角的关系：据上式可以画出曲线。这条闭合曲线表示裂尖附近塑性区的周边形状，曲线上各点的相当应力等于屈服极限，内部各点超出屈服极限。未考虑应力松弛效应。当时，即裂纹面上同理，对于平面应变情况，主应力还有2塑性区的形状和尺寸82利用VonMises屈服条件取，塑性区周边如下图虚线所示当时，即裂纹面上由图可见，平面应变的塑性区远比平面应力的小，原因是：平面应变状态下，沿厚度方向约束所产生的是拉应力，在三向拉伸应力状态下，材料不易屈服而变脆。2塑性区的形状和尺寸83下面取一厚板举例说明：厚板厚度中心部分受Z向约束大，处平面应变状态，接近表面，约束小，处平面应力状态2塑性区的形状和尺寸843应力松弛的修正

由于上述分析未考虑塑性区内塑性变形引起的应力松弛，结果使得到的塑性区偏小。若考虑，塑性区则要扩大。下面粗略估计。85

应力松弛发生前，应力分布为弹性解FBD虚线，发生应力松弛后，应力分布由AC和CE两段实线组成，CE为平移后的弹性解，AC为理想塑性屈服极限。据力平衡，发生应力松弛前后，沿X轴合力应该相等，即虚线下应力的积分应该与实线下的积分和相等。已假定CE与BD下应力积分相等，只需FB下应力积分等于AC下应力积分，即3应力松弛的修正86补充说明：如何而来？因为平面应变下，沿板厚在第三向拉应力,三向拉伸应力作用下,材料不易屈服,即材料的有效屈服应力比单向拉伸屈服应力要高,而平面应力条件下,有效屈服应力证明：设是最大主应力,,,代入mises准则设塑性约束系数3应力松弛的修正87对Ⅰ型裂纹平面应变:在x轴上,若取,则,即对平面应力3应力松弛的修正88把塑性区中最大应力叫做有效屈服应力,用表示,表面平面应变在的平面上,屈服区内最大应力是的三倍.实际一般试件表面是处于平面应力,只有中心部分才是平面应变,故平均约束系数,实验测定,用环形切口圆棒试件所做的拉伸试验,在三向拉伸状态下：一般取3应力松弛的修正89

应力松弛发生前，应力分布为弹性解FBD虚线，发生应力松弛后，应力分布由AC和CE两段实线组成，CE为平移后的弹性解，AC为理想塑性屈服极限。据力平衡，发生应力松弛前后，沿X轴应力的和应该相等，即虚线下应力的积分应该与实线下的积分和相等。已假定CE与BD下应力积分相等，只需FB下应力积分等于AC下应力积分，即3应力松弛的修正90R－塑性区尺寸，－塑性区中y轴方向的应力。对于平面应力情况，当跟据Mises条件，即单向拉伸时的屈服极限。把，代入上面的积分可见，应力松弛使塑性区尺寸增加一倍。3应力松弛的修正91对于平面应变情况，当据Mises条件，把代入上面的积分可见，平面应变状态下，若考虑塑性区应力松弛影响，塑性区尺寸同样增加一倍。上述结果，是偏安全的近似解。3应力松弛的修正924等效裂纹长度与应力强度因子应力强度因子裂纹尖端应力场强弱的标志。

取等效裂纹长度，令等效裂尖附近应力场的线弹性理论分布曲线在原裂纹塑性区边界C1即在处的应力等于又因为，所以有——应力松弛后的应力强度因子。93平面应力下，有代入上式，并近似设平面应变下，按4等效裂纹长度与应力强度因子94另外，若按一般采用的公式则：继而按等效裂纹长度计算等效应力强度因子，一般工程应用中，取，又因，用等效裂长代替，则有：对于平面应变情况，代入相应的，得4等效裂纹长度与应力强度因子95同理可得平面应变状态下应力强度因子

可见两种状态下应力强度因子都扩大。上述结论都是近似的，我们假设了，且未考虑等效裂长对形状因子Y的影响。对于复杂问题要用逐次逼近法求，具体步骤见书。4等效裂纹长度与应力强度因子96§1.5复合型最大准则在复合型裂纹问题中，需要研究两个问题：1裂纹沿什么方向开裂（开裂角）；2裂纹在什么条件开裂（断裂准则）。国内外的复合型断裂准则，不外从三方面分析：1）以应力为参数2）以位移为参数3）以能量为参数结果有一定差异，重点讲几种。971最大应力准则Erdogan和G.C.Sih（1963）根据具有中心斜裂纹承受均匀拉伸的树脂玻璃板的实验结果，提出最大周向应力复合型断裂准则，简称最大应力准则。对于I－II复合型问题，裂尖附近应力场由叠加而成按材料力学方法，可得到上式的极坐标形式98（1-89）rθ裂尖场极坐标系99最大应力准则的基本假定：1）裂纹沿最大周向应力方向开裂2）当此方向的周向应力达临界值时，裂纹失稳扩展。由准则的基本假定1）得到开裂角（开裂方向与裂纹面的夹角）?100

上式只是确定开裂角的必要条件，周向应力达到最大值还要满足对的二阶导小于0.注意：根据假定2）确定开裂条件，设当沿方向的周向应力达到临界值裂纹失稳扩展(1-93)讨论：其中一般由I型条件给出，见下页对于纯I型，，，故根号前必须取正，则已知和，由上式可得开裂角。101为了与I型的K准则对应，把上式左端看作相当应力强度因子，则上式变为于是复合型裂纹问题形式上化为当量I型裂纹问题。因为和与裂纹尺寸和外载有关，故按(1-94)可确定临界裂纹尺寸和临界载荷。

的确定把代入临界失稳条件

(1-94)1022几种尖端情况1）纯I型情况：说明复合型最大应力准则在纯I型时即K准则。2）纯II型情况：即103若给定，确定后，可得：3）无限板中斜裂纹受拉力情况斜裂纹与铅直线成角，长2a，受拉应力σ把正应力沿裂纹面分解为正应力和剪应力104最大周应力准则的优缺点最大周应力准则的优点：1）比较简单2）当复合型中的II型成份不大时与实验结果很接近最大周应力准则的缺点：1）该准则没有综合考虑其他应力分量的作用2）该准则不能把平面应力和平面应变两类问题区分开3）当II型成份比较大时，与实验结果差别大1053复合型最大应力准则的修正准则修正准则2(王铎和杜善义提出)：1）假定裂纹沿裂纹尖端塑性区边界上最大周向应力的方向开裂2）开裂条件：假定沿此方向的周向应力达到某临界值时开裂修正准则1：1）假定裂纹沿裂尖附近等应变能密度线上最大周向应力的方向开裂2）开裂条件：假定沿此方向的周向应力达到某临界值时开裂106§1.6复合型的能量准则1应变能密度因子准则由弹性力学理论知道，弹性体的应变能密度为：其中系数都是材料常数和角度的函数。和K类似，S描述裂尖应力、应变场的应变能强度，是有限量，而W有奇异性。107S准则的基本假设是；1）裂纹沿S的极小值方向开裂，即开裂方向有2）当达到临界值，裂纹失稳扩展。

与和一样是材料常数，标志材料抵抗裂纹扩展的能力例题1：纯I型情况下，确定与的关系例题2：纯II型情况下，确定与的关系1应变能密度因子准则S可以看做一种裂缝开展的阻力，而裂缝则企图寻找阻力最小的方向进行扩展。1082应变能释放率准则1）裂纹沿G的最大值方向开裂，即开裂方向有2）在此方向上应变能释放率达到临界值时，裂纹开始失稳扩展。，109§1.7求应力强度因子的各种计算方法由应力强度因子表达的脆性断裂准则为进行断裂安全分析时1）需要计算构件的值——由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式决定；2）测定材料的。用实验测定材料的时，必须首先确定试件的标定式。因此，计算各种构件的应力强度因子，是线弹性断裂力学的一项重要任务。求应力强度因子的方法有：解析法数值解法实验标定方法等110

解析法只能计算简单问题，大多数问题需要采用数值解法。工程中——广泛采用有限元法，而且随着计算机技术的发展，能够计算越来越复杂的问题。另外，还可通过光测弹性力学实验方法或其它实验方法测定。本章介绍几种常用的应力强度因子的计算方法，主要有：普遍形式的复变函数法；积分变换法；有限元法；

其它求应力强度因子的方法，及工程估算和实验方法可查阅有关文献。§1.7求应力强度因子的各种计算方法1111普遍形式的复变函数法

前面用Westergard应力函数法是用复变函数求解应力强度因子的特殊方法，更普遍的复变函数法是柯洛索夫-穆斯海里什维利（Kolosov-Muskhelishvili）应力函数法。【详细推导见《数学弹性力学的几个基本问题》——Muskhelishvili，1958】课堂只介绍其结果在二维裂纹问题中的应用。应力函数表达式为：其中，为复变解析函数；

为的共轭复变解析函数，表示为112平面应变情况下的应力和位移可表示为：以上是常用的柯洛索夫-穆斯海里什维利公式。

设有I型和II型混合型裂纹问题，取复变函数形式的应力强度因子为：（a）（2-2）1普遍形式的复变函数法113由式(a)和(b)，得（b）（c）为裂纹右端的坐标，实际上，将(c)式右端展开，实部就是（b）式右端。1普遍形式的复变函数法由第一章的公式知：114（d）(2-3)可见，要确定应力强度因子，只需确定一个解析函数。对于构件几何形状或载荷条件复杂的问题，常应用复变函数保角映射原理，将平面内的几何图形，通过映射到平面中，简单的几何图形，从而使求解过程大为简化。1普遍形式的复变函数法115例：无限大板内长2a的穿透裂纹，集中力作用在右上表面，求应力强度因子解：取映射函数……1普遍形式的复变函数法1162积分变换法1）积分变换:设在域定义的分段连续函数且是有限的，则积分称为的富氏函数（Fouriertransform）称为富氏函数的逆变换。117若为偶函数，则有若为奇函数，则有富氏积分有以下性质：微分性质:2积分变换法1182）求应力强度因子的积分变换法思路：

a、利用本构关系，平衡方程，得到微分方程（组）

b、利用积分变换，求得未知函数，得到应力场例：无限大板中，长为2a的穿透裂纹，Ⅲ型问题。二维反平面问题，应力分量只有和，位移分量只有，其余应力和位移分量为零。2积分变换法119xy.2a..平衡方程：几何方程：物理方程：把几何、物理方程代入平衡方程，得到调和方程：2积分变换法（*）120问题归结为在给定边界条件下解调和方程，因为问题对平面反对称，可以仅讨论的半无限体。该问题的边界条件为：由边界条件可知，问题对y轴对称（即）可用Fourier余弦变换作用（*）式2积分变换法121特征方程为：其中为待定函数。2积分变换法122注意：当时，应力是有限值，所以（此时）：

将由边界条件确定。当时，边界条件有：2积分变换法得一特解123选取如下位移方程能自动满足调和方程，及时的边界条件。由裂纹面上的边界条件：对偶积分方程解：2积分变换法xy.2a..124平面断裂问题的积分变换求解：其中:,特征方程：2积分变换法125位移应力同理2积分变换法1263有限元法用有限元法求SIF，有限元法不止局限在线弹性问题。1）直接法求SIF（1）位移法根据Ⅰ型裂纹尖端附近的位移公式（1-17），有：（a）其中：127用有限元法求出位移（）后，代入（a）式，就可求得。一般用时的裂纹张开位移的值求，因为裂纹处张开位移比较显著，可得到较准确的近似值。把代入（a）式（b）（b）式只在裂纹尖端附近（）精准，因只保留了r的奇异项，在离开裂纹尖端稍远，SIF不再是常数，因此，沿裂纹面取不同的r值算出位移代入（b），得到对应的后，作曲线，在r很小范围内，曲线才近似为一条直线，此直线与纵坐标轴的交点就是要求的值。3有限元法128例：紧凑拉伸试样。PH=1.21.26wW采用网格尺寸越小，结果越精确。从结果图中可以看到，接近裂尖（）时，曲线弯曲很大，说明有限元法产生了很大的误差，这是因为式（1-17）中的v与成正比，而有限元法所设的位移场为多项式，不能满足此规律，为了免去这一误差，一般采用外推法，即将曲线延长，与纵坐标相交，交点的纵坐标值即是的值。3有限元法129（2）应力法据Ⅰ型裂尖附近应力公式（1-16）（c）其中：类似位移法，用有限元法求出应力，代入（c）式，可求，一般认为取处，即裂纹线上的应力计算为好，此时:3有限元法130（d）类似位移法，求出不同r处的应力，代入（d），得到相应的，给出曲线，外推到纵坐标轴上，可得所求的值。当有限元法采用刚度法求应力时，应力场都要通过对位移场求偏导数，求得的应力与位移法相比较，精度要差很多。一般采用有限元的刚度法时，最好用位移法。直接法的优点：直接应用应力、位移公式，过程简单。缺点：只在时适合，要画很细的网格，尤其是采用应力法，应力梯度大，更需精细网格。3有限元法1312)间接法求应力强度因子通过计算能量，再换算成值，可以避免裂尖附近用很细的网格，同样得到很好的精度。利用，知道，即可求得。求的方法很多，具体介绍：弹性应变能法（e）其中：——弹性应变能，A——裂纹表面积，正号代表固定载荷，负号代表固定边界情况。3有限元法132先用有限元法求出裂纹长度为a时的应变能密度U，应变能可以直接由各点的内力和位移的乘积求和而得，即其中表示各节点的内力，表示各节点的位移。同样，求裂纹长为时的应变能，将与的计算值代入（e）式，求得的值。或将U与a做成曲线，U—a曲线在各点的斜率，就是相应裂纹长度的应变能释放率。求应变能可直接用：

注意：采用普通单元，裂尖单元必须很密，单元尺寸约为才有足够的精度，若采用奇异单元，优点是裂纹处单元不必太细，不需插值可直接算出K值，缺点是两种单元和单元之间存在位移不协调问题3有限元法133第二章弹塑性断裂力学134线弹性断裂力学把裂纹体看成理想的线弹性体，利用线弹性理论基础和方法，使其理论和实验技术迅速发展，已经在脆性断裂、疲劳等方面得到应用。其仍有一定局限性。由于裂尖附近应力集中，必出现塑性区，若塑性区比裂纹尺寸小得多，属小范围屈服情况，可认为塑性区对弹性应力场影响不大。那么应力强度因子（或经修正）可用于表征裂尖附近应力场强度，并建立相应裂纹失稳扩展准则。但对于很多金属结构，裂尖附近会发生大范围屈服，塑性区与裂纹尺寸同数量级。此时线弹性断裂力学无法解决这类问题，需要弹塑性断裂力学来研究。弹塑性断裂力学分为静止裂纹和缓慢扩展的裂纹两个方面。重点介绍静止裂纹问题。引言135§2.1塑性区条形简化模型Dugdale(1960)根据含裂纹软钢薄壁构件的实验观察结果提出条形塑性区简化模型。塑性区太大无法算，把它压成窄条状，带状理想塑性体。

采用Muskhelishvili方法避开了复杂的弹塑性分析，得到弹塑性断裂力学参数表达式。简称M-D模型。

与1962年Barenblatt的吸附力模型类似。Barenblatt认为裂尖奇异性实际不存在。他假设裂尖小范围内为内聚力区，裂纹上下之间受原子或分子的吸附力作用，该力与原子或分子间拉开距离有函数关系。M-D模型相当于把吸附力取为均布屈服应力。136裂尖应力场化为三个应力场的叠加：1)无裂纹的无限大板，2)具有2c=2（a+R）长裂纹的无限大板，远处无力，裂纹表面施加,3)2c=2（a+R），塑性区R上作用拉应力137

三者叠加后，要求在2（a+R）长裂尖，消除奇异性，应力应是有限量，要求SIF=0，即：由c=a+R上式即为M-D模型求塑性区尺寸的一般公式。当塑性区较小时，令是一小量138这一用Dugdale模型得到的塑性区范围与欧文小塑性区修正结果（平面应力）很接近。实际的塑性区成鱼尾形，把M-D法把它压缩成薄片，不符。下节M-D模型与COD结合起来，把COD法扩大到大范围的屈服问题。对于强化材料。工程中，一般用屈服极限与强度极限的平均值代替M-D模型中的。注意：139§2.2COD模型（1963，Wells，英国）1.COD--Crack-tipOpeningDisplacement

所谓裂尖张开位移，是指原裂纹尖端沿垂直裂纹方向产生的位移，以COD或表示。实际上，裂纹张开，裂尖出现钝头，但是裂尖处位移仍连续，实际张开位移并不存在。C点表示裂纹前沿弹性区与塑性区交界，有人提出将C点作为测量点，认为对金属，塑性变形是导致破坏的重要因素，C点可实验确定，或有限元计算。ADFECB140注意：COD的物理概念似乎很简单，但是确切的定义与标定是未解决。利用M-D模型计算裂纹张开位移，由于在所设的塑性条带中，用分布力代替塑性区内上、下界面间的结合力，因此，在塑性区条带中出现位移间断。在裂尖位移间断被认为是由于塑性变形发展和伴随裂尖锐化而产生的张开位移。利用M-D模型：xy2a2cδ1.COD--Crack-tipOpeningDisplacement1412COD准则——临界COD（材料常数）安全开裂，，当是极小量，用近似公式对于含中心裂纹的无限大板，受拉伸作用，或这样在线弹性断裂中，裂纹也可用COD准则。142COD准则的优缺点：工程适应性强，且COD易测量，各国都有COD测量标准。COD定义不确切，且所用D－M模型与实际有差别。由于裂纹可以继续扩展后才开裂，COD准则偏保守。的规定有困难。M-D模型仅适用于穿透裂纹，工程上遇到的很多表面裂纹，只能用工程方法近似。优点缺点注意：是裂纹开裂的临界值，而不是裂纹最后失稳的临界值。这是两个不同的状态。用表示开裂的COD的临界值，以表示失稳的COD临界值，与可相差数倍。由于随试件尺寸变化较大，不宜做材料常数，一般用，记为。2COD准则1433全屈服COD时，用经验公式。

Dugdale模型及其详细解答仍存在局限性，因其本质上仍然是小范围屈服条件下弹性-理想塑性解，如果在裂纹顶端附近出发大范围甚至全屈服塑性变形，怎样用CTOD方法？

Wells及burdekin提出经验公式，在英国焊接界被广泛采用，国内也很重视这方面工作。144§2.3J积分上世纪60年代末，1968年美国Rice从另外角度对材料非弹性（非线性）断裂问题进行了研究，几乎同时，苏联工作者也进行了类似的研究，取得了同样的结果，其中一件就是J积分。1973年后许多实验表明，J积分的临界值是一个材料常数，并可以以此建立断裂判据。它的建立比CTOD断裂判据大概晚10年。图1图2145J积分定义如下：

（a）其中：为应变能密度.

是作用在路程边界上的力（作用在曲线的微弦ds上的外应力矢量）

是路程边界上的位移矢量（该处的位移矢量）ds是路程曲线的弦元素

是始于裂纹下表面，逆时针方向绕裂尖终止于裂纹上表面。

为弦元素法线的方向余弦1.J积分的守恒性的证明146利用，代入(a)式:（b）

为位移分量。由图（1）(因

)（c）图11.J积分的守恒性的证明147下面证明J积分与选择的路径无关做一封闭曲线，分为四段，如图（2），故内无奇异点。由Green公式：（P、Q及其一阶导数要求在区域及边界上连续）令Q=-P，右端=图21.J积分的守恒性的证明148格林公式改写成：利用1.J积分的守恒性的证明149利用或改写为（后一项i,j互换）1.J积分的守恒性的证明150在上，dy=0，且（是自由表面无力）则得J积分与选择的路径无关。注意以上推导J积分守恒中，有几个特点:(1)用到全量塑性理论,()实质上等价于非线性弹性理论，唯一由确定，而与加载历史无关，因此不许卸载发生。（因加载与卸载时，与的关系完全不同，与不存在一一对应）这一限制使得J积分局限性很大。1.J积分的守恒性的证明151(2)用到小变形几何方程，但在裂尖附近，变形未必很小。(3)用到，是指系统处于静平衡，（相反，若处在运动状态，必须补充其他项，如动能密度，J积分才有路径守恒性）(4)用到，并不是必须的。扩展论述：在Rice之前，1956年Eshelby已经定义了比J积分更广泛的积分，并且证明了守恒性。有关研究证明，J积分在一定条件下有卸载也成立。1.J积分的守恒性的证明(5)用到均匀材料属性。1522.J积分与K、G的关系以裂纹尖端为圆心。r为半径作圆，取该圆为J积分回路，取极坐标形式，令因r为定值，W、、都是的函数，对平面应变：平面应力平面应变153应用第一章Ⅰ型裂尖附近的应力式（1-16）代入上式把上式带入J积分中，得第一项积分2.J积分与K、G的关系154又知积分路径上的力：位移为2.J积分与K、G的关系155类似方法可证得平面应力情况以上分析可见：线弹性情况下，J积分与应变能释放率相同2.J积分与K、G的关系1563J积分与能量及COD的关系1）J与能量的关系由第一章知，对于固定边和固定载荷情况：（固定边取负，固定力取正）以上仅对线弹性，扩充到弹塑性情况，上述SERR的概念不合适，因为裂纹扩展时，不可避免的要卸载，应变能总要消失，这种变化不能忽略。因此，要比较两边界条件完全相同，但有不同裂纹长度的板的能量，通过能量比较来看J积分的物理意义。（为两板势能之差）1572）J积分与COD的关系根据M-D模型，做如下选择：由裂纹下表面，紧贴着塑性区边，直到裂纹上表面。在ABC上，近似认为塑性区边界与x轴平行，即dy=0，故3J积分与能量及COD的关系158又因为的分量，其他为0，的分量v(x)是x的函数（注意AB段、BC段上）3J积分与能量及COD的关系积分路径：塑性区边界ABC

AB上：平行于轴BC上：平行于轴159也可由对称性：塑性区是窄尖劈形，B点位移，A点张开位移为,于是有或3J积分与能量及COD的关系160说明：J积分与COD有一定的关系，因M-D模型过于简化，考虑理想塑性区断面受常力，而实际上许多材料存在硬化现象，塑性区断面受的力是x的函数，与硬化指数n有关，因此上式不能普遍适用，需要COD的降低系数k（1-3），Robinson指出，k随着塑性区的增加而增加，Shih计算，k随n增加而减小。3J积分与能量及COD的关系161J积分的重要特性（简而列之）：

(1)J

积分的守恒性(回路无关性)；

(2)它代表作用于裂纹尖端的一个广义力，一般简称为裂纹扩展力或能量释放率。对于线弹性固体，J

积分就是能量释放率G; (3)同弹性裂纹体的应力强度因子K一样，J

积分是裂纹尖端非线性应力应变场强度的度量; (4)利用M-D模型能得出J积分与COD的定量关系。可以把J积分作为弹塑性裂纹体裂纹开裂的断裂参数来建立判据：

4J积分准则162优点：

J积分理论严格，定义明确。4J积分准则

比更省时省力，应用广泛。利用FEM可计算各种平面问题的J积分163缺点：

J积分建立在全量理论下，由于裂纹常通过亚临界扩展过程，相当于卸载，这不符合全量理论一一对应要求；J积分定义限于二维情况；与cod准则一样，Jc一般由开裂点确定，这样数据较稳定，适合做材料断裂韧度指标，但是裂纹还有承载能力，设计偏保守。（后来证明，J积分在亚临界扩展初期基本是守恒的，当前对三维复杂裂纹也可以利用改造后的J积分，见，《弹塑性断裂力学》，宫木博，日本）4J积分准则164§2.3J积分上世纪60年代末，1968年美国Rice从另外角度对材料非弹性（非线性）断裂问题进行了研究，几乎同时，苏联工作者也进行了类似的研究，取得了同样的结果，其中一件就是J积分。图1图2165J积分定义如下：

（a）其中：为应变能密度.

是作用在路程边界上的力（作用在曲线的微弦ds上的外应力矢量）

是路程边界上的位移矢量（该处的位移矢量）ds是路程曲线的弦元素

是始于裂纹下表面，逆时针方向绕裂尖终止于裂纹上表面。

为弦元素法线的方向余弦1.J积分的守恒性的证明166利用，代入(a)式:（b）

为位移分量。由图（1）(因

)（c）图11.J积分的守恒性的证明167下面证明J积分与选择的路径无关做一封闭曲线，分为四段，如图（2），故内无奇异点。由Green公式：（P、Q及其一阶导数要求在区域及边界上连续）令Q=-P，右端=图21.J积分的守恒性的证明168格林公式改写成：利用1.J积分的守恒性的证明169利用或改写为（后一项i,j互换）1.J积分的守恒性的证明170在上，dy=0，且（是自由表面无力）则得J积分与选择的路径无关。注意以上推导J积分守恒中，有几个特点:(1)用到全量塑性理论,()实质上等价于非线性弹性理论，唯一由确定，而与加载历史无关，因此不许卸载发生。（因加载与卸载时，与的关系完全不同，与不存在一一对应）这一限制使得J积分局限性很大。1.J积分的守恒性的证明171(2)用到小变形几何方程，但在裂尖附近，变形未必很小。(3)用到，是指系统处于静平衡，（相反，若处在运动状态，必须补充其他项，如动能密度，J积分才有路径守恒性）(4)用到，并不是必须的。扩展论述：在Rice之前，1956年Eshelby已经定义了比J积分更广泛的积分，并且证明了守恒性。有关研究证明，J积分在一定条件下有卸载也成立。1.J积分的守恒性的证明(5)用到均匀材料属性。1722.J积分与K、G的关系以裂纹尖端为圆心。r为半径作圆，取该圆为J积分回路，取极坐标形式，令因r为定值，W、、都是的函数，对平面应变：平面应力平面应变173应用第一章Ⅰ型裂尖附近的应力式（1-16）代入上式把上式带入J积分中，得第一项积分2.J积分与K、G的关系174又知积分路径上的力：位移为2.J积分与K、G的关系175类似方法可证得平面应力情况以上分析可见：线弹性情况下，J积分与应变能释放率相同2.J积分与K、G的关系1763J积分与能量及COD的关系1）J与能量的关系由第一章知，对于固定边和固定载荷情况：（固定边取负，固定力取正）以上仅对线弹性，扩充到弹塑性情况，上述SERR的概念不合适，因为裂纹扩展时，不可避免的要卸载，应变能总要消失，这种变化不能忽略。因此，要比较两边界条件完全相同，但有不同裂纹长度的板的能量，通过能量比较来看J积分的物理意义。（为两板势能之差）1772）J积分与COD的关系根据M-D模型，做如下选择：由裂纹下表面，紧贴着塑性区边，直到裂纹上表面。在ABC上，近似认为塑性区边界与x轴平行，即dy=0，故3J积分与能量及COD的关系178又因为的分量，其他为0，的分量v(x)是x的函数（注意AB段、BC段上）由对称性：塑性区是窄尖劈形，B点位移，A点张开位移为,于是有或3J积分与能量及COD的关系179说明：J积分与COD有一定的关系，因M-D模型过于简化，考虑理想塑性区断面受常力，而实际上许多材料存在硬化现象，塑性区断面受的力是x的函数，与硬化指数n有关，因此上式不能普遍适用，需要COD的降低系数k（1-3），Robinson指出，k随着塑性区的增加而增加，Shih计算，k随n增加而减小。3J积分与能量及COD的关系180J积分的重要特性（简而列之）：

(1)J

积分的守恒性(回路无关性)；

(2)它代表作用于裂纹尖端的一个广义力，一般简称为裂纹扩展力或能量释放率。对于线弹性固体，J

积分就是能量释放率G; (3)同弹性裂纹体的应力强度因子K一样，J

积分是裂纹尖端非线性应力应变场强度的度量; (4)利用M-D模型能得出J积分与COD的定量关系。可以把J积分作为弹塑性裂纹体裂纹开裂的断裂参数来建立判据：

4J积分准则181优点：

J积分理论严格，定义明确。4J积分准则

比更省时省力，应用广泛。利用FEM可计算各种平面问题的J积分182缺点：

J积分建立在全量理论下，由于裂纹常通过亚临界扩展过程，相当于卸载，这不符合全量理论一一对应要求；J积分定义限于二维情况；与cod准则一样，Jc一般由开裂点确定，这样数据较稳定，适合做材料断裂韧度指标，但是裂纹还有承载能力，设计偏保守。（后来证明，J积分在亚临界扩展初期基本是守恒的，当前对三维复杂裂纹也可以利用改造后的J积分，见，《弹塑性断裂力学》，宫木博，日本）4J积分准则1832.5裂纹尖端的弹塑性应力分析1.HRR理论Ⅰ型裂纹问题的求解方法由Hutchinson,Rice和Rosergren提出，故称HRR解或HRR奇异性，先用J积分守恒性及材料的硬化规律确定应力和应变的幂次，然后选择满足平衡方程的应力函数，从而求得裂尖的应力、应变场，最后求出塑性应力强度因子。1）应力和应变的奇异性选以裂尖为圆心，r为半径的圆为积分回路，代入J积分184

(a)由J积分的守恒性，当时，等式左方有奇异性（即）故等式右方也应有这种形式的奇异性，注意到：

是的齐次式，同时讨论J的守恒性时，已证明所以也是的齐次式即（a）式右边都是的齐次式，为保证有奇异性，应有1.HRR理论185时，（b）（c）p+g=1.要确定p和g需补充一方程，设材料遵从Ramberg-Osgood关系（幂强化材料），一般应力应变关系为：（d）其中：—简单拉伸时的屈服应力和应变。

—分别为相当（等效）应力和应力偏量。上式右端第一、第二项为线性应变，第三项为塑性应变。Rice等人分析时忽略了线弹性部分，把材料视为刚塑性，于是:1.HRR理论186（e）因为（e）式可写成在单向拉伸时，把（c）式代入（f）（f）（g）（h）再由p+g=1.所以裂尖附近的应力、应变分布成以下形式：1.HRR理论187HRR解的强度（弹塑性裂尖应力场强度）由J积分来度量。I－查表得到，－角函数，n＝1时，为线弹性问题注：实际，，由于裂尖r趋于0，很小，在J主导区内，由J衡量。塑性应力强度因子1.HRR理论1882平面应力R阻力曲线189在线弹性断裂力学中，裂尖区域应力场的渐进解：上式是I型裂纹问题应力全解略去第二项以后各项的主奇项，它只在裂尖很小的范围内适用。这个用K表征的范围称为K控制区或K主导区，用RK表示该区域的尺寸，可通过渐近解与精确解的比较，使其满足工程应用的需要而确定，对于无限大板，紧凑拉伸试样和三点弯曲试样，经计算，一般当RK＝0.02a时即可保证渐近解描述的精度在93%以上。3.K的主导条件190但是值得注意，上式在裂尖塑性区RP内不适用，因为塑性区内材料的本构关系已不是线弹性。因此，为保证K主导区存在，必须要求：此即为K主导条件，该条件说明只有在小范围屈服时，由于塑性区的塑性变形为周围弹性K场所控制，才可近似地把KI视为裂纹尖端场的唯一量度。当然，K主导条件是一个渐近条件，它随载荷的增加而逐渐被破坏。3.K的主导条件1914J积分主导条件类似地，对幂硬化材料裂纹问题的非线性分析，已导出由J积分表征的HRR奇异场的渐进解为：要使J作为裂纹尖端场的唯一量度（即单一参数），必须要求裂尖的断裂过程区（材料实际发生分离的区域，已不能用连续介质力学来描述）和有限变形区（尖端钝化区）RP,都应包括在J主导区之内，即要求192σ0为材料屈服应力，dn为一个与σ0/E、n以及应力状态有关的系数。对于轻度或中等硬化的材料，n=10,或N=0.1,则dn≈0.6，于是δk=0.6根据McMeeking的研究，对小范围屈服I型平面应变问题，有限变形的影响是小范围的，仅限于裂尖附近（2～3）δt的范围。在此范围以外，按有限变形理论与按小变形理论计算的结果相差甚微。假定断裂过程区也在这个范围之内，则I型平面应变J主导条件可具体变为：Shih根据Rice定义的δt，曾导出J与δt的关系式4J积分主导条件193第三章断裂力学实验194

断裂力学实验是断裂力学的重要组成部分，同时为断裂力学的发展提供科学依据和验证。断裂力学实验的三方面：1）材料性能的测试，即材料破坏与裂纹扩展的内在条件。如、、、疲劳裂纹扩展速率、蠕变裂纹扩展速率、动态断裂韧度等；2）裂纹尖端能量