2009年高考数学广东卷的分析与教学启示2009-10-22-9-36.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家没有花姿态 全是雪精神 2009年高考数学广东卷的分析与教学启示现代的高校数学教育，其意义不仅仅是学习一种专业的工具，更是一种人的理性的思维品格和思辨能力的培育，是聪明智慧的启迪，是潜在能动性和创造性的开发，其价值远非传统的数学教育观所能相提并论的。在“改版”的特殊三年里，广东卷6套试题犹如青天碧水，天水相接，浑然一体。 上篇：活水源流随处满，东风花柳时时新纵观广东省高考数学试题，在对高中数学内容总的主干内容、主要数学思想进行重点考查的同时，更注重对学生的综合素质考查，其主要体现在分析问题、转化问题、运用知识解决问题（数学建模）等方面考核. 在能力立意的基础上,大胆深化、创新,突出数学知识应用能力的考查，逐步弘扬新课程理念，充分体现了高考支持课改并服务于课改的指导思想本人根据手头资料，借鉴同行专家见解，提出自己的一些看法，难免疏漏，敬请同行指正！一、2009年广东卷知识点分布情况2009年广东卷试题考查的主要知识点分布如表1：题号09年09年理科文科1集合的概念集合的概念2复数的运算复数的运算3了解指数函数与对数函数互为反函数平面向量的性质4等比数列的性质 了解指数函数与对数函数互为反函数5直线与平面的位置关系等比数列的性质 6平面向量与余弦定理直线与平面的位置关系7排列组合正弦定理8定积分的概念及几何意义函数的单调性9框图、统计三角函数的奇偶性与周期性10平面向量的模及平行问题最优解的应用问题11椭圆的基本概念框图、统计12随机变量的期望与方差系统抽样与分层抽样13参数方程、两直线的位置关系直线与圆的位置关系14绝对值不等式的解法参数方程、两直线的位置关系15平面几何、正弦定理平面几何中圆的基本定理16三角求值三角求值17概率与统计三视图、简单几何体的线面位置关系18三视图、简单几何体的线面关系概率与统计19直线与曲线的位置关系椭圆的方程，圆与椭圆的位置关系20导数、函数与方程函数、数列与不等式21数列、不等式、函数与导数导数、函数与方程广东卷07、08年未考查的主要知识分布如表2（部分）：题号07年08年理科文科理科文科1指数函数、幂函数指数函数对数函数、函数与零点对数函数、函数与零点2基本算法语句基本算法语句抽象函数抽象函数、分段函数3几何概型、分布列、均值、方差、正态分布几何概型、均值、方差众数、中位数、几何概型、正态分布众数、中位数、均值、方差、几何概型4随机抽样、总体估计随机抽样、总体估计随机抽样、总体估计、频率分布直方图、茎叶图、独立性检验随机抽样、总体估计、频率分布直方图、茎叶图、独立性检验5线性规划、基本不等式、不等式的证明线性规划、基本不等式平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用6常用逻辑用语常用逻辑用语合情推理合情推理7点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系线面平行及二面角点、线、面的位置关系8空间向量与立体几何三角恒等变换利用正余弦定理求借三角应用问题利用正余弦定理求借三角应用问题9双曲线的标准方程与几何性质双曲线的标准方程与几何性质双曲线的标准方程与几何性质双曲线的标准方程与几何性质10定积分的计算及应用定积分的计算及应用从表1可以发现，2009年高考试卷，考点覆盖面广、综合性、交汇性强，突出主干知识的考查。对比表1与表2 ，我们还可以看到：07年试题未考查的章节或内容在08年高考试卷绝大部分都有所体现，08年试题未考查的章节或内容在09年高考试卷绝大部分都有所体现文1。因此，在2010届高考备考中应依据考试说明，对照近三年考点分布情况，找出三年来考试的热点及尚未涉及的盲点（特别是08、09年没有考查的知识点），将是我们备考的重点。备考建议：1.回归课本整合习题资源进行变式教学 复习时回归课本，充分挖掘课本典型例习题的典型作用.通过适当嫁接、拓展、延伸、变式与综合，加强学生对核心概念与核心数学思想的理解与掌握，达到增强知识理解、培养数学思维能力的目的. 2.比较新旧版本教材，关注差异与新增内容 新旧教材中相同概念的变化、内容的增减应该引起注意.比如映射、反函数知识点新旧教材要求明显不同.就反函数而言新课标仅要求了解指数函数与对数函数互为反函数即可，对其概念，函数与其反函数图像间的关系都没有涉及到. 3.注重思维能力与应用意识的培养 普通高中数学课程标准（试验）明确提出“注重提高学生的数学思维能力”、“发展学生的应用意识”并且对能力的类型进行了更为具体的划分，以及高考命题注重应用意识及综合解决问题能力的考查，新高考试卷势必体现新课标的基本理念.4注重学科间的联系 在数学复习中，要注意学科间密切联系的知识点，这是考查应用能力的一个较好的题材，如数学中的向量与物理中的力，定积分与物理中变速运动求位移或路程、变力做功等，当然也要注意在其他学科上的体现.二近三年广东数学试卷主干知识的走向近三年广东卷主干知识分布如表3： 试 卷三角函数函数与导数立体几何解析几何数列概率与统计算法 程序 框图复数集合 简易 逻辑向量不等式07年广东（理科）（3）（8）（16）（1）（4）（20）（12）（19）（11）（18）（5）（21）（9）（17）（6）（7）（2）（10）共计22分共计24分共计19分共计19分共计19分共计17分共计10分5分5分08年广东（理科）（12）（16）（4）（7）（19）（5）（20）（11）（18）（2）（21）（3）（10）（17）（9）（1）（6）（8）共计18分共计24分共计19分共计19分共计17分共计23分5分5分5分5分09年广东（理科）（16）（3）（8）（20）（5）（18）（11）（19）（4）（21）（7）（12）（17）（9）（2）（1）（6）（10）共计12分共计24分共计19分共计19分共计19分共计22分共计10分5分10分07年广东（文科）（9）（16）（3）（5）（12）（21）（6）（17）（11）（19）（13）（20）（8）（10）（18）（7）（2）（1）（4）共计24分共计29分共计17分共计19分共计19分共计22分5分5分5分5分08年广东（文科）（5）（16）（8）（9）（17）（7）（18）（6）（12）（20）（4）（21）共计19分（19）（11）（2）（1）（3）（10）共计18分共计24分共计19分共计24分13分5分5分5分5分5分09年广东（文科）（7）（9）（16）（4）（8）（20）（21）（6）（17）（13）（19）（5）（20）（12）（18）（11）（2）（1）（3）共计22分共计26分共计18分共计19分共计19分共计18分共计5分5分5分从表3可以发现：不等式已经退出主干知识的行列，构成中学数学的主干内容也产生了新的变化，函数与导数、三角、立体几何、解析几何、概率与统计、数列成为中学数学的新的主干知识.三2009年广东数学试卷新趋势分析新趋势一在模块的交汇处设计试题1993年，原国家教委考试中心首次提出：“在知识点的交汇处设计试题”，基本确定了高考数学试题命制的理论。这一提法得到了命题专家的认同，更得到了广大中学数学教师的赞许。纵观我省近三年的高考数学试卷，在这方面的特点尤其显著：例1（09年广东卷文科19题）：已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程；(2)求的面积；(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.试题特点：从07年开始，广东省的高考试题是按新课程标准命制的。新的课程标准打破了原来教材的编排顺序，采取不同的模块制。各个模块之间即相对独立又同属于一个完整的知识体系，模块之间相互交叉渗透。相对于原来版本的教材，在这种模块式的划分下，知识的体系显得松散了一些，这是新课程标准实施过程中广大一线教师颇感困惑之处，也是导致新课程标准屡屡遭受“炮轰”的原因之一。怎样才能继续保持“在知识网络交汇处”命制试题的原则又能体现新课程标准的精神？广东的数学试题提供了一种可操作的模式：注意模块之间的交叉。又如08年高考文科18题、理科20题，涉及到必修2中的立体几何初步以及必修5中的解三角形，考生与教师均感到“出呼意料之外”。备考建议：“三轮”的复习方案具有一定的科学性，鉴于新课程标准的特点，第一轮复习应该适当降低难度，首先解决本模块的基础知识、基本技能，跨模块的综合问题不易过早涉及。第二轮复习要做重大调整，要将各个模块知识重新组合成若干专题，避免“深挖洞”：控制难度，应该“广积粮”：进行模块的交叉与综合。第三轮进行综合训练，使考生在知识的广度与深度都有新的认识与提升，从各方面逐渐与高考接轨；教师要精选素材，注重模块的综合与学科间的交汇。从广东省近三年试题来看，在模块的交汇处命制的题目不一定是难题。广大一线数学教师要进行教学反思，发挥群体智慧，从“模块的交汇”这一视角出发，或自行命制，或将成题巧妙组合，做到推陈出新。这才是提高教学质量的有效途径。新趋势二重点知识与数学思想方法 常考常新高考命题，不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识的考查，这是当前高考数学试题的另一个特色。重点知识：是那些在整个高中数学知识体系中的主干；重要方法：就是在学生数学思维发展过程中起到“推波助澜”作用的思想与方法。例2（09年广东卷文科21题）：已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值；(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.试题特点：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式（统称三个“二次”关系）是每年的重点考查内容，集重点、难点与一身。涉及到的数学思想方法有：分类讨论、数形结合等。备考建议：重要的知识点与数学思想方法的重复考查，早已引起广大一线教师的重视。在这方面，我们只须完善传统做法，与时俱进，注入新课程标准的理念。注意通性通法，适度淡化证明，演绎推理与归纳推理并重。在历年的高考试题或者模拟试题中，不乏这方面的精品，可以推陈出新，精讲多练，就能够取得事半功倍的效果。新趋势三注重对学生阅读能力的考查数学是文化，学会用数学的视角来分析周围的事物，是数学教育的目的之一。数学解题的本质其实就是三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）的转换过程，也就是需要考生具备一定的数学阅读能力。高考侧重于能力的考查，而阅读能力又是数学能力的基础。例3（09年广东卷理科19题）：根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，进行分组，得到频率分布直方图如图5. （1）求直方图中的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示已知， ，）试题特点：本题需要考生将文字语言、图形语言翻译成符号语言，然后运用数学知识解决问题。备考建议：新的课程标准明确提出在教学过程中要培养学生数学阅读及三种语言的转换能力。在第一轮复习时要注意渗透，在第二轮复习过程中应该搞一个专题。函数记号、图象、立体几何中点线面之间的位置关系、三视图、新定义问题等都是训练学生阅读能力的好素材。新趋势四应用题型丰富多彩 大题小题珠联璧合新课程倡导“发展数学应用意识和创新意识”，反映时代性; 高考命题创新本着与时俱进的原则，在设置问题时力求背景新颖有时代感; 重视反映课程标准的应用理念，创设背景符合考生心理成长和学习生活实际、有一定时代气息、反映正确价值取向、科学严谨的试题。例4（09年广东卷文10）：广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是A. B.21 C.22 D.23 试题特点：此题目的背景与07年文科第10小题的日常社会生活中的物流调配问题有相似之处，解决的是最优解问题。备考建议：以社会热点时事为背景可以设置相关应用题考查实践能力。这就要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验.w 新趋势五承上启下的明显特点：新课程标准有两个含义：其一，继义务教育之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；其二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。08、09年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）指出：数学科考试，要发挥数学作为基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能。所以高中数学学习既是初中的延续也是大学学习的起点，那么高考数学试题也应具有这些特点。当前，初高中数学学习衔接矛盾日益突出。如何搞好衔接是一个非常值得研究的课题。作为高中数学教师一定要了解初中教材的变化情况以及教学目标甚至教学方法，将衔接落实到课堂上，有实际行动，这样才能使得学生较快适应高中数学学习。例5（09年广东卷文科第15题）：如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，则圆O的面积等于 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 试题特点：教师要了解目前初中的数学课程以及高等数学中与中学数学紧密相关的一些知识点，然后有目的的设计一些问题，或者编制一些习题。不必进行专题讲座，应该融合在平时的训练中，这样可以作到有备无患。备考建议：高三复习，也应该进行分层教学。选拔一些在数学学科有兴趣并有一定能力的学生进行培优，培优应该有计划，不能流于形式。培优更要有针对性：在双基达标的基础上，首先进行解题速度的训练，对于这部分学生，一定要为他们思考“压轴题”预留充足的时间，这才是获得高分的保障；其次，要拓展知识结构，培养他们的探究能力，思维的训练要有深度和广度，让有能力的学生在数学这一科脱颖而出。培优切忌不能偏离教材，更要杜绝压题猜宝的做法，教材中有许多典型的问题，这些题目或者背景深刻，或者具有一定的推广价值，有的就是开展研究性学习的良好素材。除此之外，适当介绍一些与高考风格十分吻合的数学竞赛中的知识与方法，例如递推数列、函数方程、迭代方法、不等式证明等等。高屋建瓴，掌握高中数学深刻的内涵，不变应万变。事实证明，这样的培优才是有效的。下篇：问渠哪得清如许 惟有源头活水来近三年广东卷给我们今后的复习教学带来的启示是：教准、练实、学活。下面本人从两个方面提出个人建议：一、广东高考数学命题特点分析广东省数学试卷以教育部制订的普通高中数学课程标准（实验）、教育部考试中心颁布的考试大纲为依据，并结合广东省考试说明.试卷结构三年来基本一致.在客观题与主观题的填空题中考查了大部分新增内容.试卷注重对基本知识、基本技能的考查，同时突出考查主干知识，体现了“常规中考能力，基础中显功底”等命题理念.具体特点如下：1.固本强基，强调通性通法 三年的试卷均重视对中学数学基础知识、基本技能和基本方法的考查，试题中基础知识内容的比重较大；选择题、填空题的难度在降低，不刻意在这部分题型里设置难题。关注试题对主要知识点的覆盖，对支撑学科知识体系的主干知识综合地进行重点考查。解答题大多为多问题，各个小问题层次分明、梯度明显，形成入口宽、深入不易的特点，强调通性通法，把关题的解法多样、且由一题把关变为多题多问把关！2.紧扣课标、说明，突出主干对比六份试题，不难发现命题者对中学数学的主干内容作重点考查的方向始终不变。这些主干内容一般都会以解答题的形式出现，在试卷中占有较大比重。同时，试卷还会关注对函数零点、三视图、逻辑连结词、算法初步等新增内容的合理考查。例如,07年的高考题为什么会出一道求回归系数的大题呢?数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。数据处理能力主要依据统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。在07年考试大纲和相关说明上有如下的表述:1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。又如:为什么08年会考分布列和数学期望两个知识点呢?08年的考试说明上有两句这样的话:1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，并能解决一些简单的实际问题。这两个例子告诉我们，高考的命题是一项严肃的工作，一切都要依据大纲和考试说明。一般来说，每一道大题所涉及的内容基本上都在考试说明上有所体现，这需要我们认真研读和领会。概率统计题要保证不丢分，对概率可能考的形式作分析，例如，数学期望，或古典概型。对统计可能考的形式作分析，例如，07年考回归方程，08年考概率,09年考统计的机会比较大，是否会考数据标准差（的公式）或者是用随机抽样的方法解决一些简单的问题？9年的考试说明上有这样的表述： 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。 能从样本数据中提取基本的数学特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。 事实上，09年高考的结果就是概率与统计相结合，研究的就是平均数（期望）与方差问题。3.突出思想，淡化特殊技巧 数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学规律性的理性认识，是数学的灵魂所在。关注考生对中学数学知识所隐含的各种数学思想方法（函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想、特殊与一般的思想、有限与无限思想、必然与或然思想）的掌握情况突出对数学思想方法的考查。4.能力立意，重视持续发展 坚持能力立意，重视对学生可持续发展状况的考查。试卷将进一步关注对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查。在对能力的考查中，坚持以思维能力为核心，重视考查综合运用知识的能力和创新意识。5注重交汇，考查综合能力 从近三年的广东卷可以发现，六份试卷都注重在知识的交汇点上命题，合理设置一些较为综合的学科内与跨学科的问题，从而实现扩大思维量的考查得到进一步的关注。6. 重视应用，倡导“学以致用” 数学是社会生活和生产实践活动的产物，它来源于现实生活，又反过来对生活实践活动具有指导意义。为此，在注重双基的基础上，合理地设置一些取材于学生现实，具有较好现实意义的试题，实现对学生应用能力的考查，成为命题改革的一个热点。并且，目前应用问题的设置更加理性，更加关注数学的本质，关注数学应用的实质，关注考查学生数学建模能力、应用数学模型解决问题的决策能力。 二、2010年高考复习建议及展望1. 高考复习建议（1）学习考试说明、回归课本、研究考题、推敲评价（）学习考试说明看要求考试说明是高考法规性文件，明确指出了考试内容和考试要求，对于要考的知识点及各知识点要考到什么程度均有明确的规定，否则，既加重老师负担，也加重学生负担，偏离了正确的复习方向。（）回归课本找标准其一，课本不仅仅是内容上的统一，而且定义，定理，公式等叙述上的规范，符号上的使用也是统一的其二，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题，习题引申变化而来，（）研究考题看形势高考命题坚持以“两个有利于”为指导思想，同时，高考试题还具有“选拔”和“课改”双重功能，因此，高考题必须将对中学数学教学发挥十分重要的导向作用，高考命题遵循“整体保持稳定，不造成大起大落的现象”原则（）推敲评价找方向 2008年高考数学卷的命制继续坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学素质教育”的命题原则，努力体现“整体保持稳定，局部锐意求新”的命题思路，题题如珠玑，瑰丽璀璨多亮点；卷卷似奇葩，芬芳馥郁竞相开命题呈现出了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”等变化趋势；在创新意识、数学应用意识，计算、空间想象、逻辑推理能力等方面的考查各具特色、有所创新 （2）强化“三基”，关注通性通法 所谓“三基”就是指基础知识、基本技能和基本的数学思想方法，从近几年的高考数学试题可见“出活题、考基础、考能力”仍是命题的主导思想。在复习时，要立足于对基础知识复习和基本技能的训练，不但要关注对数学的概念、定义、定理、法则等显性知识的复习，更要关注隐含在这些知识背后的重要数学思想、数学方法复习，要注意引导学生自觉地利用数学思想来指导自己的解题实践，学会根据问题特点，合理选用恰当的数学方法来解决问题。（3）顾及整体，突出主干知识 在备考过程中，要全面检索高中阶段的所有知识，特别是不能忽视对所谓“冷门”知识复习，如复数、算法、集合与逻辑等。当然，全面复习并非平均用力，在全面复习的基础上，更应花费足够的时间和精力搞好主干知识的复习，以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，指导学生寻求解题策略，切实提高学生独立解答综合性数学题的能力。 2. 2010年高考数学命题展望基于以上的分析论述，我