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拉普拉斯变换在过程控制系统分析中的应用摘要:以拉普拉斯变换为工具,对过程和负反馈等效系统的特性进行了分析,讨论了不同调节规律的过程控制系统的性能区别。用这种定量法研究问题,可以提高人们对不同形式过程控制系统性能的认识。关键词:拉普拉斯变换；过程控制系统；余差；干扰1前言拉普拉斯变换的实质是将实变量t的函数f(t)变换成复变量s(s=+j)的函数F(s),若函数f(t)在s复平面收敛,则定义f(t)为原函数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换式。这种变换,为研究过程控制系统的特性提供了有效途径。过程控制系统由对象、调节器、执行器和测量变送器等4个环节组成,如果每个环节都建立了时域特性的微分方程,这时要研究等效系统的性能是非常困难的。对于一个二、三阶惯性环节,尽管已知其时域特性,要讨论其输出随输入变化的规律也是不方便的。但是,如果把过程控制系统中各时域特性环节通过拉普拉斯变换转换成传递函数形式表示,过程控制系统性能的分析将变得更为方便,而且逻辑严谨。2过程特性分析假设某过程的传递函数是其中,T为时间常数,K为放大倍数,为时延,试求过程的单位阶跃响应函数。不考虑干扰,设过程的输入是单位阶跃,经拉普拉斯变换X(s)=1/s,过程的输出拉斯变换为对求拉普拉斯反变换得到该过程单位阶跃响应函数 （）阶跃响应函数y(t)的初始值和稳态值分别是：利用拉普拉斯变换的极限性质,同样也可以由过程的传递函数直接求出其阶跃响应函数的初始值和稳态值为：可见,应用拉普拉斯变换的方法也比较容易得到正确的结果。3负反馈系统特性分析上述分析过程特性的方法可以延伸到对负反馈等效系统的分析。图1是一个典型的过程控制系统原理方框图。其中,是过程的传递函数,是执行器的传递函数,是调节器的传递函数,是测量变送器的传递函数,则该负反馈系统的等效传递函数为F(s)图1过程控制系统原理方框图若向给定值X(s)输入一个单位阶跃信号,X(s) = 1/s,则等效系统的输出为：负反馈系统的阶跃响应函数：同样,利用拉普拉斯变换的极限性质,也可以分别求出负反馈等效系统的初始值和稳态值为： 求出反馈系统的阶跃响应后的稳态值,在过程控制系统中具有重要的实际意义,它可以求出给定值一定变化量所引起系统稳态值的变化量。这是人们设计和分析过程系统性能的重要方法。4P调节系统特性分析P调节系统实质是负反馈系统的实际工程应用,其原理方框图与图1相同。现在讨论调节器处于比例调节规律情况下过程控制系统的性能。 设：，给定值输入单位阶跃，则：给定值的单位阶跃引起输出稳态值的增量为：可见,由于系统对单位阶跃响应的稳态值不等于1。因此,比例调节的最大缺点是稳态值存在余差。当kp等于1时,余差是0.25,当kp等于3时,余差是0.1。余差的变化趋势随着比例系数的增大而减小。增大比例系数可以提高比例调节系统的性能。现在分析比例调节系统的抗干扰能力。设干扰通道的传递函数，其他环节传递函数不变,若干扰F(s)为单位阶跃,即F(s) =此时给定值不变,则 则干扰F(s)的单位阶跃引起输出的稳态值变化量为可见,比例调节系统受到干扰之后,系统的被控量的稳态值不等于零,产生了余差,因此干扰影响了系统的稳定性。而且干扰愈大,余差愈大。当然可以用增大比例系数的办法来提高系统的抗干扰能力。5PI调节系统特性分析设调节器的传递函数其余环节的传递函数同前,如图1所示。若干扰不变,向系统的给定值施加单位阶跃,即X(s) =1/s,则输出为由于系统的稳态值的增量是1,因此PI调节系统没有余差,可见P调节与I调节的结合,达到了优势互补。P调节的快速性克服了I调节的缓慢性,而积分调节的无余差性又弥补了比例调节的有差性3。若干扰为单位阶跃,即F(s) = 1/s,此时给定值不变,则PI调节系统在单位阶跃干扰作用下的稳态响应是零。而且没有余差,说明PI调节规律的应用,使系统具有很强的抗干扰能力。积分作用的引入,大大改善了过程控制系统的品质,提高了过程控制系统的控制质量。6结论由以上的讨论可见:(1)拉普拉斯变换是分析过程控制系统的有效工具;(2)定量化分析过程控制系统,加深了人们对不同类型过程控制系统性能的认识。参考文献1方康玲.过程控制系统M