第六章 第一节

第一节不等关系与一元二次不等式1两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方性：ab0 (nN，n2)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实数根x1，x2(x1x2)有两相等实数根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2R一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2在不等式ax2bxc0(a0)中，如果二次项系数ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(5)同向不等式具有可加性和可乘性()(6)若不等式ax2bxc0.()(7)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2函数f(x)的定义域为()A0,3B(0,3)C(，03，) D(，0)(3，)解析：选A要使函数f(x)有意义，则3xx20，即x23x0，解得0x3.3若ab B.C|a|b| Da2b2解析：选A取a2，b1，则不成立4若集合Ax|ax2ax10且a24a0，得00的解集是，则ab的值是_解析：由题意知，是方程ax2bx20的两根，则解得所以ab14.答案：146若13，42，则|的取值范围是_解析：42，0|4，4| |0.3|3.答案：(3,3) 考什么怎么考不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，一般涉及函数、数列等知识.多以选择题形式考查，难度较小.考法(一)比较两个数(式)的大小1若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：2已知等比数列an中，a10，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_解析：当q1时，3，5，所以.当q0且q1时，0，所以.综上可知.答案：题型技法比较两个数(式)大小的两种方法考法(二)不等式的性质3若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析：选B法一：因为cd0，所以cd0，所以0.又ab0，所以，所以.故选B.法二：0.法三：令a3，b2，c3，d2，则1，1，排除选项C、D；又，排除A，故选B.4设a，bR，则“(ab)a20”是“ab，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd解析：选C取a2，b1，c1，d2，可知A错误；当cbcab，故B错误；0，ab，故C正确；取ac2，bd1，可知D错误6已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_解析：1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.答案：(4,2)(1,18)题型技法不等式性质应用问题的常见类型及解题策略不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围可利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围一元二次不等式及分式不等式的解法，主要以选择、填空题的形式出现，常与集合的交、并、补结合，难度不大.含参数的一元二次不等式的解法是难点，应注意对参数的讨论.典题领悟解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)1；(4)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(3)将原不等式移项通分得0，等价于解得x5或x.所以原不等式的解集为.(4)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1，即1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.解题师说1解一元二次不等式的4个步骤一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式三求求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解(1)0(0(f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：选A由题意知f(1)3，故原不等式可化为或解得3x3，所以原不等式的解集为(3,1)(3，)，故选A.2已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3)B(，2)(3，)C.D.解析：选A由题意知，是方程ax2bx10的两根，所以由根与系数的关系得解得不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3)3求不等式12x2axa2(aR)的解集解：原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围.题点全练角度(一)形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围1若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2,2C(2,2 D(，2)解析：选C当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a0a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.角度(三)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围3对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，所以解得x3.故当x(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零题型技法一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解冲关演练1若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：选D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,02若不等式x2mx10对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是_解析：由题意，得函数f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又抛物线f(x)x2mx1开口向上，所以只需即解得m0.答案：(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1已知a1(0,1)，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定解析：选BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0，M N.2若角，满足，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B，.又，0，从而0.3已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于()A3 B1C1 D3解析：选A由题意得，A，B，所以AB，由根与系数的关系可知a1，b2，则ab3.4若m0，n0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm解析：选D法一：(取特殊值法)令m3，n2分别代入各选项检验，可知D正确法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立5(2018广东清远一中一模)若关于x的不等式axb0的解集是()A(，1)(3，) B(1,3)C(1,3) D(，1)(3，)解析：选C关于x的不等式axb0的解集是(1，)，即不等式axb的解集是(1，)，ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求解集是(1,3)6若0，给出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式的序号是()A BC D解析：选C法一：因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由0，可知ba0.中，因为ab0，所以，故正确；中，因为baa0，故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，所以ab，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确。7不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2，故不等式的解集为x|0x2答案：x|0x28若0a0的解集是_解析：原不等式为(xa)0，由0a1，得a，ax.答案：9已知ab0，则与的大小关系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：10若不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a4.答案：(，4)(4，)B级中档题目练通抓牢1如果a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0解析：选C由题意知c0，则A、B、D一定正确；当b0时，C不正确2若不等式f(x)ax2xc0的解集为x|2x0在区间1,5上有解，则a的取值范围是_解析：由a280，知方程x2ax20恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2ax20必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为.答案：6已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，等价于解得7已知函数f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，试求函数y(x0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求实数a的取值范围解：(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2，当且仅当x时，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使“x0,2，不等式f(x)a成立”，只要“x22ax10在0,2上恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.则实数a的取值范围为.C级重难题目自主选做1若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则实数a的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：选B原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.2不等式x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立，则实数的取值范围为_解析：因为x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立，所以x28y2y(xy)0对于任意的x，yR恒成立，即x2yx(8)y20恒成立，由二次不等式的性质可得，2y24(8)y2y2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案：8,4(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1已知a1(0,1)，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定解析：选BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0，M N.2.不等式1的解集为()A. B(，1)C.(1，) D.解析：选A原不等式等价于10，即0，整理得0，不等式等价于(2x1)(x1)0，解得x1.3.(2018广东清远一中一模)若关于x的不等式axb0的解集是()A(，1)(3，) B(1,3)C(1,3) D(，1)(3，)解析：选C关于x的不等式axb0的解集是(1，)，即不等式axb的解集是(1，)，ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x0在区间1,5上有解，则a的取值范围是_解析：由a280，知方程x2ax20恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2ax20必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为.答案：8.已知函数f(x)为奇函数，则不等式f(x)4的解集为_解析：若x0，则x0，所以ba，从而cba.10已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，等价于解得B级拔高题目稳做准做1若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则实数a的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：选B原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.2.(2018云南统检)已知函数f(x)则不等式f(x1)0的解集为()A. B.C. D.解析：选D由题意，得f(x1)当x2时，由2x220，解得2x3；当x2时，由22x20，解得1x2.综上所述，不等式f(x1)0的解集为.3不等式x28y2y(