数学实验--matlab-Koch雪花.doc

数学实验报告3 分形实例电气二班 陆展辉 201430222325（51）问题描述1. 对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成图3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkowski香肠。编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。 图3-21 Minkowski香肠一次迭代问题分析与实验过程实验过程：1.仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，函数的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.(1)代码如下：function xuehua(k) % k为迭代次数for j=0:2 %依次对3条边进行Koch曲线运算 if j=0; p=0,0;10,0; elseif j=1; p=5,-5*sqrt(3);0,0; else j=2; p=10,0;5,-5*sqrt(3); end n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3); %用于计算新的结点for s=1:k j=0; % j为行数 for i=1:n q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标 q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标 d=(q2-q1)/3; j=j+1;r(j,:)=q1; %原起点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d; %新1点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; %新2点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; %新3点存入r endn=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中p=r;q2; %一条边的全部结点clear rendplot(p(:,1),p(:,2) %连接各个结点hold on;axis equalend不同k对应不同的图像如下： k=1 k=2 k=3(2)Koch雪花面积推导如下所示：k=0时 S=k=1时 S=+k=2时 S=+ k=3时 S=+ + k=n时 S=+ +每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的，数量为上一次的4倍.S=+*（3*+12*+3*）=+*曲线总面积无穷大。（3)综上所述可得Koch雪花的分形维数为：根据迭代的规律得到：相似形个数：m=6 边长放大倍数：c=3，1.6312、绘制Minkowski香肠（1）编辑实现题目迭代的函数在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkowski香肠的图形。具体代码如下：function Minkowski (k) % 显示迭代k次后的Minkowski曲线图 p=0,0;10,0; % 存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标 n=1; % 存放线段的数量，初始值为1 A=0,1;-1,0; % 用于计算新的结点 for s=1:k % 实现迭代过程，计算所有的结点的坐标 j=0; for i=1:n; q1=p (i,:); % 目前线段的起点坐标 q2=p (i+1,:); % 目前线段的终点坐标 d=(q2-q1)/4; j=j+1;r (j,:)=q1; % 原起点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+d; % 新1点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+d+d*A; % 新2点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+2*d+d*A; % 新3点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+2*d+d*A; % 新4点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+3*d+d*A; % 新5点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+3*d; % 新6点存入r end % 原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入r n=n*7; % 全部线段迭代一次后，线段数量乘7 clear p % 清空p，注意：最后一个终点q2不在r中 p=r;q2; % 重新装载本次迭代后的全部结点 end plot (p (:,1),p (:,2) % 显示各结点的连线图 axis equal % 各坐标轴同比列将这个文件保存，文件名记为Minkowski.m.（2）绘制Minkowski香肠的图形代码：frat（3）运行结果如下图所示：代码：frat（5）运行结果如下图所示：(3)计算Minkowski香肠的维数根据迭代规律得到：形似形个数m=7,边长放大倍数c=4，故维数d=1.4037.因此Minkowski香肠的维数介于1与2之间。具体计算如下：d=ln m/ln c=ln 7/ln 4=1.4037u=0,1;for k=1:4m=u/4;uu=m,1/4+m*(i),m+1/4+i/4,1/2+i/4+m*(-i),1/2,1/2+m*(-i),m+1/2-i/4,m*(i)+3/4-i/4,m+3/4;subplot(2,2,k);plot(uu)u=uu;end结果合理性分析通过模仿学习书本上的例题，用程序绘制出了Koch雪花和Minkowski香肠的图形，并且和网上标准结果对照一致，此外计算出了两图形的维数，都符合实际情形；故可认为所得图形和维数计算结果很具有合理性。实验总结与实验感悟实验总结 通过这次实验再次拓展了迭代法，而且还学习了迭代法应用于分形实例，对解决分形图形问题提供了强大的软件支持，Matla及其代码给分形图形的绘制创造了很便捷的操作平台，并且易于操作与分