1.4运动的图象追及与相遇问题

第 4 节 运动的图象 追及与相遇问题 一 运动的图象 1 直线运动图象的意义 图象法是一种通过建立坐标系来表达物体运动规律的重要方法 形状类似的图象在不同的坐标 系中表示的物理规律不同 因此 应用图象时 首先要看清纵 横坐标代表哪种物理量 对直线运动的图象的认识应该做到 1 能根据图象识别物体运动的性质 2 能认识图象截距的意义 3 能认识图象斜率的意义 4 能认识图象覆盖面积的意义 5 能说出图线上任一点的状况 2 位移时间 s 一 t 图象 物体运动的 s t 图象表示物体的位移随时间变化的规律 与物体运动的轨 迹无任何直接关系 右图中 a b c 条直线对应的 s t 关系式分别为 s vat s0 s vBt s vC t t0 都是匀速直线运动的位移一时间图象 纵轴截距 s0表示在 f 0 时 a 在 b 前方 s0处 横轴截距 t0表示 c 比 b 和 a 晚出发 t0时间 斜率表示运 动速度 容易看出 vC vB va 交点 P 可反映出 t 时刻 c 追上 b 3 速度 时间 v t 图象 物体运动的 v t 图象表示物体运动的速度随时间变化的规律 与物体运动的轨迹无任何直接关 系 右图中 a b c d 四条直线对应的 v 关系式分别为 va 常数 vB v0 at vC at vd v0 at 直线以是匀速直线运动的速度图象 其余都是匀变 速直线运动的速度图象 纵轴截距 v0表示 b d 的初速度 横轴截距 tm 表示 d 做匀减速直线运动到速度等于零需要的时间 斜率表示运动的加速度 斜率为 负者 如 d 对应于匀减速直线运动 图线下边覆盖的面积表示运动的位移 两 图线的交点 P 可反映出在时刻 t 两个运动 c 和 d 有相同的速度 二 追及和相遇问题 1 追及和相遇问题概述 当两个物体在同一直线上运动时 由于两物体的运动情况不同 所以两物体之问的距离会不断 发生变化 两物体间距或越来越大或越来越小 这时就会涉及追及 相遇或避免碰撞等问题 2 追及问题的两类情况 1 速度大者减速 如匀减速直线运动 追速度小者 如匀速运动 当两者速度相等时 若追者位移仍小于被迫者位移 则永远追不上 此时两者间有最小距离 若两者位移相等 且两者速度相等时 则恰能追上 也是两者避免碰撞的临界条件 若两者位移相等时 追者速度仍大于被追者的速度 则因追者是减速运动 被迫者还有一次 追上追者的机会 其间速度相等时两者间距离有一个最大值 2 速度小者加速 如初速度为零的匀加速直线运动 追速度大者 如匀速运动 当两者速度相等时有最大距离 若两者位移相等时 则追上 3 相遇问题的常见情况 1 同向运动的两物体迫及即相遇 2 相向运动的物体 当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇 题型及重点 难点探究题型及重点 难点探究 题型一 对运动图像的认识和理解题型一 对运动图像的认识和理解 例 1 如图是甲 乙两物体做直线运动的 v 一 t 图象 下列表述正确 的是 A A 乙做匀加速直线运动 B 0 1s 内甲和乙的位移相等 C 甲和乙的加速度方向相同 D 甲的加速度比乙的小 解析 甲乙两物体在速度图象里的图形都是倾斜的直线表明两物体都是匀变速直线 乙是匀 加速 甲是匀减速 加速度方向不同 A 对 C 错 根据在速度图象里面积表示位移的方法可知在 0 一 ls 内甲通过的位移大于乙通过的位移 B 错 根据斜率表示加速度可知甲的加速度大于乙的加速 度 D 错 题型二 运用运动图像解答运动学问题题型二 运用运动图像解答运动学问题 例 2 原地起跳时 先屈腿下蹲 然后蹬地 从开始蹬地到离地是加速过程 视为匀加速 加 速过程中重心上升的距离称为 加速距离 离地后重心继续上升 在此过程中重心上升的最大距 离称为 竖直高度 现有下列数据 人原地上跳的 加速距离 d1 0 5 m 竖直高度 h l 0 m 跳蚤原地上跳的 加速距离 d2 0 00080 m 竖直高度 h2 0 10 m 假想人具有与跳蚤相等 的起跳加速度 而 加速距离 仍为 0 50 m 则人跳的 竖直高度 是多少 解析 人和跳蚤原地起跳均是 先竖直向上匀加速运动 再竖直向上匀减速运动到速度为 零 若人以跳蚤的起跳加速度起跳 则整个过程的加速度与跳蚤的相 同 它们的 v t 图象如图所示 图中折线 OAB 为跳蚤的 v t 图象 折线 ODE 为人的 v t 图象 其中 OAC 的面积为 d2 ABC 的面积为 h2 ODF 的面积为 dl DEF 的面积为 h 所求量 由相似三角形知识可得 解得 12 2 dd hh 1 2 2 62 5m d hh d 方法与知识感悟 对于一些较复杂的运动学问题 采用 v t 图象分析解答比较简便 解题的 关键是 1 能正确的分析物体的运动情况 2 准确地画出其 v t 图象 3 能从图象中找出各物理量的关系 特别是图象与时间轴所围的面积表示位移 题型三 追及与相遇问题题型三 追及与相遇问题 例 3 在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 2 A 车在后面做初速度为 v0 加速度大小为 2a 的匀减速直线运动 而 B 车同时做初速度为零 加速度为 a 的匀加速直线运动 两车运动方向相同 要使两车不相撞 求 A 车的初速度 v0满足什么条件 解析 解法一 物理分析法 A B 车的运动过程 如右图 利用位移公式 速度公式求解 对 A 车有 2 0 1 2 2 A xv ta t 0 2 A vva t 对 B 车有 两车有 2 1 2 B xat B vat AB xxx 追上时 两车不相撞的临界条件是 vA vB 联立以上各式解得 0 6vax 故要使两车不相撞 A 车的初速度 v0应满足的条件是 0 6vax 解法二 数学法 利用判别式求解 由解法一可知 即如 AB xxx 整理得 这是一个关于时间 t 的一元二次方 22 0 11 2 22 v ta txat 2 0 3220atv tx 程 当根的判别式时 t 无实数解 即两车不相撞 所以要使两车不相 2 0 2 4 320vax 撞 A 车的初速度 v0应满足的条件是 0 6vax 解法三 图象法 利用速度一时间图象求解 先作 A B 两车的速度一时间图象 其图象如右 下图所示 设经过 t 时间两车刚好不相撞 则 对 A 车有 0 2 A vvvat 对 B 车有 B vvat 以上两式联立解得 0 3 v t a 经 t 时间两车发生的位移之差 即为原来两车间的距离 x 它可用图中的阴影面积表示 由图象可知 所以要使两车不相撞 2 00 00 11 2236 vv xv tv aa AA A 车的初速度 v0应满足的条件是 0 6vax 方法与知识感悟 1 求解追及和相遇问题的基本思路 分别对两物体进行研究 画出运动过程示意图 列出位移方程 找出时间关系 速度关系 位移关系 解出结果 对结果进行必要的讨论 2 求解追及和相遇问题的方法 数学方法 根据两物体相遇时的位置坐标相同及两物的运动时间 求出各自的位移方程 再 根据它们位移间的几何关系 建立两物的位移与运动时间之间的一元二次方程 然后利用根的判别 式 b2 4ac 满足的条件来讨论 物理方法 首先根据两物体相遇时的位置坐标相同及两物的运动时间 求出各自的位移方 程 再根据两物位移的几何关系 建立出两物体的位移方程 然后由两物体在同一位置坐标处的速 度大小关系讨论两物体能否追上 相遇或碰撞的条件 图象法 画出两物体的速度图象 利用图线下面所围面积即为物体运动的位移大小的特点 解决物理问题 课堂反馈练习课堂反馈练习 1 某物体的位移图象如图所示 则下列叙述正确的是 BCD A 物体运行的轨迹是抛物线 B 物体运动的时间为 8s C 物体运动所能达到的最大位移为 80 m D 在 t 4s 时刻 物体的瞬时速度为零 2 如图所示是物体在某段运动过程中的 v 一 t 图象 在 t1和 t2 时刻的瞬时 速度分别为 v1和 v2 则物体由 t1到 t2的过程中 A A 加速度不断减小 B 加速度不断增大 C 平均速度 D 平均速度 2 21 vv v 2 21 vv v 3 甲 乙 丙三辆汽车以相同的速度经过某一路标 从此时开始 甲车做匀速直线运动 乙车先 加速后减速 丙车先减速后加速 三车经过下一路标时速度相同 则 B A 甲车先经过下一路标 B 乙车先经过下一路标 C 丙车先经过下一路标 D 三辆车同时经过下一路标 4 甲 乙两物体相距 s 同时同向沿同一直线运动 乙在前面做初速度为零 加速度为 a1的匀加 速直线运动 甲在后做初速度为 v0 加速度为 a2的匀加速直线运动 则 ABD A 若 a1 a2 则两物体可能相遇一次 B 若 a1 a2 则两物体可能相遇两次 C 若 a1 a2 则两物体可能相遇一次 也可能不相遇 考点集训考点集训 1 下列运动图象中表示质点做匀变速直线运动的是 C 2 龟兔赛跑的故事流传至今 按照龟兔赛跑的故事情节 兔子和乌龟的位移图象如图所示 下列 关于兔子和乌龟的运动正确的说法是 D A 兔子和乌龟是同时从同一地点出发的 B 乌龟一直做匀加速运动 兔子先加速后匀速再加速 C 骄傲的兔子在 t4时刻发现落后奋力追赶 但由于速度比乌龟的速 度小 还是让乌龟先到达预定位置 x3处 D 在 0 t5时间内 乌龟的平均速度比兔子的平均速度大 3 为了应对最新国际局势的变化 巴基斯坦高调举行了 高标一 2010 军事演习 2010 年 8 月 6 日空军飞行员展示了操控由中巴联合研制的 枭龙 JF 一 17 巴方代号 闪电 战机的能力 并利用其外挂导弹精确击中 敌方目标 把整个演习过程一次次推向高潮 获得了在场专家的 高度评价 如图是 枭龙 战机在演练中竖直方向的速度一时间图象 则此过程关于飞机飞行 情况的说法正确的是 AC A 飞机在前 100s 内的竖直方向的加速度大小为 0 2 m s2 B 在 100s 到 200s 时间内飞机静止 C 飞机在 200s 到 300s 内竖直方向的加速度大小为 0 1 rn s2 D 在 400s 时 以地面为参考系 飞机的速度大小为 0 4 一质点沿直线运动时的速度一时间图线如图所示 则以下说法中正确的是 CD A 第 ls 末质点的位移和速度都改变方向 B 第 2s 末质点的位移改变方向 C 044s 内质点的位移为零 D 第 3s 末和第 5s 末质点的位置相同 5 2010 年 4 月 12 日 亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国 海军护航编队保护的商船 中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离 假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的 v t 图象如图所示 设运动 过程中海盗快艇所受阻力不变 则下列说法正确的是 B A 海盗快艇在 0 66s 内从静止出发做加速度增大的加速直线运动 B 海盗快艇在 96s 末开始调头逃离 C 海盗快艇在 66s 末离商船最近 D 海盗快艇在 96s 116s 内做匀减速直线运动 6 某同学在学习了动力学知识后 绘出了一个沿直线运动的物体的加速度 a 速度 v 位移 x 随时 间变化的图象如图所示 若该物体在 t 0 时刻 初速度均为零 则下列图象中表示该物体沿单 一方向运动的图象是 C 7 甲 乙两辆汽车 同时在一条平直的公路上自西向东运动 开始时刻两 车平齐 相对于地面的 v 一 t 图象如图所示 关于它们的运动 下列说 法正确的是 A A 甲车中的乘客说 乙车先以速度 v0 向西做匀减速运动 后向东做匀 加速运动 B 乙车中的乘客说 甲车先以速度 v0向西做匀减速运动 后做匀加速运动 C 根据 v t 图象可知 开始乙车在前 甲车在后 两车距离先减小后增大 当乙车速度增大到 矾时 两车恰好平齐 D 根据 v t 图象可知 开始甲车在前 乙车在后 两车距离先增大后减小 当乙车速度增大到 v0时 两车恰好平齐 8 a b 两物体从同一位置沿同一直线运动 它们的速度图象如图所示 下列 说法正确的是 C A a b 加速时 物体 a 的加速度大于物体 b 的加速度 B 20s 时 a b 两物体相距最远 C 60s 时 物体 a 在物体 b 的前方 D 40s 时 a b 两物体速度相等 相距 200 m 9 两辆完全相同的汽车 沿水平直线一前一后匀速行驶 速度均为 v0 若前车突然以恒定加速度 刹车 在它刚停车后 后车以与前车相同的加速度开始刹车 已知前车在刹车过程中所行的距 离为 s 若要保证两车在上述情况下不相撞 则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为 B A s B 2s C 3s D 4s 10 矿井里的升降机 由静止开始匀加速上升 经 5 s 速度达到 4 m s 后 又以这个速度匀速上升 20 s 然后匀减速上升 经过 4 s 停在井口 求矿井的深度 解析 用 v t 图象的方法解题 建立 v t 图象如图所示 图象中的梯形面积即表示升降机运动的位移大小 通过计算梯形面积 得到井深为 98 m m98 2 4 29 525 s 11 A B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶 当 B 车在 A 车前 84 m 处时 B 车速度为 4 m s 且以 2 m s2的加速度做匀加速运动 经过一段时间后 B 车加速度突然变为 零 A 车一直以 20 m s 的速度做匀速运动 经过 12s 后两车相遇 问 B 车加速行驶的时间是多 少 解析 设 A 车的速度为 vA B 车加速行驶时间为 t 两车在 t0时相遇 则有 0 tvs AA 2 1 0 2 ttatva