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洛伦兹力问题及解题策略 佛山市南海区西樵高级中学方红德 纵观广东省近十年物理高考对洛伦兹力问题的考查情况可知 近十年高考均涉及了洛伦兹力问题 并且大部分时候都以压轴计算题的形式出现 且分值居高不下 由此可见 洛伦兹力问题是高考命题的热点之一 其重要性由此可见一斑 高考对洛伦兹力问题的考查 侧重于知识应用方面的考查 难度相对较大 对考生的空间想象能力及物理过程 运动规律的综合分析能力要求较高 所以对洛伦兹力问题必须引起高度的重视 学习内容一 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心的确定及半径 周期和在磁场中运动时间的有关问题 二 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的临界问题 三 带电粒子在复合场中运动的有关问题 说明 本节课侧重过程和思维分析 计算过程从简 一 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心的确定及半径 周期和在磁场中运动时间的有关问题 1 确定圆心的方法 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧 根据F v 圆心一定在与速度方向垂直的直线上 圆心位置的确定通常有两个方法 1 如图甲所示 图中P为入射点 M为出射点 已知入射方向和出射方向时 可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线 两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心O 2 如图乙所示 图中P为入射点 M为出射点 已知入射方向和出射点的位置时 可以通过入射点作入射方向的垂线 连接入射点和出射点 作其中垂线 这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心O 2 半径 周期的计算 带电粒子垂直磁场方向射入磁场 只受洛伦兹力 将做匀速圆周运动 如右动画所示 所以有 3 圆心角和运动时间的确定 如右图 由几何知识可得偏向角等于圆心角等于弦切角的两倍 即 知道圆心角 就可以找出运动时间与周期的关系 例1 确定下列常见的各运动电荷在磁场中运动的圆心 1 2 3 4 5 7 6 例2 如下图所示 匀强磁场磁感应强度为B 0 2T 方向垂直纸面向里 在磁场中P点引入一个质量为m 2 0 10 8kg 带电荷量为q 5 10 6C的正粒子 以v 10m s的速度垂直于磁场方向开始运动 运动方向如图所示 不计粒子重力 磁场范围足够大 1 请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹 2 粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大 解 1 由左手定则可知 正粒子在匀强磁场中应向P点上方偏 轨迹如右图 mvqB 例2 如下图所示 匀强磁场磁感应强度为B 0 2T 方向垂直纸面向里 在磁场中P点引入一个质量为m 2 0 10 8kg 带电荷量为q 5 10 6C的正粒子 以v 10m s的速度垂直于磁场方向开始运动 运动方向如图所示 不计粒子重力 磁场范围足够大 1 请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹 2 粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大 解 1 由左手定则可知 正粒子在匀强磁场中应向P点上方偏 轨迹如右图 2 由r 得r 0 2m 2 mqB 由T 得T 0 126s 例3 如图所示 一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向 磁感应强度为B 并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中 穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为 30 求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间 例3 如图所示 一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向 磁感应强度为B 并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中 穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为 30 求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间 解析如图所示 由直角三角形OPN知 电子的轨迹半径 电子在磁场中运动周期为电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为 30 故电子在磁场中的运动时间为 圆轨道的圆心位于OP的中垂线上 由几何关系可得 式中R为圆轨道的半径 联立 两式 解得 得 解 如右图所示 二 带电粒子在磁场中的临界问题 例5 如图 宽度为d的匀强有界磁场 磁感应强度为B MM 和NN 是磁场左右的两条边界线 现有一质量为m 电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中 45 要使粒子不能从右边界NN 射出 求粒子入射速率的最大值为多少 解析 粒子的半径与速度成正比 可作出带电粒子运动的轨迹如右图所示 当其运动轨迹与NN 边界线相切于P点时 这就是具有最大入射速率vmax的粒子的轨迹 所以 d R 1 cos45 由 解得 例6 分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场 磁感应强度为B 方向垂直纸面向里 电荷量为q 质量为m的带正电的粒子从磁场边缘a点沿圆的半径aO方向射入磁场 离开磁场时速度方向偏转了60 角 试求 1 粒子做圆周运动的半径 2 粒子的入射速度 3 粒子在磁场中运动的时间 解 1 设带正电的粒子从磁场区域射出点为c 根据对称性可知 从径向射入的电荷必然也径向射出 所以射入方向与射出方向反向延长线交于磁场圆心O点 如右图所示 通过作a点射入方向与c点射出方向的垂线 交点即为圆弧的圆心O 则圆心角等于偏向角等于600 即 aO c 60 所示轨道半径为 2 根据圆周运动的规律有 3 电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比 由图可知 三 带电粒子在复合场中的计算题 例7 如图所示 在xOy坐标平面的第一象限内有沿 y方向的匀强电场 在第四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场 现有一质量为m 带电荷量为 q的粒子 重力不计 以初速度v0沿 x方向从坐标为 3l l 的P点开始运动 接着进入磁场后由坐标原点O射出 射出时速度方向与y轴正方向夹角为45 求 1 粒子从O点射出时的速度v和电场强度E 2 粒子从P点运动到O点过程所用的时间 解析根据题意可推知 带电粒子在电场中做类平抛运动 由Q点进入磁场 在磁场中做匀速圆周运动 最终由O点射出 轨迹如图所示 1 根据对称性可知 粒子在Q点时速度大小为v 方向与 y轴方向成45 则有 vsin45 v0 v0 v s 例8 如图所示 空间分布着如图所示的匀强电场E 宽度为L 和匀强磁场B 两部分磁场区域的磁感应强度大小相等 方向相反 一带电粒子电量为q 质量为m 不计重力 从A点由静止释放 经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径而返回A点 重复前述过程 求中间磁场的宽度d和粒子的运动周期 例8 如图所示 空间分布着如图所示的匀强电场E 宽度为L 和匀强磁场B 两部分磁场区域的磁感应强度大小相等 方向相反 一带电粒子电量为q 质量为m 不计重力 从A点由静止释放 经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径而返回A点 重复前述过程 求中间磁场的宽度d和粒子的运动周期 解 作出粒子运动轨迹如图 设粒子在电场中加速后速度为v 所需时间为t1 由动能定理及运动学知识 或动量定理 得 或 二 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 一 带电粒子在匀强磁场中的运动规律 1 作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力 沿其方向延长线的交点确定圆心 从而确定其运动轨迹 3 圆周上任意两点连线的中垂线过圆心 圆周上两条切线夹角的平分线过圆心 过切点作切线的垂线过圆心 2 作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力 沿其方向的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点确定圆心 从而确定其运动轨迹 1 带电粒子在磁场中 v B 运动只受洛仑兹力 粒子做匀速圆周运动 2 轨道半径 3 周期 洛伦兹力问题解题策略小结 祝同学们学习快乐 练习1 电子质量为m电荷量为q 以速度v0与x轴成 角射入磁感应强度为B的匀强磁场中 最后落在x轴上的P点 如图所示 求 1 的op长度 2 电子由O点射入到落在P点所需的时间t 解析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 应根据已知条件首先确定圆心的位置 画出运动轨迹 所求距离应和半径R相联系 所求时间应和粒子转动的圆心角 周期T相联系 1 过 点和P点作速度方向的垂线 两线交点即为电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心 如图所示 则可知 由 式可解得 由 式可解得 2 电荷在磁场中运动的时间与圆心角成正比 由图可知 由 得 练习2 如下图所示 长为L 间距为d的平行金属板间 有垂直于纸面向里的匀强磁场 磁感应强度为B 两板不带电 现有质量为m 电荷量为q的带正电粒子 重力不计 从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入 欲使粒子不打在板上 求粒子速率v应满足什么条件 练习3 如图所示 在xOy平面内 y 0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场 磁感应强度为B 一质量为m 带电荷量大小为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60 角方向以v0射入 粒子的重力不计 求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置 思路 确定粒子的电性 判定洛伦兹力的方向 画运动轨迹 确定圆心 半径 圆心角 确定运动时间及离开磁场的位置 解析 当带电粒子带正电时 轨迹如图中OAC 对粒子 由于洛伦兹力提供向心力 则 q v 0 B m v 2 0 R R m v 0 qB T 2 m qB 故粒子在磁场中的运动时间 t 1 240 360 T 4 m 3 qB 练习4 如图 水平向右的匀强电场场强为E 水平方向垂直纸面向外的匀强磁场 磁感应强度为B 其间有竖直固定的绝缘杆 杆上套有一带正电荷量为q 质量为m的小球 小球与杆间的动摩擦因数为 已知mg qE 现使小球由静止释放 试求小球在下滑过程中的最大加速度和最大速度 解析 做好小球运动过程的动态分析 找出极值对应的条件 小球释放瞬间 受重力mg 水平向右的电场力F qE 杆给小球向左的弹力FN FN与F平衡 则FN qE 向上的摩擦力f 因为mg qE 所以小球加速下滑 小球运动后 出现向左的洛伦兹力f洛 qvB 小球受力如图甲所示 则有水平方向FN qvB qE 竖直方向mg FN ma 解得a mg qvB qE m v f洛 FN f F合 a 可见小球做加速度增加的加速运动 在f 0 即FN 0时 加速度达到最大 由 式得 amax g 答案 g 此时速度可由 式得 但速度继续增大 洛伦兹力增大 支持力反向 受力如图乙 有 水平方向qvB FN qE 竖直方向mg FN ma 解得a mg qvB qE m 小球运动的动态过程为 v f洛 FN f F合 a 小球做加速度减小的加速运动 在a 0时速度达到最大 由 式得vmax mg qE Bq 练习5 一带电质点 质量为m 电量为q 以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域 为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出 可在适当的地方加一个垂直于Oxy平面