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常见的数学模型及建模方法 3.1 量纲分析与轮廓模型一. 量与量纲1. 量及其度量10. 模型所涉及的主要是量不是数20. 量（物理量）可以分为： 基本量：基础的，独立的量: 长度、质量、时间、 导出量：由基本量通过自然规律导出的量: 速度、加速度、力、30. 量的度量体系 单位制：基本量及其度量单位40. 国际单位（SI）制 基 本 量 名称 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度 q 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd物质的量 N 摩尔 mol 导 出 量 名称 单 位 符 号力 牛 顿 N（kgms-2） 能量 焦 耳 J（kgm2s-2）功率 瓦 特 W（kgm2s-3） 频率 赫 兹 Hz（s-1）压强 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2） 2. 量纲：10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式 Q=La M b Tg Ih qd J x N z为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。a b g h d x z 称为量纲指数。 例. 长度=L、质量=M、时间=T、面积=L2 体积=L3、 速度=LT-1, 加速度=LT-2、力=MLT-2, 能量=ML2T-2. 注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。 2. 对于某个物理量Q, 如果 Q=La M b Tg Ih qd J x N z，有a=b=g=h=d=x=z=0，则称之为无量纲量，记为Q=1 。它将不依赖于选定的基本量。 3. 无量纲量不一定是无单位的量。20. 量纲齐次法则 一个物理规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。例如, 牛顿第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-2 满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所涉及的物理量的量纲单位的选择无关。二. 量纲分析量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。 例1 建模描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。假设：1. 平面运动，忽略地球自转； 2.忽略可能的磨擦力；3. 忽略空气阻力； 4.忽略摆线的质量和变形. 分析建模 10. 列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 x. 20. 写出量纲: t=T，l=L，m=M，g=LT-2，x=1. 30. 写出规律: F(t, l, m, g, x)= 0. 40. 写出规律中加项 p 的形式: p=t y1 l y2 m y3 g y4 xy5 50. 计算 p 的量纲: p = T y1 L y2 M y3 （LT-2）y4= T y1-2y4 L y2 + y4 M y3 60. 应用量纲齐次原理: 由p = 1，可得关于yi （i 1, 2, , 5）的方程组 y1 2y4 = 0 y2 + y4 = 0 y3 = 0 y5 任意 70. 解方程组: 解空间的维数是二维。对自由变量（y4，y5）选取基底（1，0）和（0，1）。关于y1, y2, y3 求解方程组可得基础解系(2, -1, 0, 1, 0)T, (0, 0, 0, 0, 1)T 80. 求p: 将方程的解代入加项 p 的表达式，可得 p1 = t2 l-1 g， p2 = x .90. 建模: 单摆运动的规律应为 f (p1, p2) = 0，解出 p1 可得 p1 = k1(p2)，即有 . 100. 检验： 周期与 质量 m m=390g m=237gl = 276cm 3.327s 3.350sl = 226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅 x (l=276cm, m=390g) x (度) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62k (x) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 可见： 当 x 150 时, k( x ) 2 p。 k(x) 与 x 有关。 Buckingham p 定理: 物理量的函数关系 F(x1, ,xk) = 0 是量纲齐次的, 当且仅当它可以表示成形式 f(p1, , pm) = 0， 其中 ，i=1,2,m k,为 xj 的无量纲乘积， 即 pi = 1. 在常微分方程(丁同仁、李承治编)书中，通过建立单摆方程 讨论单摆运动规律，得到在初始条件： x (t0)= x0, dx/dt(t0)=0 下，单摆振动周期 T=T(x0)满足规律, 当 x00 时，T(x0) 2p(l/g)1/2 当 x0p 时，T(x0 ) 。三. 量的比例关系与轮廓模型1. 量的比例关系. 因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，又由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。所以在同一模型中，若量 x1和 x2的量纲分别为 x1 = Xa 和 x2 = Xb ，则一定有 x1=k x2 a/ b 举例例 1. 正立方体：棱长 l0=a，底面周长 l1 = 4a，底面对角线长，对角线长；表面积 S1 = 6a2，底面面积 S2 = a2， 对角面面积 ；体积 V1 = a3，四棱锥体积 V2 = a3/3结论：在简单的几何体中， 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；Si Lj2 即有Si = k1 Lj2 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；Vi Lj3 即有Vi= k2Lj3 相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Vi Sj3/2 即有Vi = k3Sj3/2。长方体：棱长 (a, b, c)，总棱长L1=4(a+b+c), 底面周长 L2=2(a+b),对角线长 表面积 S1=2(ab+bc+ca), 底面面积 S2= ab, 体积 V1=abc, 四棱锥体积 V2=1/3 abc.若长方体 II 有棱长(a*, b*, c*), 且a*/a = b*/b = c*/c = m.则有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3; S1*= m2S1, S2*= m2S2; V1*= m3V1, V2*= m3V2.于是可得Si*/Lk*2=Si/Lk2; Vi*/Lk*3=Vi/ Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.即得 S=k1L2, V=k2L3,V=k3S3/2.结论：在相似的几何体中，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； Si Lj2，相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比； Vi Lj3相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Vi Sj3/2。 同样的结论对抽象几何体一般也成立例2. 生活中的长度、面积和体积。10. 纽约黑鲈的体重W和体长L W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088 黑鲈鱼的体重与体长关系20. 人的体重W和身高LW(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185L3(103cm3) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118人的体重W和身高L关系30 蜥蜴的体长与体重 小蜥蜴体长15cm,体重为15g, 当它长到20cm长时体重为多少? (20g, 25g, 35g, 40g)以上的例子表明，不少的动物的体重w与体长l的立方呈正比, 即 w l3. 自然界中还存在其它情况。40 老虎的身长（不含头尾）与体重注意到老虎身体的躯干明显下垂。视老虎的躯干为长度为l，直径为d，截面面积为s的圆柱体。设老虎体重为 w 。由弹性力学的研究结果知，动物在自身体重w作用下躯干的最大下垂度 b wl3/(sd2)。 因为 w sl, 所以 b/l l3/d2. 称 b/l为躯干的相对下垂度，它应视为与动物尺寸无关的常数。于是 l3 d2, 再考虑到 w sl, s d2, 结果得到 w l4. 2. 轮廓模型 直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。例3. 商品的包装与成本 商 品 价格 含量 单价 价格 含量 单价高露洁牙膏 15.7元 190g 8.3元/100g 5.8元 60g 9.7元/100g诗芬洗发液 35.9元 400ml 9元/100ml 23.1元 200ml 11.5元/100ml富丽饼干 8.8元 450g 1.9元/100g 3.0元 150g 2元/100g奇宝饼 5.9元 250g 2.3元/100g 4.3元 150g 2.87元/100g建模分析为什么小包装的商品比大包装的要贵一些?假设: 10.包装只计装包工时和包装材料。 20.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。 30.不同规格的商品装包时工作效率相同。 40.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响。参量与变量 W:每件商品净重（产品的含量）, C(W): 每件商品的总成本, A: 每件商品中产品的成本, B1: 每件商品装包工时投入, B2: 每件商品包装材料成本， S: 包装材料用量, c(W):商品单位重量的平均成本. 分析：C(W) = A + B1 + B2 A = a1W, B1 = a2W, B2 = a3S = a4w2/3， 模型：C(W)= k1W + k2W2/3， c(W) = k1 + k2W-1/3应用于价格预测： 康尔乃奶粉 32.4元 400g; 67.1元 900g. 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 解得: k1 = 5.3791, k2 = 4.3192 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3. 预测: W=1800, C(W) = 126.49. W=2500, C(W) = 154.36检验: 实际 W=1800, C(W)=115.9, W=2500, C(W)=146.85可赛矿泉水：1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升 0.6 k1+ 0.62/3k2 = 1.7 1.0 k1+1.02/3 k2 = 2.2 解得： k1 = -1.21， k2 = 3.41 模型: C(W)=-1.21W + 3.41W2/3.预测：W=1.5，C(W)= 2.65检验: 实际 W=1.5, C(W)= 3.45 分析 10. 轮廓模型不宜于预报新商品的价格(?) 20. 成本的降低率 r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3是商品量的减函数. 30. 支出的节省率 S(W) = W r(W) = 1/3 k2W-1/3也是商品量的减函数. 购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！ 例4. 划艇比赛的成绩 问题1. 划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种，赛程 2000m, 称划行时间为比赛成绩。 试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员人数的关系。 假设：10.艇身相似，艇重 U 与桨手人数 n 呈正比。20.运动员体重 W 相等，每人输出功率 P 不变, 且与体重 W 呈正比。30. 艇速 v 定常，阻力 F与 Sv2 呈正比，S 为浸没面积。参量、变量n: 人数， W: 体重，P: 输出功率,U: 艇重，v: 艇速，F: 划艇受到的阻力，S: 浸没面积, V：排水体积，D: 比赛距离，T: 比赛成绩(时间). 分析：由假设可知 U=k3n， P=k1W, F=k2Sv2.由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度。因此有 n P = k4 F v，则 k1 n W = k4 k2 S v3。于是得到速度模型 v = k9 (nW/S)1/3.由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与载人艇的总重量呈正比, V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n。浸没面积与排水体积关系为 S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度模型，可得 v=k9(nW/n2/3)1/3=k10n1/9最后得到比赛成绩的模型 T=D/v=k n-1/9.检验：划艇四次比赛的成绩 种类 成绩(划2000米时间(分) 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 双人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775