第二章 第一节

第一节函数及其表示1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)函数是一种特殊的映射()(4)若AR，B(0，)，f：xy|x|，则对应f可看作从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2函数f(x)的定义域为()A0,2) B(2，)C0,2)(2，) D(，2)(2，)解析：选C由题意得解得x0且x2.3下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2 By1Cy1 Dy1解析：选B对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.4下列图形中可以表示为以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()解析：选CA选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系故选C.5设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a_.解析：若a0，则12，得a1；若a0，解得0x2，故其定义域是0,2)2(2018济南模拟)函数f(x)的定义域为_解析：要使函数f(x)有意义，则(log2x)210，即log2x1或log2x2或0x0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R；(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，)；(7)ytan x的定义域为.函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.典题领悟(1)已知fx2，求函数f(x)的解析式(2)已知flg x，求f(x)的解析式(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式(4)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式解：(1)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x(，22，)(2)令1t，得x，代入得f(t)lg，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x(1，)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(4)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)2x12x.即f(x).故f(x)的解析式是f(x).解题师说1依题型准确选用4种方法速求函数解析式题型方法步骤已知函数f(g(x)F(x)求解析式配凑法将右边的F(x)整理或配凑成关于g(x)的表达式，然后用x将g(x)代换，便得f(x)的解析式(如典题领悟(1)已知复合函数f(g(x)F(x)求解析式换元法令g(x)t，从中解出x(用t表示)，代入F(x)进行换元后，得到f(t)，再将t换成x，便得f(x)的解析式(如典题领悟(2)已知函数类型(如一次函数，二次函数)求解析式待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数(如典题领悟(3)求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题)解方程组法已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式(如典题领悟(4)2谨防求函数解析式的2种失误(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题求出解析式后要标注x的取值范围(如典题领悟第1题、第2题)(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围如已知f()x1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)x21，函数f(x)的定义域是0，)，而不是(，)冲关演练1(尝试用换元法解题)如果f，则当x0且x1时，f(x)等于()A.B.C. D.1解析：选B令t，得x(t0且t1)，f(t)(t0且t1)，f(x)(x0且x1)2(尝试用待定系数法解题)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x解析：选A设所求函数解析式为f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc(a0)，由题意知解得f(x)x3x2x.3(尝试用配凑法解题)已知f，则f(x)()A(x1)2 B(x1)2Cx2x1 Dx2x1解析：选Cf21，所以f(x)x2x1.4(尝试用解方程组法解题)已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.解析：2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.,常见的命题角度有：,(1)求值问题；,(2)求参数或自变量的值(或范围).题点全练角度(一)求值问题1已知函数f(x)则f的值为()A1B1C. D.解析：选B依题意得ff1f112cos2221.题型技法求分段函数的函数值的方法求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点角度(二)求参数或自变量的值(或范围)2(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析：由题意知，可对不等式分x0,0讨论当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当01，显然成立当x时，原不等式为2x2x1，显然成立综上可知，所求x的取值范围是.答案：题型技法求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围题“根”探求看个性角度(一)是求分段函数的函数值；角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围找共性(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题冲关演练1已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)()A2 B2C3 D3解析：选B由题意得f(0)a0b1b2，解得b1；f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.2设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A. B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)解析：选C若a0，则f(a)1a71a3，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综合可得3af(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：选A由已知得f(1)3，当x0时，由f(x)f(1)得x24x63，解得0x3.当xf(1)得x63，解得3xf(1)的解集是(3,1)(3，)(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1下列所给图象是函数图象的个数为()A1B2C3 D4解析：选B中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象2(2018濮阳检测)函数f(x)log2(12x)的定义域为()A. B.C(1,0) D(，1)解析：选D由12x0，且x10，得x且x1，所以函数f(x)log2(12x)的定义域为(，1).3已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A. BC. D解析：选A令tx1，则x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则4a16，解得a.4已知f(x)则f f的值等于()A2 B4C2 D4解析：选B由题意得f2，fff2，所以ff4.5若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x23x Bg(x)3x22xCg(x)3x22x Dg(x)3x22x解析：选B设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x.6已知函数f(x)且f(x0)1，则x0()A0 B4C0或4 D1或3解析：选C当x01时，由f(x0)2x01，得x00(满足x01)；当x01时，由f(x0)log3(x01)1，得x013，则x04 (满足x01)，故选C.7函数f(x)ln(x1)(x2)0的定义域为_解析：要使函数有意义，需满足解得x1且x2，所以该函数的定义域为(1,2)(2，)答案：(1,2)(2，)8设函数f(x)则f(f(2)_，函数f(x)的值域是_解析：f(2)，f(f(2)f2.当x1时，f(x)(0,1)，当x1时，f(x)3，)，f(x)3，)答案：3，)9(2018张掖一诊)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于_解析：f(1)20，且f(1)f(a)0，f(a)20，故a0.依题知a12，解得a3.答案：310已知函数f(x)若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)96a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a0，得t1或t1，即f(t)lg的定义域为(1，)，故函数f(x)的定义域为(1，)答案：(1，)6设函数f(x)且f(2)3，f(1)f(1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象解：(1)由f(2)3，f(1)f(1)，得解得所以f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示7.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图(1)求出y关于x的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度解：(1)由题意及函数图象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.x0，0x70.故行驶的最大速度是70 km/h.C级重难题目自主选做1(2017山东高考)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8解析：选C当0a1时，a11，f(a)，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)，2a，解得a或a0(舍去)ff(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解综上，f6.2已知f是有序数对集合M(x，y)|xN*，yN*上的一个映射，正整数数对(x，y)在映射f下的象为实数z，记作f(x，y)z.对于任意的正整数m，n(mn)，映射f由下表给出：(x，y)(n，n)(m，n)(n，m)f(x，y)nmnmn则f(3,5)_，使不等式f(2x，x)4成立的x的集合是_解析：由题表得f(x，y)可知f(3,5)538.xN*，都有2xx，f(2x，x)2xx，则f(2x，x)42xx4(xN*)2xx4(xN*)，当x1时，2x2，x45,2xx4成立；当x2时，2x4，x46,2xx4成立；当x3(xN*)时，2xx4.故满足条件的x的集合是1,2答案：81,2(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1.下列所给图象是函数图象的个数为()A1B2C3 D4解析：选B中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象2.(2018濮阳一高第二次检测)函数f(x)log2(12x)的定义域为()A. B.C(1,0) D(，1)解析：选D由12x0，且x10，得x且x1，所以函数f(x)log2(12x)的定义域为(，1).3已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A. BC. D解析：选A令tx1，则x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则4a16，解得a.4(2018石家庄质检)设函数f(x)若f2，则实数n的值为()A BC. D.解析：选D因为f2nn，当n1，即n时，f2n2，解得n，不符合题意；当n1，即n时，flog22，即n4，解得n，符合题意，故选D.5(2017山东高考)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8解析：选C当0a1时，a11，f(a)，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)，2a，解得a或a0(舍去)ff(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解综上，f6.6.(2018西安八校联考)已知函数f(x)则f(f(4)_.解析：依题意得f(4)log42，所以f(f(4)f(2)22.答案：7.函数f(x)的定义域为_解析：要使原函数有意义，则解得0x2，且x1.所以函数f(x)的定义域为(0,1)(1,2)答案：(0,1)(1,2)8.已知函数f(x)若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)96a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a3.答案：(1,3)9.如图，已知点A(n，2)，B(1,4)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOC的面积解：(1)因为点B(1,4)在反比例函数y上，所以m4.又因为点A(n，2)在反比例函数y上，所以n2.又因为A(2，2)，B(1,4)是一次函数ykxb上的点，则解得即y2x2，所以反比例函数的解析式为y，一次函数的解析式为y2x2.(2)因为y2x2，令x0，得y2，所以C(0,2)，所以AOC的面积S222.10设函数f(x)且f(2)3，f(1)f(1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象解：(1)由f(2)3，f(1)f(1)，得解得所以f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示B级拔高题目稳做准做1(2018山西名校联考)设函数f(x)lg(1x)，则函数f(f(x)的定义域为()A(9，) B(9,1)C9，) D9,1)解析：选Bf(f(x)f(lg(1x)lg1lg(1x)，则9x1.2已知具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是()ABC D解析：选B对于，f(x)x，fxf(x)，满足题意；对于，fxf(x)，不满足题意；对于，f即f故ff(x)，满足题意综上可知，满足“倒负”变换的函数是.3设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围为_解析：由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，所以a，所以a1.当a1时，有2a1，所以a0，所以a1.综上，a的取值范围为.答案：4已知f是有序数对集合M(x，y)|xN*，yN*上的一个映射，正整数数对(x，y)在映射f下的象为实数z，记作f(x，y)z.对于任意的正整数m，n(mn)，映射f由下表给出：(x，y)(n，n)(m，n)(n，m)f(x，y)nmnmn则f(3,5)_，使不等式f(2x，x)4成立的x的集合是_解析：由题表得f(x，y)可知f(3,5)538.xN*，都有2xx，f(2x，x)2xx，则f(2x，x)42xx4(xN*)2xx4(xN*)，当x1时，2x2，x45,2xx4成立；当x2时，2x4，x46,2xx4成立；当x3(xN*)时，2x