直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

精品文档 1欢迎下载 直直线线关关于于直直线线对对称称问问题题的的常常用用方方法法与与技技巧巧 对称问题是高中数学的比较重要内容 它的一般解题步骤是 1 在所求曲线上选一 点 2 求出这点关于中心或轴的对称点与之间的关系 3 yxM 00 yxM yxM 利用求出曲线 直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难0 00 yxf0 yxg 的习题 但它的解法很多 现以一道典型习题为例给出几种常见解法 供大家参考 例题 试求直线关于直线对称的直线 的方程 01 1 yxl033 2 yxll 解法 1 动点转移法 在上任取点 设点 P 关于的对称点为 则 1 l 2 lPyxP 2 l yxQ 5 343 5 934 3 1 03 22 3 yx y yx x xx yy yyxx 又点 P 在上运动 所以 所以 即 1 l01 yx01 5 343 5 934 yxyx 所以直线 的方程是 017 yxl017 yx 解法 2 到角公式法 解方程组所以直线的交点为 A 1 0 0 1 033 01 y x yx yx 21 l l 设所求直线 的方程为 即 由题意知 到与到 的角相l 1 xky0 kykx 1 l 2 l 2 ll 等 则 所以直线 的方程是 7 1 31 3 131 13 k k k l017 yx 解法 3 取特殊点法 由解法 2 知 直线的交点为 A 1 0 在上取点 P 2 1 设点 P 关于的对称点 21 l l 1 l 2 l 的坐标为 则 yxQ 5 7 5 4 3 1 2 1 03 2 1 2 2 3 y x x y yx 而点 A Q 在直线 上 由两点式可求直线 的方程是 ll017 yx 解法 4 两点对称法 精品文档 2欢迎下载 对解法 3 在上取点 P 2 1 设点 P 关于的对称点的坐标为 Q 在上取点 1 l 2 l 5 7 5 4 1 l M 0 1 设点 P 关于的对称点的坐标为而 N Q 在直线 上 由两点式可求 2 l 5 1 5 12 Nl 直线 的方程是 l017 yx 解法 5 角平分线法 由解法 2 知 直线的交点为 A 1 0 设所求直线 的方程为 设所求直线 的方程为 21 l lll 即 由题意知 为的角平分线 在上取点 P 0 3 1 xky0 kykx 2 l 1 ll 2 l 则点 P 到的距离相等 由点到直线距离公式 有 1 ll 1 7 1 1 30 2 130 2 即kk k k 时为直线 故 所以直线 的方程是1 k 1 l 7 1 kl017 yx 解法 6 公式法 给出一个重要定理 曲线 或直线 关于直线0 yxFC 的对称曲线 或直线 的方程为0 CByAxyxfl C 1 0 2 2 2222 yxf BA B yyxf BA A xF 证 设是曲线上的任意一点 它关于 的对称点为 yxM C yxMl 则于是 M 与 M 关于直线 l 对称 yxMCM 2 0 yxF 3 代 3 2 2 0 22 0 22 22 yxf BA B yy yxf BA A xx C yy B xx A yyAxxB 入 2 得 此即为曲线的方0 2 2 2222 yxf BA B yyxf BA A xF C 程 解析 定理知 直线关于直线的对称01 1 yxyxFl033 2 yxyxfl 曲线 的方程为 l 精品文档 3欢迎下载 017 0 5 1 5 7 5 1 01 5 3 5 4 5 3 5 9 5 3 5 4 0 5 3 5 4 5 3 5 9 5 3 5 4 0 33 5 1 33 5 3 0 13 1 2 13 32 2222 yx即yx yxyxyxyxF yxyyxxFyxfyyxfxF 所以直线 的方程是点关于点的对称问题 是对称问题中最基础最重l017 yx 要的一类 其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解 熟练掌 握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸 处理这类问题主要抓住 两个方面 两点连线与已知直线斜率乘积等于 1 两点的中点在已知直线 上 直线关于点的对称问题 可转化为直线上的点关于某点对称的问题 这里需要 注意到的是两对称直线是平行的 我们往往利用平行直线系去求解 例 求直线 2x 11y 16 0 关于点 P 0 1 对称的直线方程 分析 本题可以利用两直线平行 以及点 P 到两直线的距离相等求解 也可以 先在已知直线上取一点 再求该点关于点 P 的对称点 代入对称直线方程待定 相关常数 解法一 由中心对称性质知 所求对称直线与已知直线平行 故可设对称直线 方程为 2x 11y c 0 由点到直线距离公式 得 即 11 c 27 得 c 16 即为已知直线 舍去 或 c 38 故所求对称直线方 程为 2x 11y 38 0 解法二 在直线 2x 11y 16 0 上取两点 A 8 0 则点 A 8 0 关于 P 0 1 的对称点的 B 8 2 由中心对称性质知 所求对称直线与已知直 线平行 故可设对称直线方程为 2x 11y c 0 将 B 8 2 代入 解得 c 38 故所求对称直线方程为 2x 11y 38 0 点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行 再由点 对称中心 到此两直线距离相等 而求出 c 使问题解决 而解法二是转化为点关于点对 称问题 利用中点坐标公式 求出对称点坐标 再利用直线系方程 写出直线 方程 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性 直线关于直线对称问题 包含有两种情形 两直线平行 两直线相交 对 于 我们可转化为点关于直线的对称问题去求解 对于 其一般解法为先 求交点 再用 到角 或是转化为点关于直线对称问题 例 求直线 l1 x y 1 0 关于直线 l2 x y 1 0 对称的直线 l 的方程 分析 由题意 所给的两直线 l1 l2 为平行直线 求解这类对称总是 我们 可以转化为点关于直线的对称问题 再利用平行直线系去求解 或者利用距离 相等寻求解答 解 根据分析 可设直线 l 的方程为 x y c 0 在直线 l1 x y 1 0 上取点 M 1 0 则易求得 M 关于直线 l2 x y 1 0 的对称点 N 1 2 精品文档 4欢迎下载 将 N 的坐标代入方程 x y c 0 解得 c 3 故所求直线 l 的方程为 x y 3 0 点评 将对称问题进行转化 是我们求解这类问题的一种必不可少的思路 另 外此题也可以先利