合情推理与学生能力的培养.doc

合情推理与学生能力的培养新教材中安排了数学推理内容，分为合情推理和演绎推理。合情推理包括归纳推理与类比推理，应用合情推理可发现新结论，获取新方法。学好了合情推理，可提高学生的观察，归纳，猜想与发现能力。下面我们对合情推理教学内容的做些探讨：一应用归纳推理编写数学题三角函数是周期函数，以三角函数为原型，应用归纳推理，可编造周期函数题。下面以此谈谈归纳推理在编题方面的应用。在此过程中，学生既可体会习题的编写过程，又可从中获取解题方法，加深对周期函数的理解与认识。1应用三角函数诱导公式编写周期函数题.设，则，且是以的2倍为周期的周期函数。可猜想：例1函数f(x)满足对a0和定义域的任意的x,都有f(x+a) = - f(x)成立,则f(x)以2a为周期.证明: f(x+2a)= -f(x+a)= -f(x)= f(x)f(x)以2a为周期. 设，则，且的周期是的2倍。可猜想：例2函数f(x)满足对a0和定义域的任意的x,都有f(x+a) = 成立,则f(x)以4a为周期.证明: f(x+4a)= f(x)以4a为周期.2 应用两角和三角函数公式编写周期函数题设，由和的周期是的4倍，可猜想：例3函数f(x)满足对a0和定义域的任意的x,都有f(x+a) = 成立,则f(x)以4a为周期.证明: f(x+2a)= ，f(x+4a)= f(x)以4a为周期.设，由和的周期是的3倍，可得：例3数列中，且则数列以3为周期.此题结论成立，证明略。3应用三角函数对称性编造周期函数题设，由是奇函数，图象关于点对称，周期为2（，可猜想：例5若函数y=f(x) 的图象关于点A(a,0)和B(b,0) (ab)对称,则f(x)以2（b-a)为周期.证明:y=f(x) 的图象关于点A(a,0),B(b,0)都对称,对定义域内的任意x，都有f(x)=-f(2a-x), f(x)=-f(2b-x).f(x)=-f(2a-x)= -f2b-(2a-x)=f2(b-a)+x.f(x)以2(b-a)为周期.设，而是偶函数,图象关于点对称，且周期为2（.可猜想：例6若函数y=f(x) 的图象关于直线x=a和x=b (ab)都对称，则f(x)以2(b-a)为周期。证明：y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b都对称对定义域内的任意x,都有f(x)=f(2a-x), f(x)=f(2b-x).f(x)=f(2a-x)= f2b-(2a-x)= f2(b-a)+x.f(x)以2(b-a)为周期.设，而是奇函数和图象关于直线对称，且周期为4（，可猜想：例7若函数y=f(x) 的图象关于点B(b,0) 和直线x=a都对称，则f(x)以4(b-a)为周期。证明：y=f(x)的图象关于直线x=a对称，f(x)=f(2a-x).又y=f(x)的图象关于点B(b,0)对称，f(x)=-f(2b-x)(x)=f(2a-x)=-f2b-(2a-x)=-f2a-(2b-2a+x)=-f(4a-2b-x)=-f2b-(4a-2b-x)=f4(b-a)+x.f(x)以4(b-a)为周期。二应用类比推理推广数学题应用类比推理可能对数学题进行推广，下面说说用类比推理求解高考题。例8. （2002年上海春季高考题）如图2，从点所作的两条射线、上分别有点、与点、，则三角形面积之比。如图3，若从点所作的不在同一平面内的三条射线、和上，分别有点、，点、和点、，则类似结论为_.把空间三棱锥的体积与平面三角形的面积作类比，则不难得到：证明：设直线与面所成角为，则同理：例9. （2005年广东高考题）设同一平面内有条直线（其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用表示这条直线交点的个数，则当时，（用表示）例9能够推广的关键是只有两条直线不相交，且这两条直线与其它直线都相交，因此，增加相互平行的直线的条数和平行线的组数，可得例9推广命题：例10设同一平面内有组平行直线（每组平行线的条数分别为任取其中一条直线，则它与其余各组平行线中的每一条都相交，且任意三条不共点。若用表示这组直线交点的个数，则+。证明：第1组平行线的每一条与其余各组平行线的交点数为，条与其余组直线的交点数为+；同理，第2组的条直线与第3、4、组平行线的交点数为；第组的条直线与第、组平行线的交点数为；第组平行线与第组的交点数为。例10成立，特别地，取=则有，此为例9的答案。三归纳推理在解题方面的应用如果问题的一个特例已经解决，可应用归纳推理从特例的解法中寻求问题解法。以高中新课标数学教科书(人教社A版必修5)，第69页6题为例，做以说明。例11 已知数列中, (1),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?由于学生对于涉及三项递推关系的数列不熟悉,不会通过构造新数列,把问题转化为等差数列或等比数列,因此学生解答十分困难.但对于涉及两项递推关系的数列,学生相对是熟悉的,如等差数列,等比数列等.因此,我们考虑从等差数列,等比数列中,寻求解题方法.我们将(1)式中的项换成3,得到: (2).(2)式中去掉右端的常数3,得到: (3).,这是一个等比数列.因此,可猜想能否在数列(2)的两端加上一个常数,使之成为等比数列呢?如果可以,怎样确定这个常数?我们想到用待定系数法求此常数:令,即 (4),比较(2)(4)两式知:即是以2为公比的等比数列.此解法也适用于求更一般的数列:求已知(数列的通项公式。下面寻求例11的解法:由(2),(3)式的结构特征,及(2)式两端加上常数. 比较(1),(2)式,不难想到构造等比数列.令 (A)即 (B)比较(1),(B)两式的对应项系数得:,解得:或.当时, 由(A)式得:,因此数列是以3为公比的等比数列,且, (5)当时,由(A)式得: ,因此数列是以-1为公比的等比数列,且,(6)由(5),(6)两式解得此数列的通项公式:应用以上的待定系数法可以把本题解法推广到更一般的数列:已知,当时,方程的两实根为且求这个数列的通项公式.四类比推理在解题方面的应用如果欲解问题与已解过的题目在某方面可以进行类比，把解题方法进行类比，可使问题获解。例12（2000年上海高考题）在等差数列中，若则有等式+成立，类比上述性质，相应的：在等比数列中，若则有等式成立。在例1中：，+同理：+ 以上各式成立的关键是：若，则。即命题成立的关键是存在一项，使到它距离相等的项互为相反数。在等比数列中，则若，则，因此有：（。例13（2005年上海高考题）用个不同的实数, 1 2 3可得到个不同的排列，每个为一行写成行的数阵，对第行 1 3 2,记, 2 1 3。例如：用1，2，3可得数阵如右， 由于此数阵中每一列各数 2 3 1之和都是12， 所以， 3 1 2那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，+ 3