留数定理在实积分上的应用.doc

学号：20105031332学年论文（本科）学 院 信阳师范学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010级 姓 名 丁梦利 论文题目 留数定理在实积分上的应用 指导教师 何俊杰 职称 讲师 成 绩 2013 年 3月23日目 录摘 要.1关键词.1Abstract.1Keywords.1前 言.11留数及留数定理.11.1留数的定义.11.2 留数定理.22留数的求法 .23留数定理在实积分上的应用 .23.1三大类型实积分的计算 .2 3.1.1 计算型积分.2 3.1.2 计算型积分.3 3.1.3 计算型积分.53.2计算积分路径上有奇点的积分.6结束语7参考文献.8留数定理在实积分上的应用学生姓名：丁梦利 学号：20105031332数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师：何俊杰 职称：讲师摘要：本文通过介绍留数定义和留数定理，简单列举留数的求法，并重点介绍运用留数定理解决某些复杂实积分的方法.关键词：留数；留数定理；实积分Application of the residue theorem to real integralAbstract: This article list some solution methods of residue briefly , and put emphasis on the solution methods of some complex real integrals with the residue theorem by introducing the definition of residue and the theorem of residue.Key words: residue; the residue theorem; real integral 前言 在数学分析及实际问题中，往往要求出一些定积分或者反常积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；有时即便可以求出原函数，计算往往也比较复杂.实际上，实积分总是在区间上计算的，而留数理论则是关于围线积分的结论.如果利用留数定理计算某些类型的定积分或反常积分，首先设法将问题转化为围线积分，同时只需计算某些解析函数在孤立奇点处的留数；这样就把问题大大化简了.另一方面，利用留数定理计算定积分或者反常积分也有一定的局限性，利用留数解决积分问题并没有普遍适用的方法.所以，我们在文章中只考虑几种特殊类型的积分，并指出怎样把计算这些类1型的积分问题化简为计算留数的问题.1. 留数及留数定理1.1留数的定义设函数以有限点为孤立点，即在点的某去心邻域内解析，则称积分为在点的留数，记为.1.2留数定理在周线或复周线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”积分）.2.留数的求法为了应用留数求积分，首先应该掌握留数的求法.而计算在孤立点的留数时我们只需关心其洛朗展式中的这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法.定理1 设为的阶极点，其中在点解析则这里符号代表，且有推论 2 设为的二阶极点则.定理3设为的一阶级点（只要及在点解析，且，则.3. 留数定理在实积分上的应用3.1三大类型实积分的计算3.1.1 计算型积分这里表的有理数，并且在上连续，若命，则，当经历变程时沿圆周的正方向绕行一周，因此有=，右端是的有理函数的周线积分，并且积分路径上无奇点，应用留数定理就可求得其值.例1 计算积分解 命，则.当时，这样就有且在圆内只以为一阶级点，在上无奇点，由推论2所以由留数定理得.3.1.2 计算型积分为了这种反常积分，我们先引入一个引理，它主要用来估计辅助曲线上的积分.引 理1 设沿圆弧（充分大）上连续，且于上一致成立（即中的无关），则.定理4 设为有理分式，其中与 为互质多项式，且符合条件:(1)(2)在实轴上于是有例2 设计算积分.解 因，它一共有四个一阶级点且符合定理4的条件.而（这里用到了）.在上半平面内只有两个极点及，于是 =.3.1.3 计算型积分引理2 （若尔当引理） 设函数沿半圆周（充分大）上连续，且在上一致成立，则定理5 ，其中及是互质多项式，且符合条件：(1) 的次数比的次数高，(2)在实轴上，(3)，则有特别来说，将上式分开实虚部，就可以得到形如及的积分.例3 计算积分解 不难验证，函数满足若尔当引理的条件，这里函数有两个一阶级点及=于是=.比较等式两端的实部与虚部，就得=，=.3.2计算积分路径上有奇点的积分在数学分析中，对于瑕积分，也可以类似的定义它的柯西主值.又在定理5中假定无实零点，现在我们可以把条件放宽一点，容许有有限多个一阶零点，即允许函数在实轴上有有限个一阶极点.为了顾及挖去这种极点后沿辅助路径的积分，除了上面两个引理外，在引进一个与引理1相似的引理.引理3 设沿圆弧上连续，且于上一致成立，则有.例 4计算积分.解 存在，且=考虑函数沿着下图所示的闭曲线路经的积根据柯西积分定理得或写成 (1)这里及分别表示半圆周及由引理2知由引理3知在(1)式中，令取极限即得的主值所以=.结束语留数定理及其应用对复变函数论的发展起过一定的推动作用.它给某些实积分和复积分的计算提供了一个极为有效的工具.这一方法在不可能明显求得这些积分的情形下显得尤为重要，即使是在普通积分方法可以使用的情况下，应用