欧拉临界应力屈曲计算

一 稳定与失稳 1 压杆稳定性 压杆维持其自身平衡状态的能力 2 压杆失稳 压杆丧失其自身平衡状态 不能稳定地工作 3 压杆失稳原因 杆轴线本身不直 初曲率 加载偏心 压杆材质不均匀 外界干扰力 二 中心受压直杆稳定性分析 1 临界状态 由稳定平衡向微弯平衡 不稳平衡 过渡的状态 2 临界载荷Pcr 描述压杆的稳定能力 压杆临界状态所受到的轴向压力 第十二章压杆稳定 12 1压杆稳定性的概念 干扰力去除 恢复直线 a 直线稳态 干扰力去除 保持微弯 干扰力去除 继续变形 直至倒塌 c 失稳 b 微弯平衡 一 两端铰支压杆的临界力 1 思路 求Pcr 临界状态 微弯 弯曲变形 挠曲线微分方程 2 推导 3 两端铰支压杆的临界力 欧拉公式 4 注意 1 弯矩以最终平衡位置 2 I应为压杆横截面的最小惯性矩 12 2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 失稳模式如图 11 3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式 压杆的长度系数 欧拉公式的统一形式 mL 相当长度m称为长度系数 表11 1压杆的长度系数m 例12 1一端固定 另一端自由的细长压杆如图所示 试导出其临界力的欧拉公式 例12 2导出一端固定 另一端铰支压杆临界力的欧拉公式 3 例题 例12 3试导出两端固定压杆的欧拉公式 失稳模式如图 相当于2L长两端铰支压杆的临界力 失稳模式如图 相当于0 7L长两端铰支压杆的临界力 A端QA MA及B端QB不为零 失稳模式如图 相当于0 5L长两端铰支压杆的临界力 柔度 细长比 一 欧拉临界应力公式及使用范围 1 临界应力 临界力除以压杆横截面面积得到的压应力 用scr表示 横截面对微弯中性轴的惯性半径 12 4欧拉公式的应用范围 临界应力总图 欧拉临界应力公式 2 欧拉公式应用范围 线弹性状态 scr sp 即 l lp 细长杆 大柔度杆 欧拉公式的适用范围 对于A3钢 E 200GPa sp 200MPa 用柔度表示的临界压力 二 中柔度杆临界应力的经验公式 1 ss scr sp时采用经验公式 直线公式 1 scr ss 得到 抛物线公式 a1和b1是与材料有关的常数 2 lp l l0 中粗杆 中柔度杆 3 对于A3钢 2 scr sS时 强度破坏 采用强度公式 采用直线经验公式的临界应力总图 采用抛物线经验公式的临界应力总图 三 临界应力总图 2 压杆按柔度分类 细长杆 大柔度杆 中粗杆 中柔度杆 粗短杆 小柔度杆 12 5压杆的稳定条件 提高稳定性的措施 1 压杆稳定条件 三方面工作 确定许可载荷 稳定性校核 截面尺寸设计 逼近法 确定nst 除考虑确定安全系数的一般原则外 还应考虑压杆初挠度 荷载偏心等因素影响 故nst n 一 安全系数法作稳定校核 2 稳定条件可写成 sst 稳定许用应力 s 许用压应力 j 1 折减系数 与柔度和材料有关 可查规范 例12 4确定图示连杆的许用压力 Pcr 已知连杆横截面面积A 720mm2 惯性矩Iz 6 5 104mm4 Iy 3 8 104mm4 sp 240MPa E 2 1 105MPa 连杆用硅钢制成 稳定安全系数nst 2 5 若在x y面内失稳 m 1 柔度为 解 1 失稳形式判断 若在x z平面内失稳 m 0 5 柔度为 所以连杆将在x y平面内失稳 其许用压力应由lz决定 2 确定许用压力 由表11 2查得硅钢 a 578MPa b 3 744MPa ss 353MPa 计算有关的lp和l0为 可见连杆为中柔度杆 其临界载荷为 由此得连杆的许用压力为 3 讨论 在此连杆中 lz 73 7 ly 39 9 两者相差较大 最理想的设计是ly lz 以达到材尽其用的目的 1 细长压杆 提高弹性模量E2 中粗压杆和粗短压杆 提高屈服强度ss 二 提高稳定性的措施 1 采用合理的截面形状 各方向约束相同时 1 各方向惯性矩I相等 采用正方形 圆形截面 2 增大惯性矩I 采用空心截面 压杆两方向约束不同时 使两方向柔度接近相等 可采用两个主惯性矩不同的截面 如矩形 工字形