注重导数与其它知识交汇.doc

注重导数与其它知识交汇,凸现导数工具性作用湖南祁东育贤中学 周友良 匡宗春 421600知识的纵横联系必然形成知识网络的交汇，近年来“强调基础、能力立意、在知识网络交汇点处设计试题”已经成为最近两年高考试题的主要特色. 导数与函数、不等式、数列等知识的交汇在近年高考命题中更受到命题专家的亲睐.1. 导数与函数、方程的交汇.例1（06福建卷）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为点评:本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。2. 导数与函数、不等式的交汇.例2（06湖北卷）设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a0知在上的最大值为即: 又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得点评:本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力4. 导数与函数、不等式、数学归纳法的交汇.例5.（06湖南卷）已知函数,数列满足:证明:(); ().证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3, (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立.于是故点评：本题以函数为载体，以导数为工具，将不等式、数列、数学归纳法合理融合，创造了新的命题情景，同时使函数、导数、不等式与数列等知识在整合过程中均得到了进一步的升华. 例6. (06陕西卷)已知函数f(x)=x3x2+ + , 且存在x0(0, ) ,使f(x0)=x0. （I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1=, yn+1=f(yn), 其中n=1,2,（II）证明：xnxn+1x0yn+1yn; （III）证明： 0 ， f(x)是R上的单调增函数（II）0x0 ， 即x1x0y1又f(x)是增函数， f(x1)f(x0)f(y1)即x2x00 =x1， y2=f(y1)=f()=y1，综上， x1x2x0y2y1用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时，上面已证明成立(2)假设当n=k(k1)时有xkxk+1x0yk+1yk 当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk)，xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切n=1，2，都有xnxn+1x0yn+1yn（III） = = yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+ (yn+xn)2(yn+xn)+ =(yn+xn)2+ 由()知 0yn+xn1 yn+xn ， ()2+ = 5.导数与函数、不等式、数列的交汇.例7.（06浙江卷）已知函数，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）求证：当n时，()x （）证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此 故点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。6. 导数与实际性应用题的交汇.例8.（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评:本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。例9.（06福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时