第1章线性规划及单纯形法.doc

线性规划及单纯形法一选择1. 运筹学应用分析、试验、（ ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。A 统筹 B 量化 C 优化D 决策2. 运筹学研究的基本手段是（ ）。A 建立数学模型 B 进行数学分析 C 进行决策分析 D 建立管理规范3. 运筹学研究的基本特点是（ ）。A 进行系统局部独立分析 B 考虑系统局部优化 C 考虑系统的整体优化 D 进行系统的整体决策4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（ ）A 表达式 B 约束条件 C 方程变量 D 价值系数5. 线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域（凸集）的（ ）A 边 B 平面 C 顶点 D 内部6. 目标函数取极小化（）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（ ）的线性规划问题求解A B C D 7. 标准形式的线性规划问题，最优解（ ）是可行解A 一定 B 一定不 C 不一定 D 无法确定8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（ ）。A最优解B 基可行解 C 可行解 D 基解9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（ ）A 管理问题 B 规划问题 C 决策问题 D 优化问题 10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（ ）个的线性规划问题A1 B 2 C 3 D 411. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（ ）、无可行解A 无解B 无基解 C 无界解 D 无基可行解12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（ ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解D 无可行解13. 线性规划问题的基可行解为基可行解的充要条件是的正分量所对应的系数列向量是（ ）A 线性相关 B 线性独立 C非线性独立 D 无法判断14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（）A唯一最优解B无穷多最优解C无界解D无可行解15.如果集合C中任意两个点其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为（B ）A集合B 凸集C 顶点D 子集16.线性规划问题求解的时候，目标函数与某一个约束条件平行，则解的情况为（ D）A无穷多最优解B无可行解C唯一最优解D无法确定17.线性规划问题求解的时候,该线性规划问题有可行域，目标函数与某一个约束条件平行，则解的情况为（A ）A无穷多最优解B无可行解C唯一最优解D无法确定18运筹学涉及的主要领域是（C ） A技术问题B经济问题C管理问题D以上都不是19.齐王赛马的故事运用运筹学的（C ）理论。A 规划论B存贮论C博弈论D排队论20.工业企业生产中多台设备的看管、机修服务等问题属于（ D）A 规划论B存贮论C博弈论D排队论21.单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为. 其中为（）ABCD22. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（C ）ABCD23. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（B ）24. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（D ）25. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（A）26. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（A）27. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（A） 28. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（A） 29. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（A） 30. 单纯形法的迭代计算实际上是对约束方程的系数矩阵实施行的初等变换。由线性代数知道，对矩阵实施行的初等变换时，当B变换为I，由此上述矩阵将变换为.其中为（A） 二填空1. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（可行解）。2. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理 （变量）为两个的线性规划问题。3. 运筹学的英文缩写为（OR）4. 运筹学按照所解决问题性质的差别，将实际问题归纳不同类型的数学模型，分别是（线性规划）（非线性规划）（动态规划）（图与网络分析）（存贮论）（排队论）（对策论）（决策论）。5. 运筹学研究的基本特点是（考虑系统的整体优化）（多学科的配合）以及(模型方法的应用）6.（ 朴素）运筹学思想在我国古代最早诞生。7. 线性规划问题求解的时候,该线性规划问题可行域是空集，则（ 无可行解）。8. 单纯形法计算线性规划问题的时候，值在单纯形表的（右）侧。9. 单纯形法计算线性规划问题的时候，是计算变量为（）维的情况。10. 由于计算机计算取值的时候的误差，可以对添加人工变量后的线性规划问题分为（两个阶段）来计算。11. 在单纯形法计算的时候，一般要求（）的时候停止计算。12. 线性规划问题化为标准形式的时候，松弛变量和剩余变量统称为（松弛变量）13. 图解法是应用（平面作图）的方式进行求解。14. 运筹学一词来源于史记中（运筹帷幄之中，决胜千里之外）。15. 运筹学作为一门数学学科，是在（第二次世界大战期间）形成的16. 生产计划制定是典型的（ 线性规划问题） 数学模型的应用。17. 人事管理是典型的（ 线性规划问题） 数学模型的应用。18. 线性规划问题在添加松弛变量之后，其在目标函数中的系数为（ 零）19. 线性规划问题的可行解的集合称为（ 可行域）。20. 在线性规划中，如果系数矩阵中存在（ 单位阵）,就可以直接写出初始可行基。21.据大英百科全书释义：运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学，为掌管这类系统的人提供（决策目标）和（数量分析）的工具。22.我国辞海中关于运筹学的释义为：运筹学主要是研究经济活动与军事活动中能用（数量）来表达有关运用、筹划与管理方面的问题。它根据问题的要求，通过（数学分析与运算），作出综合性的合理安排，以达到较经济较有效地使用人力物力。23.运筹学一词的英文为Operations Research,可直译为（运用研究）或（作业研究）。24.我国从“夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外”这句古语中，将O.R正式译作（运筹学）。25.西汉初年，天下已定，汉高祖刘邦赞（ 张良）说：夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”.26.将实际问题的数据资料代入模型，找出的精确的或者近似的解毕竟是模型的解，由于模型只是对实际问题的理想化近似，特别一些大模型难免会包含各种缺陷，需要不断完善，为了检验得到的解是否正确，常采用（回溯）的方法。27.（管理科学）是研究人类管理活动的规律及其应用的一门综合性交叉科学，这是运筹学研究和提出问题的基础。28.如果集合C中任意两个点，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为（ 凸集）。29.如果C中不存在任何两个不同的点，使成为这两个点连线上的一个点。或者这样叙述：对任何，不存在，则称x是凸集C的（顶点）。30.当线性规划中约束条件为“=”或“”时，化为标准形式后，一般约束条件的系数矩阵中不包含有单位矩阵。这时为能方便地找出一个初始的基可行解，可添加人工变量来人为地构造一个单位矩阵作为基，称做（人工基）。三判断 1.图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。（正确）2.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。（正确）3.线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点（不正确）4.线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示。（正确）5.若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。（不正确）6.线性规划问题中添加了人工变量，问题满足最优性条件时基变量仍含人工变量，表明问题有可行解（不正确 ）7.运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学。（正确）8.运筹学涉及的主要领域是管理问题，研究的基本手段是建立数学模型。（正确）9.图形是凸集。（正确）10.线性规划问题求解的时候,该线性规划问题有可行域且不是闭合，则解为无界解。（不正确）11. 判断下面的数学模型是否是线性规划12.答： 否 判断下面的数学模型是否是线性规划13. 答： 否14.判断下面的数学模型是否是线性规划 答：否 15.在线性规划问题里，代表的是技术系数。（不正确）16.在线性规划问题里，代表的是价值系数。（不正确）17.线性规划问题的一般数学模型里，对变量没有约束要求。（不正确）18.大法就是人工变量法。（不正确）19.两阶段法也是添加人工变量法求解的方法。（正确）20.数据包络分析是一种对具有相同类型决策单元进行绩效评价的方法。（正确）20.数据包络分析简称DEA.（正确）22. 建立模型是运筹学应用的核心，辅助决策则是运筹学方法的精髓。（不正确）。23.运筹学模型可以选择建立数学模型或者模拟模型。（正确）24.目前运筹教材中的算法主要是求最优解，实际上管理问题的解只要满意或对最优解的足够近似即可。（正确）25.网络计划比甘特图更能从系统的观点解释了工序间的联系和制约，为计划的控制优化提供了科学的依据。（正确）26.运筹学是数学同管理学科间的重要桥梁，因而掌握运筹学的思想、模型、方法对管理工作者的成长将起到深远影响。（正确）27.丁渭修皇宫的方法是属于朴素运筹学。（正确）28.运筹学的研究不涉及多学科的配合。(不正确)29.运筹学的研究讲究实验的方法。（不正确）30.运筹学是从数量上揭示管理活动规律，促进管理科学发展的唯一学科。（不正确）30线性规划问题的唯一解法就是单纯形法。（不正确）31.四、名词解释1.系统：所谓系统可以理解为是由相互关联、相互制约、相互作用的一些部分组成的具有某种功能的有机整体。2.模型：是真实系统的代表，是对实际问题的抽象概括和严格的逻辑表达。模型表达了问题中可控的决策变量、不可控变量、工艺技术条件及目标有效度量之间的相互关系。3.回溯的方法：即是将历史的资料输入模型，研究得到的解语历史实际的符合程度，以判断模型是否是正确。当发现有较大误差时，要将实际问题同模型重新对比，检查实际问题中的重要因素在模型中是否已考虑，检查模型中各公式的表达是否前后一致，检查模型中各参数取极值情况时问题的解，以便发现问进行修正的一种方法。4.线性规划问题：经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现。这类统筹规划的问题用数学语言表达，要建立目标函数及问题的约束条件，当变量连续取值，且目标函数和约束条件均为线性时，称此类模型为线性规划模型。5.目标函数： 在经营管理中，对线性规划问题进行建立数学模型，根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通过用变量的函数形式表示称为目标函数。6.约束条件：在经营管理中，对线性规划问题进行建立数学模型，其中对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达被称为约束条件。7.非线性规划问题：如果在经营管理中，所建立的模型中目标函数及约束条件不全是线性的，对这类模型的研究便构成了非线性规划的问题。8.动态规划问题：有些经营管理活动由一系列阶段组成，在每个阶段依次进行决策，而且各阶段的决策之间互相关联，因而构成一个多阶段的决策过程。动态规划则是研究一个多阶段决策过程总体优化的问题。9.图与网络分析问题：生产管理中经常碰到工序间的合理衔接搭配问题，设计中经常碰到研究各种管道、线路的通过能力以及仓库、附属设备的布局问题。运筹学中把一些研究的对象用节点表示，对象之间的联系用连线（边）表示，点边的集合构成图。如果给图中各边赋予某些具体的权数，并指定了起点和终点，称这样的图为网络图。10.存贮论问题：为了保证企业生产正常进行，需一定数量材料和物资的储备。存贮论则是研究在各种供应和需求条件下，应当在什么时间，提出多大的订货量来补充储备，使得应于采购、贮存和可能发生的短缺的费用损失的总和为最少等问题的运筹学分支。11.排队论问题：是一种研究排队服务系统工作过程优化的数学理论和方法。在这类系统中，服务对象何时到达以及系统对每个对象的服务时间是随机的。排队论通过找出这类系统工作特征的数值，为设计新的服务系统和改进现有系统提供数量依据。工业企业生产中多台设备的看管、机修服务等都属于这类服务系统。12.博弈论问题：也称对策论，是一种用来研究具有对抗性局势的模型。在这类模型中，参与对抗的各方均有一组策略可供选择，对策论的研究为对抗各方提供为获取对自己有利的结局应采取的最优策略。13.决策论问题：在一个管理系统中，采用不同的策略会得到不同的结局和效果。由于系统状态和决策准则的差别，对效果的度量和决策的选择也有差异。决策论通过对系统状态的性质、采取的策略及效果的度量进行综合研究，以便确定决策准则，并选择最优的决策方案。14.规划问题：生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的规划问题。15.数学模型：是对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，根据内在规律做出必要的简化假设，并运用适当数学工具得到的一个数学结构。16.决策变量：指决策者为实现规划目标采取的方案、措施，是问题中要确定的未知量。17.可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称为可行域。18.最优解：使目标函数达到最大值的可行解。19.基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。19.基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以解出基变量的唯一解，这组解与非基变量的0共同构成基解。20.基可行解：满足变量非负的基解称为基可行解21.可行基：对应于基可行解的基称为可行基 五问答1.写出线性规划问题的标准形式。（简写形式）线性规划问题的标准形式。（向量形式）线性规划问题的标准形式。（矩阵形式）2.用向量形式表达线性规划问题的 一般形式。式中：答： 3.用矩阵形式表达线性规划问题的一般形式。4.用简写形式表达线性规划问题的一般形式。5.写出线性规划问题最优性检验和解的判别。答：(1) 当所有的 时，现有顶点对应的基可行解即为最优解。(2) 当所有的 时，某一非基变量检验数，列向量中至少存在一个元素，该线性规划问题有无穷多最优解。(3) 如果存在某个，又向量的所有分量，这时线性规划问题存在无界解。(4) 当所有的时，人工变量仍留在基变量中且不为零，该线性规划无可行解。6.在线性规划模型中各系数的经济意义是什么。答：为决策变量:是决策者为实现规划目标采取的方案、措施，是问题中要确定的未知量。 为目标函数:指问题要达到的目的要求，表示为决策变量的函数。大括号里为约束条件:指决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式。为价值系数；为右端常数项是某种资源的限制；为技术系数。7.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？1）建立平面直角坐标系2）根据约束条件找出可行域3）图示目标函数4）确定最优解8.什么是线性规划的标准型？如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。1） 目标函数求极小值：令，即化为2） 约束条件为不等式：A当约束条件为“”时，加上松弛变量B当约束条件为“”时，减去剩余变量3） 取值无约束的变量令，其中4）变量令，显然9.写出线性规划问题的可行解、基、最优解、基解、基可行解、可行基的概念。答：可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称为可行域。最优解：使目标函数达到最大值的可行解。基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以解出基变量的唯一解，这组解与非基变量的0共同构成基解。基可行解：满足变量非负的基解称为基可行解可行基：对应于基可行解的基称为可行基10.试述单纯形法的计算步骤。1）非标准形式的线性规划问题首先要化成标准形式。2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形法表。3）进行最优性检验如果表中，所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算到此为止，否则转入下一步。4）从一个基可行解转换到另一个目标函数值更大的基可行解，列出新的单纯形表。5）重复第二、三步一直到计算终止。11.在什么样的情况下采用人工变量法？人工变量法包括哪两种解法？答：1）当非标准形式的线性规划问题化为标准形式后，如果在约束方程的系数矩阵中包含一个单位矩阵。选这个单位矩阵作为初始基，使得求初始基可行解和建立初始单纯形表都十分方便。但当线性规划的约束条件都是等式，而系数矩阵中又不包含有单位矩阵时，往往采用添加人工变量的方法来人为构造一个单位矩阵。当约束条件是“”的情况下，可以先在不等式左端减去一个大于等于零的剩余变量（也可称为松弛变量）化为等式，然后再添加一个人工变量。2）人工变量法包括大M法和两阶段法。12.大M法中，M的作用是什么？对最大化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？答：1）约束条件中添加人工变量后，对任何可行解，这些等式约束必须满足，因此在最优解中人工变量取值必须为零。为此，令目标函数中人工变量的系数为足够大的一个负值，用“-M”代表，只要当人工变量的取值不为零，目标函数就不可能极大化。对剩余变量，因实质上也是松弛变量，因此目标函数中的系数也为零。2）对最大化问题，在目标函数中人工变量的系数取零。13.图解法求解两个线性规划问题的解题思路和几何上的直观得到的一些概念判断，对求解一般线性规划问题的单纯形法的启示是什么？答：（1）求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；（2）若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集；（3）若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（如果有无穷多的话）一定能够在可行域（凸集）的某个顶点找到；（4）解题思路是，先找到凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值，比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值更优，如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更优的另一顶点，重复上述过程，一直到找到使目标函数达到最优的顶点为止。14.围绕着模型的建立、修正与应用，运筹学研究的步骤分为哪几点？（6分）答：（共6分，每点1分）（1）分析与表述问题（2）建立模型（3)对问题求解（4）对模型和由模型导出的解进行检验（5）建立起对解的有效控制(6）方案的实施。15.松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示的是什么？答： .松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示未被充分利用的资源和超用的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后他们在目标函数中的系数均为零。六、计算1.用图解法求下列线性规划问题 5） s.t MaxZ与L1重合，有无穷多最优解 2) 解：唯一最优解，。7） ；有唯一最优解。8) 无可行解5)Maxz为无界2. 单纯形法求解(唯一解） 1).210015051024620104051100152100015051032411/301/60120102/30-1/603/2115/2001-1/4-15/227/21001/4-1/213/2010-1/43/200-1/4-1/21. 用图解法与单纯形法求解，并指出每步迭代时映的点 标准化10500基b0934100852001050010500基b0011010010-2 相对于Q1点10500基b5011011001相对于Q2点=1 =2/3 =0 =0Maxz=17.52. 标准100200000基b050011100500020010010012002001200100200000O点100200000基b030001045002000010200200200100600000100200000基b000110020010010200010000=200，=400/3,=500/32).3).六. 将下述线性规划模型化为标准形式：1.化标准型2.解：令七综合建模问题1.某农场有100hm2（公顷）土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为2.1元/人日，秋冬季收入为1.8元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时，不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5hm2土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入400元/每头奶牛。养鸡时不占土地，需人工为每只鸡秋冬季需0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入为2元/每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。三种作物每年需要的人工及收入情况如表所示：试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大（建立线性规划模型，不求解）大豆玉米麦子秋冬季需人日数203510春夏季需人日数507540年净收入/元/hm2175300120设：X1,X2,X3分别代表大豆、玉米、麦子的种植面积，X4,X5分别代表奶牛和鸡的饲养数，X6,X7分别代表秋冬即和春夏季多余的劳动力（人日）配料问题2.某染料厂要用甲、乙、丙三种原料混合配制出A、B、C三种不同产品。原料甲、乙、丙每天的最大供应量分别为100、100、60kg，每千克单价分别为65、25、35元。由于A、B、C三种产品的质量限制，要求产品A中含原料甲不少于50%，含原料乙不超过25%，产品B中含原料甲不少于25%，含原料乙不超过50%，产品C的原料配比没限制，产品A、B含原料丙比例没有限制。产品A、B、C每千克的售价分别为50、35、25。问应如何安排生产，才能使所获利润达到最大。产品 原料甲乙丙千克售价（元）A50%25%50B 25%50%35C25千克单价（元）652535日供应量上限（kg）10010060答：所谓安排生产，就是确定每天三种产品的产量以及每种产品中所用各种原料的数量。先将该配料问题描述为上表1的形式。变量的假设见表2，其中 表示第i种产品中含第j种原料的数量，则此问题的数学模型为3. 能源利用问题假设某电厂以甲、乙、丙三种煤作为燃料煤，已知这三种煤的含硫量、发热量及价格，见下表。现在要将上述三种煤混合燃烧，按锅炉要求，发热量不能低于17000kj/t,按环保要求，含硫量不能超过0.025%，问应按什么比例将煤混合，才能使混合煤的价格最低？试建立其数学模型。电厂含硫量（%）发热量（kj/t）价格（元/t） 甲0.011600080 乙0.052000070 丙0.031800076解：设单位混合煤中甲、乙、丙种煤所占比例分别为X1,X2,X3,该问题的数学模型：MinZ=80X1+70X2+76X3 16000X1+20000X2+18000X317000 0.01X1+0.05X2+0.03X30.025 X1+X2+X3=1 X1,X2,X304.某人有一笔50万元的资金可用于长期投资，可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等。不同的投资方式的具体参数如表。投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%。问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？序号投资方式投资年限年收益率%风险系数增长潜力%1国库券311102公司债券10153153房地产6258304股票2206205短期存款110156长期存款5122107活期存款3300答：设为第i种投资方式在总投资额中的比例，则模型如下：建模配料问题5.要配制一种面包，每只面包要求含甲、乙、丙3种营养成分至少各为20单位、24单位、30单位。现有4种原料可供选用，下表给出了每10g原料所含各种营养成分的单位数和价格。试确定每种原料各取多少，才能使面包的制作成本最低？ 原料营养种类ABCD甲121/21/4乙3121/2丙3124价格（