培优解几1118.doc

高二数学文科培优材料（解析几何部分）解析几何中的探索性问题一、是否存在这样的常数例1在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和 （I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程， 又而所以与共线等价于， 将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数二、是否存在这样的点例2.（2009全国卷）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值；（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 ，故 ， ， 由 ，得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知椭圆C的方程为+=6. 设 () 假设上存在点P，且有成立，则，整理得 故 将 于是 , =, ， 代入解得，此时于是=， 即 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.例3.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 (1)求圆的方程； (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2 即=4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 ，m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得， 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)=5，a2=25，则椭圆的方程为右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。例4已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 故 ， .由 得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是， 且 整理得 , 将 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是 , =, 代入解得，此时 于是=， 即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为3、 是否存在这样的直线例5. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有解得b212，b23(舍去)从而a216.所以椭圆C的方程为1. (2)同方法一例5.（2007湖北理19）（本小题满分12分）NOACByx在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由解法1：（）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得由韦达定理得，于是， 当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为， ，NOACByxl，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线解法二：（）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得， 则设直线与以为直径的圆的交点为则有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，四、是否存在这样的圆例6(2009年广东卷文)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12，圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程；(2)求的面积；(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解 （1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，