高等数学-1课程教学大纲.doc

高等数学课程教学大纲(机电、控制、计算机、物理等本科各专业适用)参考学时：164学分11 课程编号1001301一、本课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得： 1一元函数微积分学 2多元函数微积分学 3无穷级数4常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能, 为学习后继课程和进一步获取知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力空间想象能力和自学能力，还要特别注重培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、本课程的基本内容 (一)函数、极限、连续1函数函数的定义，函数的特性(有界性、单调性、奇偶性和周期性)，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数。2极限数列极限的N定义，函数极限的定义和X定义，左右极限，无穷小与无穷大，无穷小与函数极限的关系，极限四则运算法则，复合函数极限，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较，等价无穷小的代换。3函数连续性函数连续定义，间断点及其分类，连续函数四则运算,反函数的连续性，复合函数的连续性，基本初等函数与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最大最小值定理及介值定理。(二)一元函数微分学1导数与微分导数定义、几何意义、平面曲线的切线和法线，可导性与连续性之间的关系。初等函数微分法(求导四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，基本导数公式)。高阶导数，隐函数的导数，对数求导法，参量函数求导，微分的定义、几何意义、运算法则。一阶微分的形式不变性。 2中值定理与导数应用Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，Taylor定理。LHospital法则。函数和曲线性态的研究(单调性判定，极值及其求法，最值问题，凹凸与拐点，图形的描绘)。弧微分公式，曲率及其计算。 (三)一元函数积分学 1不定积分 原函数与不定积分的定义，不定积分的性质、基本积分公式。换元积分法，分部积分法，特殊函数积分(有理函数，三角函数有理式、简单无理函数)。 2定积分 定积分定义、性质。变上限定积分函数及其求导定理，NewtonLeibnitz公式。定积分的换元法与分部积分法。两种广义积分。 3定积分应用 定积分微元法。定积分在几何上的应用(平面图形的面积、平面曲线的孤长、平行截面面积已知的立体的体积，旋转体的体积)。定积分在物理方面的应用(变力作功，静压力，引力等)。 (四)多元函数微分学 1多元函数 多元函数的定义，区域，二元函数的几何表示，二元函数的极限及连续性，有界闭区域上连续函数的性质。 2偏导数与全微分 偏导数的定义，二元函数偏导数的几何意义，高阶偏导数，求偏导数与次序无关的条件。全微分的定义及可微的条件。多元复合函数求导法则。隐函数的求导公式。方向导数与梯度。 3偏导数的应用 空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。多元函数极值及其求法，最值问题，条件极值与Lagrange乘数法。 (五)多元函数积分学 1重积分 (1)二重积分：二重积分的定义、性质、计算方法(直角坐标系和极坐标系)。 (2)三重积分：三重积分的定义、性质、计算方法(直角坐标系，柱坐标系，球坐标系)。 (3)重积分的应用：立体的体积、曲面的面积、质量、重心、转动惯量、引力等。 2曲线积分与曲面积分 (1)曲线积分：两类曲线积分的定义、性质、计算方法及应用举例。 (2)曲面积分：两类曲面积分的定义、性质、计算方法及应用举例。 3各类积分的联系：Green公式，Gauss公式，Stokes公式。平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分求积，散度，旋度。(六)无穷级数1常数项级数：无穷级数及其敛散性，收敛级数的性质，级数收敛的必要条件，几何级数、调和级数、P一级数的敛散性。正项级数的比较审敛法，检比法和检根法，交错级数收敛的Leibniz定理，绝对收敛与条件收敛。 2幂级数：幂级数概念，收敛的特性一Abel定理，收敛半径及收敛区间，幂级数的四则运算，和函数的连续性，逐项微分与逐项积分，Taylor级数及函数幂级数展开式的唯一性，函数ex，sinx，cosx ，ln (1+x)，(1+x)的幂级数展开式。 3Fourier级数：三角级数，三角函数系及其正交性，函数的Fourier级数，Dirichlet充分条件，奇、偶函数的Fourier级数，正、余弦级数，任意区间上的Fourier展开。 (七)常微分方程 1微分方程基本概念：微分方程的定义，阶、解、通解、初始条件、特解、积分曲线。2特殊类型的一阶微分方程：变量可分离、齐次型、一阶线性方程、Bernoulli方程和全微分方程。 3高阶微分方程： (1)可降阶的高阶微分方程：y(n)=f(x)，y=f( x,y)，y= f( y,y)。 (2)线性微分方程：线性微分方程解的结构，特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。(3)Euler方程，常系数齐次线性微分方程组的解法举例。三、本课程的基本要求(一)函数、极限、连续1理解函数概念。2了解函数的有界性、单调性，奇偶性和周期性。3深刻理解复合函数概念，了解反函数概念。4掌握基本初等函数的性质和图形。5理解极限概念(对极限的N，X定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N，或x不作过高要求)。 6理解无穷小，无穷大，无穷小与极限的关系，熟练掌握极限四则运算法则。掌握极限存在的准则和两个重要极限。 7会用等价无穷小代换求极限。 8理解函数在一点连续的概念，了解间断点及间断点的分类。 9理解初等函数的连续性，理解并会运用闭区间上连续函数的性质最大最小值定理和介值定理。 (二)一元函数微分学 1理解导数与微分概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性的关系。2会用导数描述一些物理量。3掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性。 4了解高阶导数的概念。 5掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 6会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。7理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。8了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 9理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。 10会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。会求解较简单的最大最小值的应用问题。 11会用洛必达(LHospital)法则求不定式的极限。 12了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 (三)一元函数积分学 1理解不定积分和定积分的概念及性质。 2掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的换元法与分部积分法。3会求简单的有理函数的积分。 4深刻理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握NewtonLeibnitz公式。 5了解广义积分概念。 6掌握定积分元素法，会用定积分表达一些几何量(面积、体积、弧长)和物理量(功、静压力、引力等) (四)多元函数微分学 1理解多元数概念。 2了解二元函数的极限与连续性概念及有界闭域上连续函数的性质。 3理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 5掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 6会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7了解曲线的切线和法平面及空间曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。 8理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 (五)多元函数积分学 1理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。 2掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)， 了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。3理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4会计算两类曲线积分。5掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。6了解两类曲面积分的概念及高斯(Gauss)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。 7了解散度、旋度的概念及其计算方法。 8会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。(六)无穷级数 1了解无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数和p一级数的收敛性。3掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。4了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。5了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10会利用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，(1+x)的马克劳林(Maclaurin)展开式将些简单的函数间接展开成幂级数。11了解幂级数在近似计算上的简单应用。12了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(，)和(l，l)上的函数展开为傅里叶级数并会将定义在(0，l)上的函数展开为正弦或余弦级数。 (七)常微分方程 1了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念 2掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 3会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。 4会用降阶法解下列方程：y(n)=f(x)，y=f( x,y)，y= f( y,y) 5理解二阶线性微分方程解的结构。6握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。7会求自由项形如Pm(x)ex (其中入=+i)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解. 8会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 四、学时分配建议本课程共164学时，具体学时分配如下：课程内容理论讲授习题课小计函数、极限、连续16218导数与微分10212中值定理与导数应用12214不定积分10212定积分及其应用16420多元函数微分学16218重积分10414曲线积分与曲面积分14418无穷级数14418常微分方程16420合计13430164五、其他说明：（一）本课程建议教材及参考书1高等数学 同济大学应用数学系 编 高等教育出版社2高等数学内容、方法与技巧 孙清华 正小娇 编 华中科技大学出版社3高等数学习题课教程 华中科技大学数学系 编 华中科技大学出版社4高等数学辅导教材习题解