数学建模 数理统计建模.doc

数理统计建模一、直方图：频率直方图（是连续性随机变量的分布密度曲线的较好拟合），累积频率直方图（是随机变量的分布函数曲线的较好拟合）二、抽样方法：三、统计推断方法：参数估计和假设检验例题1：从一个池塘里捞出1000尾鱼，将其尾部标以红点，仍然放入水中。经过一段时间，再从池中捞出1000尾鱼，其中有红点的鱼有100尾。试估计池中有多少尾鱼？例题2：由厂方提出的一箱产品计1000件，从中取出100件，发现其中有2件不合格品。经约定：如果一箱的废品率超过1%，那么买方就不接受此（整）箱产品；否则买方就得接受。问此箱产品应否接收？1. 从生活常识角度分析一下：例题1的分析：将1000尾鱼再放入水中以后，鱼的总数不变。经过一段时间，这些鱼在池中应该分布“均匀”了，而第二次捞出的鱼中，有红点者占捞出鱼总数的100/1000=10%，所以从比例的观点看，池中鱼的总数x应该满足10% x =1000所以x=10000，因而可以认为池中的鱼大约在万尾左右。例题2的分析：按上例，从比例出发，认为此箱产品的废品率为2/100=2%，它大于1%，因而按照约定，买方可以拒绝接收。你觉得合理吗？2. 先将上述模型一般化：（1）在上述两个例题中，所考察的个体（鱼，产品）的全体（总体）个数都是一个有限数N。我们不妨将所考察的个体通称为“球”，并且认为都在一个”袋”中。（2）在两个问题中，总体的元（个体）都分成两类（有红点或无红点；废品或合格品），将前者通称为“红球”，后者通称为“黑球”记红球个数为M（3）在两个问题中，都从总体中抽出若干个体（一个样本），样本容量为n（4）在两个问题中，样本中含有红球的个数为m（5）假设从总体中抽取任意一球的可能性都相等。从而上述问题可归结为如下的超几何模型：设有一袋，袋中有N个球，其中有M个红球，N-M个黑球，假设从袋中抽取任意一球的可能性相等。现从袋中任取n个球，用X表示取出的n个球中的红球数，则3. 总体N的极大似然估计：易见是N的函数。一个直观的想法是：N应该使概率达到最大。为便于讨论，记为,易见从而因此，当为整数时，q在处达到最大；当不是整数时，q在处达到最大。根据“直观的想法”，池塘里应该有的鱼数（尾）4. 废品率的假设检验：产品检验的问题是这样提出的：产品总免不了有废品，在买卖中，买方当然希望买进的货物中废品尽量的少，而卖方则希望合格品都被买方接受。最自然的办法是由买卖双方对产品逐个检验。显然，该办法在很多时候都是不现实的！（该办法只能适用于非破坏性的检验，而且批量小、检验费用低的情况。在现代化生产和市场交易中，这种情况是很少的。）因此人们希望制定一种简便的验收方案，使买卖双方在每批货物的交接中，尽可能都得到满足。即对于卖方交付的每批产品，通过检验其中部分产品，使买方接收的废品比例和卖方被退回的合格品的比例都在可以接受的限度内。如何建立这种方案呢？假设例题2中所检验的那箱产品的废品率为1%，则易计算得也就是说，抽到3个以上的废品的概率（可能性）是很小的（1.23%）；而且还可以证明，当废品率小于1%时，抽到3个以上的废品的可能性更小。根据实践经验知道：概率很小的事件是难于发生的。所以从卖方希望尽量将合格箱交出的观点看：从一箱产品中抽取100个产品，抽到的废品数大于3时，就没有理由交给对方；抽到的废品数小于或等于3时，就可以认为此箱产品合格，买方应该接收。于是按照卖方的观点应该约定：从一箱产品中抽取100个产品，抽到废品数大于3时，卖方应该自己留下；抽到废品数小于或等于3时，就应该认为该箱产品合格，买方应该接收；这种“概率很小的事件在实践中难于发生”在数理统计学中称为“实际推断原理”：一个事件如果发生的概率很小（如1%或5%），那么在一次试验中，就认为它不会发生；反之，一个事件如果发生的概率很大（如99%或95%），那么在一次试验中，就认为它必定发生。上述做法会犯错误吧？5. 抽样推断的两类错误事实上，事件发生的可能性小、难于发生，并不等于不发生。所以存在这样的情况：抽到的废品数虽然大于3，但该箱的废品率不超过1%. 此时，虽然此箱产品合格，但是按照约定，还得作为不合格处理而招致损失。于是卖方损失的可能性达到1.23%. 在统计学中称为犯第一类错误的概率（弃真概率）以上只是从卖方角度考虑问题，我们现在从买方角度甲乙分析：卖方交出产品只是根据假设所检验的箱合格做出的断言，该箱产品完全可能不合格。买方当然十分关心接收不合格的箱的概率有多大？这个概率在统计学中称为犯第二类错误的概率（纳伪概率），买方总是希望纳伪的概率尽可能小。按照超几何分布，此例的纳伪概率应该是：在废品率超过1%，即M10001%=10的条件下，概率经计算得知M111320304050P0.98210.817750.588540.229760.038160.01078由上述计算可以看出：在样本容量100，废品率超过规定1%而小于或等于3%时，纳伪概率很大。这种情况使得卖方认为买方应该接受的产品，而买方却不能接受。但从买方观点看，他也可以规定一个能接受的“最坏”（即使得产品质量达到他可以接受的最低程度）的废品率，而使纳伪概率较小。人们称为“最坏”的废品率为极限质量，通常记为p1，而将原来双方约定的废品率称为合格质量，记为p0. 从上面计算结果可知：如果极限质量规定为4%，那么纳伪概率不超过3.8%. 如果极限质量规定为5%，那么纳伪概率不超过1%.6. 抽样检验方案以上的讨论可以总结如下：设想交的每批产品数（也称产品批量）为N，产品的抽样检验方案就是：规定每批产品抽检的产品数n和其中允许废品数的上限（也称合格品判定数）c. 如果抽出的n件产品中的废品数X小于或等于c，这批产品就由买方整个接收，如果X大于c，买方就拒收这批产品。为下面叙述方便，将这个方案记作(n,c)，称为计数标准型一次(n,c)抽样检验方案，简称(n,c) 抽样检验方案。方案(n,c)的确定方法如下：（1）从卖方的观点看，“理想”的方案是：确定一个数p0(0,1) （称为合格质量），如果一批产品中的废品数MNp0时，就认为这批产品合格。对卖方来说，方案的要求是：给出较小的正数（即弃真概率，通常取0.01或0.05），使得n、c满足（2）从买方观点看，确定一个数p1（p0）（称为极限质量），如果一批产品中的废品数MNp1时，就认为这批产品不合格而加