数学建模竞赛 数学建模论文.doc

2012年河南科技大学数学建模竞赛选拔承 诺 书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： C 队员签名 ：1. 黄宇 2. 张天保 3. 杜省 日期： 2012年8 月 19日2012年河南科技大学数学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注数学建模竞赛摘要我国建立数学建模竞赛的近二十年来，竞赛规模以每年20%的速度健康发展，这使得数学建模竞赛成为全国各个高校规模最大的课外竞技活动之一。数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的。1989年我国参加数学建模竞赛，经过两三年的参赛，大家普遍认为数学建模在高校推动数学联系实际的发展这方面有着及其积极的作用，因此1992年中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛。从此，数学模型作为一种新的生命在我国发展起来了。随着数学建模高速健康发展，对数学建模成绩的总结及预测显得尤其重要。本文研究的是数学建模竞赛成绩的排名与预测问题。问题一、要求建立模型评价，对广东赛区各个高校建模成绩的排名与预测。本文根据每年获得各个奖项的人数及每年成绩和每个奖项所占的比重进行各个学校的成绩排序，其中用层次分析法确定了各权重值，从而对模型进行加权评价。由于每年影响参赛对数的数目的因素有很多不可知，而最终参赛对数与获奖情况均可以从附件得出，因此采用灰色预测中的GM（1 1）模型进行预测。问题二、要求根据附件2给出对全国各院校自建模以来成绩的排序。由于数据量太大，本文对数据进行了简化，随机抽取了若干院校作为代表进行了排序。所建立的模型与问题一相同。问题三、通过资料的查询与对实际问题的分析，补充了合理评价与预测数学建模成绩的因素，即除了全国竞赛成绩，赛区成绩，还有对建模重视程度，学校教育设施，综合教育水平等。关键词：灰色预测，模糊层次分析，加权评价一、问题重述数学建模竞赛于1985年最先出现于美国，1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年10月中国工业与应用数学学会（CSIAM）成立，CSIAM下属的数学模型专业委员会开始考虑创办我国自己的大学生数学建模竞赛。近20年来，CUMCM的规模平均每年以20以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。2010年有33个省市、自治区及新加坡、澳大利亚的1197所院校的17317个队参加。2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。在数学建模活动开展20周年之际，我们将对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测。问题一： 利用附件1中的数据，试建立评价模型，给出广东赛区各校建模成绩的科学、合理的排序；并对广东赛区各院校2012年建模成绩进行预测；问题二： 利用附件2中的数据，给出全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；问题三：你认为如果科学、合理地进行评价和预测，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑那些因素？二、模型假设：1、 假设每年的建模试题难度大致相同 2、 假设国家级奖项在省里都是省一等奖3、假设每年的考试难度没有差别4、假设每个同学的学习能力基本不变5、假设影响学生成绩的因素主要有真实成绩与进步程度6、假设每个学生处于相同的考试环境中7、假设附件中所给数据为学校真实考试成绩，不存在作弊问题的影响8、假设每次竞赛采用同样的记分方式9、假设每个学校每年都参加竞赛10、假设本文中数据来源真是可靠。11、假设数学建模成绩评比依据是甲组数学建模成绩，忽略已组成绩的影响。12、假设各个院校的综合实力相对稳定，从而使所选取的几年数据有效反应数学建模的发展状况。13、假设各个学校数学建模参赛对数及获奖情况的增长规律与增长速度相同，以便通过一个学校准确预测出其他学校的数学建模成绩。14、假设广东赛区丢失数据的学校未进行竞赛，取消排序。三、 问题分析题目要求对数学建模的过去进行综合评价和对未来进行预测分析。由本题题意可知出题老师意图是建立适当的数学模型对参加数学建模的各高校进行综合评价及对其2012成绩进行科学的预测。问题一：本文分别统计了广东赛区各个高校本科组自2008年至2011年四年数学建模竞赛成绩，并对统计数据中有残缺的部分院校进行舍弃，得出最佳数据。另外，本文采用了灰色预测模型有效的对2012广东赛区各院校的数学建模成绩。还利用层次分析法科学的分析了影响综合评价的各因素的权重，从而对各院校数学建模成绩进行了合理的评价。问题二：此模型同样考虑了全国赛区各高校的排名与学校的综合实力有关，而一个学校的综合实力是相对稳定的，不会有太大的波动。由于附件给出年份，院校很多，给数据统计带来了严重的麻烦，因此本文抽取了四年和北京部分院校的数据来反映全国各院校的数学建模成绩。在排序的过程中，本文摒弃了单纯以获奖人数进行简单排序的思想，利用层次分析对数学建模获奖情况和进步情况进行加权分析，确定两个权值。还利用线性加权的方法对各个奖项进行加权分析，从而得出比较合理的综合评判模型。得出数据用excel进行排序。问题三：本文通过搜集资料及对实际情况的分析，找出所占权重比较大的影响各院校综合排名的因素。在建模过程中会遇到许多问题，不可避免的要舍去某些次要的条件使得模型跟容易求解。而且模型中还有许多问题都未考虑，这些都将影响模型的准确性所以我们应更加全面的考虑建模影响因素。四、符号说明 第i个元素相对于第j个元素的模糊关系 权重 学校第年的实际数学建模成绩 学校第年进步度。 学校的数学建模综合成绩 第年广东省数学建模等奖所占的比重 第年参赛总人数 等奖名额 第个学校第年的总成绩原始数据累加生成的数列相邻两数据的平均值模型表达式原始序列标准差绝对误差序列的标准差 模型预测值累减生成的数列方差比例小误差概率五、模型的建立与求解模糊层次分析模型模型准备：1） 模糊层次分析法采用0.10.9标度法， 能够准确地描述任意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致矩阵满足一致性条件，无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下 ： （1）建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：其中表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系，采用0.1-O.9标度给各学校建模成绩A学校实际成绩学校成绩进步情况第一年成绩第二年成绩第三年成绩第四年成绩第一年进步第二年进步度第三年进步度予数量表示，且=1。(2)将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵。记做变换图一，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。(3)根据，推导出各因素权重值。(4)将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。(5).根据考评结果得出优劣次序。确立评价指标体系。将各学校建模成绩层定为目标层，评价中主要涉及的两方面定为准则层，以此建立如图一所示递节层次结构。A- B构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，B的优先关系矩阵： A-B模糊一B- 矩阵：-C的优先关系矩阵： 模糊一致矩阵： 的优先关系矩阵： 的模糊一致矩阵：由模型准备中的步骤（3）中的计算公式，我们取a=(n-1)/2,可以算的B层相对于A层，各因素权值为,C层相对于B层，各指标相对应上层相应因素的权值分别为：，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下：将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重如下表所示：准则各指标指标0.40.6权重0.20000.08000.23330.09330.26670.10670.30000.12000.30000.18000.30000.18000.40000.2400对于学校建模成绩评定定量表示如下：设为学校第年的实际数学建模成绩，为学校第一年进步度。 即设第年广东省数学建模等奖所占的比重为;第年参赛总人数为,等奖名额为。则 归一化后可以求得权重设第年某高校等奖获得者人数为，；则所以最终结果是模型求解1）把附录1中的数据进行分类：把广东省各个参赛高校2008年-2011年一等奖、二等奖、三等奖的队数进行汇总（图二前12列数据）。2）用matlab程序对模型算法进行编程（详细程序见附录）：利用算法编程X1=28,54,84; %三个数依次为2008年省一等奖、二等奖、三等奖的队数for k=1:3 W1=(1/X1(k)/(X1(1)+1/X(2) +1/X(3)求出2008年省一等奖的权重，省二等奖的权重，省三等奖的权重。同理把X1换成2009、2010、2011的数据，可以求出权重。然后利用算法编程X1=;%矩阵是2009年各高校的一等奖队数X2=;%矩阵是2009年各高校的二等奖队数X3=;%矩阵是2009年各高校的三等奖队数X=W1.*X1+W2.*X2+W3.*X3求出X=6.4469 4.9020 2.8688 5.0162 4.6687 0.9344 2.1433 0.8526 0.9344 0.8526 1.4834 5.5328 1.1927 0.4672 1.0453 1.0453 0.8235 4.2583 1.9182 3.2995 3.1927 0.4672即2009年广东省各高校成绩。同理得2008、2010、2011年广东省各高校成绩。（其数据见图二13-16列数据）利用算法编程（见附录）求出2008年-2011年进步度（见图二17-21列数据）最后利用分别求解出各高校的综合成绩（图二最后一列数据）。20082011年广东赛区数学建模成绩统计图二用EXCEL程序对各高校数学建模成绩排名，如下图20082011年广东赛区数学建模成绩排名 图三2）全国大学生数学建模成绩排名问题原理和算法和上例一样。由于1994-2011年时间跨度较大，而评价一所学校的建模成，绩时越新的数据权重越大，于是可以选2008-2011年的数据来评价各院校的建模成绩;由于院校较多工作量比较大，随机挑选若干个院校进行排名。用同一评价模型对全国大学生数学建模成绩排名，如下 图四模型的检验：对于模型给出的排名分析，可以看到排名靠前的大都是综合性大学，985、211工程院校均排在在前面，这是符合实际情况的，因为这类院校往往师资力量雄厚，生源质量也较好。灰色预测GM(1,1)模型灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。它是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。1）模型建立：1.某高校建模成绩评估与预测模型的建立首先，在此先声明一下：可以将该校的建模竞赛成绩做一下规划。首先求出各个奖项在综合评定中所占的权重，因为一般情况下，一等奖的权重要比二等奖大很多，又收集到数据建模获广东省一等奖1000元，二等奖300元，三等奖150元，得到比例为0.69:0.21:0.1。在此用华南理工学校2008年到2011年的数据进行GM（1，1）预测，求出其后两年该学校的成绩再通过模型检验分析模型的合理性。利用附件所提供的数据进行统计分析，得到了学生成绩总体分布的情况。再运用Excel来对这些数据进行加工处理与计算，可知该高校的四年的成绩数据都完好。 利用Excel对所给部分学校学生的成绩进行数据分析与统计得到的表格如下：将该校的建模竞赛成绩做一下规划。拿获奖等级与分数类比，再根据建模等级所占权重得出： 省三等奖=1分 省二等奖=2分 省一等奖=7分 而附件1中4年的数学建模成绩可以把前3年的看作已知成绩，而把2011年的成绩当作预测成绩来看。由此得出华南农业大学2008到2011年的成绩分别为（69，42，41，62）对原始成绩分布进行频次分析得： 建立GM(1，1)模型，运用matlab求解：设第个学校第年的总成绩为，那么有原始数据可得数据列为：即：=（69，42，41，62）对原始数据作一阶累加生成：，即：=（69 111 152 214）其中再作的临近均值，得其中，即：=（0 90.0000 131.5000 183.0000）此时构成了灰色模块，由于具有指数增长规律，而一阶微分方程的解正好是指数增长形式的解，由此可建立灰色模型GM(1,1)为： 其中为待求系数。解此微分方程得：，式中的参数可由最小二乘法求得，即：其中： ，即： , 得出分别为 (-0.2227 ,18.3094)所以由得即成绩预测公式为：得出预测结果为：69.0000 42.0000 41.0000 62.0000 73.5635即2012年该校的得分为73.5635。预测值的图例如图所示： 模型检验一、 残差检验按预测模型计算=（69，72.4，75.89，79.43）并将累减还原成原始数值根据式得：=（69 37.7176 47.1249 58.8785）生成数列的预测值与误差检验K069690111110552152159-74214220-6原始数据的还原值与误差分析K16969024237.74.334147.1-6.146258.93.1平均值53.553.171.3然后计算原始序列与的绝对误差序列及相对误差序列。 二、后验差检验1） 计算原始序列标准差：得出：2） 计算绝对误差序列的标准差：得出：。3） 计算方差比：，得出=0.0.244。4） 计算小误差概率：，得出。根据0.95说明此模型合理。 六、 模型评价1 优点：本文建模优点在于模型简单，仅用了简单易于理解的数学模型解决了实际问题，便于理解，且更符合实际。层次分析法是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。层次分析法优点是：1 系统性，将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策-系统分析（与机理分析、测试分析并列）。2 实用性，定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题。3 简洁性，计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。4 模糊层次分析方法的运用，使同一层下面的因素具有不同的权重，十分有侧重点，比较符合客观规律。2）实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。针对各个院校每年参赛队数及获奖情况所受诸多未知或不可分析因素影响的不利进行了有效的弱化。灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部分” 信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。缺点：问题一只考虑了省级数学建模竞赛的获奖情况，问题二只考虑了国家级数学建模竞赛的获奖情况，考虑问题的不充分性，使得模型存在一定的缺陷。本文未考虑乙组参赛及获奖情况，一些乙组参赛较多的院校排名存在了一定的评判失误。本文的数据是抽取了几年几个学校的数据，缺乏数据的广泛性，不能更准确的反应真是情况。本文建立的模型本身有一定的局限性，层次分析法的缺点：1 囿旧，只能从原方案中选优，不能产生新方案。2 粗略，定性化为定量，结果粗糙。3 主观，主观因素作用大，结果可能难以服人。4 权重的确定具有一定的主观因素。忽略了一些非量化的因素如（地域，经济，政策），而这些因素（如）往往会对成绩影响很大，评价结果就不是很科学、合理了。灰色预测的缺点在于不能排除波动性的影响，然而由于各个赛区的获奖情况受诸多因素的影响，难免有偶然因素产生这样或那样的波动。改进方案：继续搜索广东省各高校2008到2011年之外的各个年份各个奖项的获奖人数，然后通过同样的计算方法，求出多个年份各个高校的获奖数总和，再进行排序，这样会减少偶然性的发生。对全国高校的排名也是如此。对影响综合排名的因素也要全面的考虑，然后用权值分析所占比重进行评价与预测。七、 模型推广数学建模成绩不仅反映了一个学校综合竞争实力的一部分，也体现了一种对数学价值及潜在价值的发现与应用。本文适当的建立数学模型对数学建模成绩排序及预测方法有积极的借鉴意义。例如，根据学习优劣和思想道德素质进行三好学生的评定，学校的奖学金评定，国家综合实力的排序，根据金银铜牌数目对奥运会各代表队名次的确定。八、 参考文献【1】马正飞 数学计算方法与软件的工程应用 化学工业出版社 2002.12【2】冉启康 张振宇 张立柱 常用数学软件教程 人民邮电出版社 2008.10【3】刘来福 杨淳 黄海洋 数学建模方法与分析 机械工业出版社 2005.06【4】沈继江等 数学建模 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社 1998 【5】蔡锁章主编 数学建模：原理与方法 北京：海洋出版社 2000【6】朱道远等 数学建模案例分析 北京：海洋出版社 2000九、 附录附录：k1=0.08;k2=0.0933;k3=0.1067;k4=0.1200;k5=0.1800;k6=0.1800;k7=0.2400;x1=5.0323 3.92 3.743 6.98 3.56 0.18 1.82 1.44 2.16 0.36 1.1 1.38 2.1 3.28 1.76 2.74 0.72 1.46 1.4 2.44 0.64 0.18;x2=6.4469 4.9020 2.8688 5.0162 4.6687 0.9344 2.1433 0.8526 0.9344 0.8526 1.4834 5.5328 1.1927 0.4672 1.0453 1.0453 0.8235 4.2583 1.9182 3.2995 3.1927 0.4672;x3=1.0001 1.0000 1.4561 3.3683 1.0000 0.2281 1.0000 0.5439 0.4562 0.3158 1.4913 1.3158 0.4562 0.8597 0.6843 0.6843 0.4562 1.6317 0.3158 5.2807 0.7719 0.3158;x4=5.1233 7.7268 5.7144 6.9478 10.6790 0.7467 3.4978 1.2078 0.2489 2.8656 4.2122 3.4156 1.7511 1.4978 3.4089 2.3634 2.5712 5.1923 0.7878 12.5588 1.6167 0.2489;p1= 2.5269 1.1620 -0.1312 -1.9638 1.1087 0.7544 0.3233 -0.5874 -1.2256 0.4926 0.3834 4.1528 -0.9073 -2.8128 -0.7147 -1.6947 0.1035 2.7983 0.5182 0.8595 2.5527 0.2872;p2=-5.4468 -3.9020 -1.4127 -1.6479 -3.6687 -0.7063 -1.1433 -0.3087 -0.4782 -0.5368 0.0079 -4.2170 -0.7365 0.3925 -0.3610 -0.3610 -0.3673 -2.6266 -1.6024 1.9812 -2.4208 -0.1514;p3= 4.1232 6.7268 4.2583 3.5795 9.6790 0.5186 2.4978 0.6639 -0.2073 2.5498 2.7209 2.0998 1.2949 0.6381 2.7246 1.6791 2.1150 3.5606 0.4720 7.2781 0.8448 -0.0669;k1.*x1+k2.*x2+k3.*x3+k4.*x4+k5.*p1+k6.*p2+k7.*p3x1=5.0323 3.92 3.743 6.98 3.56 0.18 1.82 1.44 2.16 0.36 1.1 1.38 2.1 3.28 1.76 2.74 0.72 1.46 1.4 2.44 0.64 0.18;x2=6.4469 4.9020 2.8688 5.0162 4.6687 0.9344 2.1433 0.8526 0.9344 0.8526 1.4834 5.5328 1.1927 0.4672 1.0453 1.0453 0.8235 4.2583 1.9182 3.2995 3.1927 0.4672;x3=1.0001 1.0000 1.4561 3.3683 1.0000 0.2281 1.0000 0.5439 0.4562 0.3158 1.4913 1.3158 0.4562 0.8597 0.6843 0.6843 0.4562 1.6317 0.3158 5.2807 0.7719 0.3158;x4=5.1233 7.7268 5.7144 6.9478 10.6790 0.7467 3.4978 1.2078 0.2489 2.8656 4.2122 3.4156 1.7511 1.4978 3.4089 2.3634 2.5712 5.1923 0.7878 12.5588 1.6167 0.2489;x2-x1k1=0.08;k2=0.0933;k3=0.1067;k4=0.1200;k5=0.1800;k6=0.1800;k7=0.2400;x1=5.0323 3.92 3.743 6.98 3.56 0.18 1.82 1.44 2.16 0.36 1.1 1.38 2.1 3.28 1.76 2.74 0.72 1.46 1.4 2.44 0.64 0.18;x2=6.4469 4.9020 2.8688 5.0162 4.6687 0.9344 2.1433 0.8526 0.9344 0.8526 1.4834 5.5328 1.1927 0.4672 1.0453 1.0453 0.8235 4.2583 1.9182 3.2995 3.1927 0.4672;x3=1.0001 1.0000 1.4561 3.3683 1.0000 0.2281 1.0000 0.5439 0.4562 0.3158 1.4913 1.3158 0.4562 0.8597 0.6843 0.6843 0.4562 1.6317 0.3158 5.2807 0.7719 0.3158;x4=5.1233 7.7268 5.7144 6.9478 10.6790 0.7467 3.4978 1.2078 0.2489 2.8656 4.2122 3.4156 1.7511 1.4978 3.4089 2.3634 2.5712 5.1923 0.7878 12.5588 1.6167 0.2489;p1=1.4146 0.9820 -0.8742 -1.9638 1.1087 0.7544 0.3233 -0.5874 -1.2256 0.4926 0.3834 4.1528 -0.9073 -2.8128 -0.7147 -1.6947 0.1035 2.7983 0.5182 0.8595 2.5527 0.2872;p