高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第十一节函数模型及其应用课件 理.ppt

第十一节函数模型及其应用 第二章 例1 2012年伦敦奥运会中国跳水队取得了辉煌的成绩 据科学测算 跳水运动员进行10m跳台跳水训练时 身体 看成一点 在空中的运动轨迹 如图所示 是一经过坐标原点的抛物线 图中标出数字为已知条件 且在跳某个规定的翻腾动作时 正常情况下运动员在空中的最高点距水面10m 二次函数模型应用题 入水处距池边4m 同时运动员在距水面5m或5m以上时 必须完成规定的翻腾动作 并调整好入水姿势 否则就会出现失误 1 求这个抛物线的解析式 2 在某次试跳中 测得运动员在空中的运动轨迹为 1 中的抛物线 且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为3m 问 此次跳水会不会失误 请通过计算说明理由 思路点拨 根据题设条件设出抛物线的解析式 再根据已知点的坐标 即可求出解析式 自主解答 解析 1 由题设可设抛物线方程为y f x ax2 bx c a0 得 6a 25 2a 3 0且a a b 此抛物线的解析式为y 2 当运动员在空中距池边的水平距离为3米 即x 时 y 此时运动员距水面的距离为10 故此次跳水会出现失误 点评 实际生产和生活中 很多问题与二次函数有关 如面积最大 利润最大 产量最高 用料最省等 解决这些问题 可建立二次函数模型 常利用配方法借助于对称轴和单调性求最值问题 有时也会使用导数法求最值 但一定要注意函数的定义域 否则容易出错 1 某租赁公司拥有汽车100辆 当每辆车的月租金为3000元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每月需要维护费150元 未租出的车每辆每月需要维护费50元 1 当每辆车的月租金定为3600元时 能租出多少辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少 变式探究 解析 1 租金增加了600元 所以未租出的车有12辆 一共租出了88辆 2 设每辆车的月租金为x元 x 3000 租赁公司的月收益为y元 当x 4050时 最大月收益为y 307050 即当每辆车的月租金定为4050元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益为307050元 例2 2013 天津十校联考 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过4吨时每吨为1 80元 当用水超过4吨时 超过部分每吨3 00元 某月甲 乙两户共交水费y元 已知甲 乙两用户该月用水量分别为5x 3x 吨 1 求y关于x的函数 2 若甲 乙两户该月共交水费26 4元 分别求出甲 乙两户该月的用水量和水费 分段函数应用题 自主解答 解析 1 当甲的用水量不超过4吨时 即5x 4时 乙的用水量不超过4吨 y 5x 3x 1 8 14 4x 当甲的用水量超过4吨 乙的用水量不超过4吨时 即3x 4且5x 4 y 4 1 8 3x 1 8 3 5x 4 20 4x 4 8 当乙的用水量超过4吨 即3x 4时 y 24x 9 6 所以y 2 由于y f x 在各段区间上均单调递增 当x 时 y 26 4 当x 时 y 26 4 当x 时 令24x 9 6 26 4 解得x 1 5 所以甲户用水量为5x 7 5吨 付费y甲 4 1 80 3 5 3 00 17 70 元 乙户用水量为3x 4 5吨 付费y乙 4 1 80 0 5 3 00 8 70 元 点评 1 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的范围 特别是端点值 2 构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理 不重不漏 变式探究 2 某市有甲 乙两家乒乓球俱乐部 两家设备和服务都很好 但收费方式不同 甲每张球台每小时5元 乙按月计费 一个月中30小时以内 含30小时 每张球台90元 超过30小时的部分每张球台每小时2元 李明准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动 其活动时间不少于15小时 也不超过40小时 1 设在甲租一张球台开展活动x小时的收费为f x 元 15 x 40 在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g x 元 15 x 40 试求f x 和g x 2 李明选择哪家俱乐部比较合算 为什么 解析 1 f x 5x 15 x 40 g x 2 由f x g x 得或即x 18或x 10 舍去 当15 x 18时 f x g x 5x 90 0 f x g x 即选甲 当x 18时 f x g x 既可以选甲 也可以选乙 当18 x 30时 f x g x 5x 90 0 f x g x 即选乙 当30 x 40时 f x g x 5x 2x 30 3x 30 0 f x g x 即选乙 综上所述 当15 x 18时 选甲 当x 18时 可以选甲 也可以选乙 当18 x 40时 选乙 函数的应用题 例3 2013 佛山一模 某工厂生产某种产品 每日的成本c 单位 元 与日产量x 单位 吨 满足函数关系式c 3 x 每日的销售额r 单位 元 与日产量x满足函数关系式s 已知每日的利润l s c 且当x 2时 l 3 1 求k的值 2 当日产量为多少吨时 毎日的利润可以达到最大 并求出最大值 解析 1 由题意可得 l s c 因为x 2时 l 3 所以3 2 2 2 所以k 18 2 当0 x 6时 l 2x 2 所以l 2 x 8 18 18 2 18 6 当且仅当2 8 x 即x 5时取等号 当x 6时 l 11 x 5 所以当x 5时 l取得最大值6 所以当日产量为5吨时 毎日的利润可以达到最大值6 变式探究 3 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米 50 x 100 单位 千米 时 假设汽油的价格是每升2元 而汽车每小时耗油升 司机的工资是每小时14元 1 求这次行车总费用y关于x的表达式 2 当x为何值时 这次行车的总费用最低 并求出最低费用的值 解析 1 行车所用时间为t 小时 y x 50 100 所以 这次行车总费用y关于x的表达式是y x 50 100 2 y 当且仅当 即x 18时 等号成立 所以当x 18时 这次行车的总费用最低 最低费用为26元 指数函数型应用题 例4 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a 单位 m2 其中有部分旧住房需要拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10 建设新住房 同时也拆除面积为b 单位 m2 的旧住房 1 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 2 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30 则每年拆除的旧住房面积b是多少 计算时取1 15 1 6 解析 1 第一年末的住房面积a b 1 1a b m2 第二年末的住房面积 b1 21a 2 1b m2 2 第三年末的住房面积以此类推 第五年末住房面积为 1 6a 6b 依题意可知1 6a 6b 1 3a 解得b 所以每年拆除的旧房面积为m2 点评 1 指数函数模型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示 2 应用指数函数模型时 关键是对模型的判断 先设定模型将有关已知数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型 3 y a 1 x n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 变式探究 4 2013年某中等城市人均国民生产总值约为3380美元 若按8 年平均增长率增长 计算2015年该城市人均国民生