海林高中数学第三章3.3导数在研究函数中的应用3.3.3导数的应用导学案.docx

3.3.3导数的应用学习目标1借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念2弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件3会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值【情境引入】当你喝完一罐饮料时，你是否留意过手中的易拉罐？你是否思考过：容积一定的圆柱体易拉罐，怎样设计半径与高之比能使用料最少？在我们的生活中处处存在数学知识，只要留意，你会发现经常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利润最大”等问题，在数学上就是求函数的最大值、最小值问题那么，我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢？【新知探究】1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的 ；(2)将函数yf(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 【例题讲解】例1 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值【思路启迪】先求出函数f(x)在1,2上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值【解】由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾取导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1) 当a0时，列表如下：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)3，即b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，a2.(2)当af(1)，f(2)16a293，a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.点评:(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值(2)含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件需要对a进行分类讨论，以便确定函数f(x)在1,2上的最大值和最小值例2 已知函数f(x)(x1)lnxx1，若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围【思路启迪】求出导函数f(x)，转化为函数的最值问题【解】f(x)lnx1lnx，xf(x)xlnx1，故xf(x)x2ax1等价于lnxxa.令g(x)lnxx，则g(x)1，令g(x)0，得x1.当0x0；当x1时，g(x)0，故x1是g(x)的极大值点，且是最大值点，则g(x)g(1)1.综上，a的取值范围是1，)点评：由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成mf(x)或mf(x)的形式，然后利用导数知识求出函数f(x)的最值，则由结论mf(x)max或mf(x)min即可求出参数m的取值范围例3 已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；(2)当f(x)在x1处取得极值时，证明对1,2内的任意两个值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|.解：(1)f(x)x3x2bxc，f(x)3x2xb，要使f(x)有极值，则3x2xb0有实数解，从而112b0，b.而当b时，函数在R上单调递增，不符合题意bc，f(1)cc.x1,2时，f(x)的最小值为c，最大值为2c.|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|.故结论成立【课堂小结】1函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值2设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值当堂检测1设f(x)是a，b上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()Af(x)的极值点一定是最值点Bf(x)的最值点一定是极值点Cf(x)在此区间上可能没有极值点Df(x)在此区间上可能没有最值点解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确2函数f(x)x32x2在区间1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0，有最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值解析：f(x)x24xx(x4)，令f(x)0，得x0或x4，f(0)0，f(4)，f(1)，f(5)，f(x)maxf(0)0，f(x)minf(4).答案：B 3函数f(x)x2sinx在区间，0上的最小值是()A B2 C. D解析：f(x)12cosx，令f(x)0得x，又f()，f()，f(0)0，故最小值为.答案：D 4函数f(x)x3