试题十四及参考答案.doc

试题十四及参考答案一、判断题（在括号里打“”或“”，每小题1.5分，共30分）1维线性空间中任何个向量都线性相关； （）2同一组基下的不同线性变换的矩阵一定是相似的；（）3任意两个子空间、的并集仍是子空间； （）4子空间、的和为直和（这里表示空集）； （）5相似矩阵具有相同的特征值、相同的行列式及相同的秩； （）6线性空间的两组基到的过渡矩阵是可逆的； （）7中所有级可逆矩阵的集合作成的一个子空间； （）8设为级矩阵，则一定存在一个首项系数为1的次多项式使得； （）9设A是线性空间的线性变换，则A的值域A与核A的和AA； （） 10线性空间的子空间称为线性变换A的不变子空间，是指值域A； （）11线性变换A的值域与核都是A的不变子空间；（）12若矩阵与具有相同的特征多项式，则与相似； （）13两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等； （）14可逆复对称矩阵的规范形为单位矩阵； （）15实二次型（其中）是半正定的充要条件是的所有顺序主子式大于或等于零； （）16维线性空间的线性变换在某组基下的矩阵是对角形的充分必要条件是该线性变换具有个不同的根； （）17用表示维线性空间的所有线性变换作成的线性空间，则； （）18当时，实二次型是正定的;（）19设线性无关，也线性无关，则的维数一定为4；（） 20设、都是线性空间的子空间，则（）二、求下面实二次型的标准形及所作的非退化的线性变换，并确定其秩和符号差，其中（10分）解设，得，设 ，得到标准形为，故所作的非退化线性替换为，即，标准形为，二次型的秩为，符号差为三、设为数域上的n维线性空间，且，（1）证明是的一组基；（2） 若在基的坐标为,求在基下的坐标 （12分）证明 （1）设，即，因为，所以线性无关，即得 解之得，故线性无关，又，因此它们是的一组基（2）由，得，故在基下的坐标为注（1）的另一证法：可由及后一矩阵的可逆性证得结论；（2）也可由坐标变换公式得到结论四、设是数域上的所有阶矩阵的集合，（1）证明是的子空间；（2）求的一组基,并确定其维数；（3）证明（共12分）证明（1），设、，即，则，所以；又设，由，得，故是的子空间，同理可证也是的子空间（2）的一组基可取为：（），故的一组基可取为：（），故（3）对，由，容易验证与，得，因此，又设，则，得到，于是有，故注对（3）中直和的另一证法：由（2）得，故五、设为数域上的维线性空间，是的一个线性变换, 且有使得，而（1）证明：也为的一组基；（2）求在基下的矩阵；（3）证明：必为零变换（共12分）证明（1）因为，所以只需证明线性无关：设，两边用作用，注意到得，又，于是，代入上式得，两边再用作用，得，继续这个过程，得到，故线性无关，从而为的一组基（2）由得在基下的矩阵为，这里表示级单位矩阵（3）对，设，则，故为零变换注对（3）的另一证法：因为在基下的矩阵为，故在此基下的矩阵为，故为零变换六、设是线性变换A的两个特征值，是分别属于与的特征向量证明（1）线性无关；（2）不是A的特征向量；（3）是A的一个特征值，这里表示恒等变换（共12分）证明（1）设，两边用线性变换A作用，得，对两边同乘后两式相减，得，由于及，得，代入得，又有，故线性无关（2）若是A的属于某特征值的特征向量，则A（），得到，即，由（1）知线性无关，得，于是，矛盾（3）由A（），得A，故是A的一个特征值七、设线性变换A在基下的矩阵是（1）求矩阵以及线性变换A的特征值与特征向量；（2）判断A是否可以对角化（即线性变换A是否在某组基下的矩阵为对角形），若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵，使为对角形 （共12分）解（1），则或A的特征值和当时，由得基础解系，故矩阵的全体特征向量为，而线性变换A的全体特征向量为（其中为不全为零的任意常数）当时，由得基础解系，故矩阵