高中数学 函数的基本概念.doc

函数的基本概念章节结构图二、复习指导函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的数学思想方法贯穿于高中数学课程的始终，函数又是初等数学和高等数学衔接内容，因此在历届高考中都占有很大的比例，成为数学高考的重点和热点，考察的内容涉及函数的概念，定义域、值域，函数的奇偶性、单调性和周期性，图象的变换和函数知识的综合运用等，考察的数学思想或方法有函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合、待定系数法和换元法等做好函数的复习将有利于整个高中数学的复习按照新课标的要求，复习中要始终强化函数的对应、运动变化等本质特征，重视对函数概念的理解；以简单的函数为载体，全面复习函数的性质，再利用函数的性质研究较复杂的函数，在复习中应注意数形结合的训练，关注函数与其他知识的联系函数的基本概念（一)函数的定义1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.3、认知:注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为,则此函数不存在.函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.(二).映射的概念将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.1、定义1：设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：AB2、定义2：给定一个集合A到集合B的映射 f：AB,且aA,bB,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：ab,则b叫做a的象,a叫做b的原象.3、认知:映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.集合A到集合B的映射 f：AB是一个整体,具有方向性； f：AB 与 f：BA 一般情况下是不同的映射.（三）、函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.认知:函数符号的意义在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句话.其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架.具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x1) 对应法则“f”表示这样一套运算的框架:5() 2（）3，（）即f: 5() -2( )+3,( )1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a1);f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x1);f(g(x):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x)=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)1 ) 感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味、,不难从中悟出这样的代换规律:f(x)的解析式fg(x)的表达式我们将上述替换形象地称之为“同位替换”.显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.三、典型例题例1设A=x:0x2，B=y:2y2则从A到B能构成映射的一个是( )(A)(B)(C)(D)例2试判断以下各组函数是否表示同一函数(2)f(x)=lgx2，g(x)=2lgx(4)f(x)=x3，g(t)=t3例3已知f：AB，其中A=BR，对应法则f:xy=x2+2x()对于实数kB，在集合A中存在不同的两个原象，求k的取值范围()若对于实数pB，在A中不存在原象，求p的取值范围例4从集合a，b，c到集合m，n，p可构成多少个映射，其中一一映射有多少个?例5函数y=f(x)的图象与直线x=a(aR)的交点个数为( )(A)0(B)1(C)0或1(D)可多于1例 题 解 析例1解：对于选项A，x=0时没有意义，即A中的元素0在B中没有对应元素选项B中，2A，但22B，即A中的元素2在B中没有对应元素选项C中，虽然通过在N中都有对应元素，但不能保证对应元素的唯一性而对于选项D，当x0，2时，保证了A中的每一个元素在B中都有对应元素，同时通过，对应元素又是唯一的，故选D例2解：(1)由于，显然两个函数的对应法则不同，它们不是同一个函数(2)两个函数的定义域分别为xRx0，xRx0显然不同，所以它们不是同一个函数(3) 与y=x2的定义域不同，所以它们也不是同一个函数(4)y=x3与S=t3不仅定义域相同，而且对应法则也相同，所以它们是同一个函数小结：函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此只有当两个函数的定义域和对应法则完全一致时，它们才是相同的函数例3解：()令y=k得x22xk=0，此方程有两个不同的解，需=(2)24k0，解之得k1()解法一：由y=x22x=(x1)211可知，映射f：xx22x的象的集合为(，1，对于实数pB，在A中不存在原象，p(，1，所以p的取值范围为p1解法二：令y=p，得x22xp=0，此方程没有实数解=(2)24p0，解得p1例4解：按照映射的定义，a，b，c中的每一个元素，在m，n，p中都有唯一确定的对应元素，而a，b，c的每一个元素在m，n，p中都有3种对应方式，所以从集合a，b，c到集合m，n，p可构成33=27个映射对于一一映射，要求a，b，c中的每一个元素，在m，n，p中都有唯一确定的对应元素，并且m，n，p中的每一个元素在a，b，