第9章弯曲刚度问题.doc

第9章 弯曲刚度问题9.1 基本概念9.1.1 梁弯曲后的挠曲线吊车梁若变形过大，将使小车行走困难，还会引起梁的严重振动。因此，必须对梁的变形加以限制。 若梁的变形在弹性范围内，梁的轴线在梁弯曲后变为一条连续光滑曲线，该曲线称为弹性曲线或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。挠曲线：梁变形后的轴线。性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。9.1.2 梁的挠度与转角 设有一具有纵向对称面的悬臂梁，在自由端处作用一集中力。力作用在梁的纵向对称面内，使梁发生平面弯曲。一、挠度与转角梁的变形可用以下两个基本量来度量。1 挠度 挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。 梁轴线上各点（各截面）的挠度随着点（截面）的位置的不同而改变 ，即各截面的挠度是截面位置坐标的函数。 挠曲线方程 单位： 挠度符号规定：向下为正，向上为负。2 转角转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“” 表示。 梁不同横截面其转角是不相同的，是横截面位置坐标的函数 转角方程 单位：的符号规定：由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。3 水平位移：横截面形心沿水平方向的位移，用表示。因小变形时，与相比为高阶无穷小，故忽略不计。二、挠度于转角间的关系 9.2 小挠度微分方程及其积分9.2.1 小挠度微分方程 梁发生平面弯曲时，其轴线由直线变成一条曲率为的平面曲线。纯弯曲 细长梁横力弯曲 由高数知 在向下为正的坐标系中 与的符号总是相反的。 挠曲线近似微分方程求梁的变形：解上二阶微分方程可求得挠度，再根据 ，可求得截面转角。等截面梁：=常数。 转角方程 挠度方程其中为积分常数。可根据约束条件求得。9.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件约束条件： 固定铰支座和辊轴支座处： ；固定端处：，。连续条件：在集中力、集中力偶和分布载荷间断处，两侧的挠度和转角对应相等，即 ，。 【例题1】 一等截面悬臂梁，在自由端作用一集中力,梁的抗弯刚度为，求自由端截面的转角和挠度。解：等直梁=常数。建立图示坐标系。梁上距原点远处任一横截面上的弯矩：根据 有 积分一次 再积分 由梁的约束条件确定积分常数。根据固定端处：，。， 则 ；则 梁的转角方程：梁的挠度方程：把代入上两方程，得 为正值，表示截面顺时针转；为正值，表示挠度是向下的。例题9-1 承受集中载荷的简支梁，如图所示。梁弯曲刚度、长度、载荷等均为已知。试应用小挠度微分方程通过积分，求：梁的挠度方程和转角方程，并加力点处的挠度和支承和处的转角。解：1.确定梁约束力, ， ， 2.分段建立梁的弯矩方程段： 段： 3.将弯矩方程代入挠曲线微分方程并积分 将式积分 将式积分 4.利用约束条件和连续条件确定积分常数约束条件：在处，处，连续条件：在处，将代入 将代入 将代入 , ,9.3 工程中的叠加法弯矩的叠加原理- 梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。叠加法：先分别计算出每一个载荷单独作用下产生的位移，然后再将这些位移代数相加的方法。一、前提条件：弹性、小变形。 二、叠加法的特征：1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。9.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形例题9-2 简支梁同时承受均布载荷、集中力和集中力偶，如图所示。梁的弯曲刚度为。试用叠加法求梁中点的挠度和右端支座处的转角。解：1.将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。 2.应用挠度表确定三种情形下，梁中点的挠度和右端支座处的转角。查表得 （转角的正负号：从梁轴线转向挠曲线的切线，顺时针转动为正，逆时针转动为负。）, ,，3.应用叠加法，将简单载荷作用时的挠度和转角分别叠加。 9.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形【例2】、图示悬臂梁，求C截面的挠度和转角。 例题9-3 图示悬臂梁，弯曲刚度为。梁承受间断性分布载荷，如图所示。试利用叠加法确定自由端的挠度和转角。解：1.将梁上的载荷变为有表可查的情形 2.将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形 查表得 ， , 3.将简单载荷作用的结果叠加 【例3】图示外伸梁。求C截面的挠度和转角。解： 9.4 简单静不定问题9.4.1 求解静不定问题的基本方法一、超静定梁的基本概念超静定梁：梁的未知约束反力的数目多于所能列出的独立的平衡方程的数目，以致单凭静力平衡方程不能求出全部的未知约束力，这类梁称为超静定梁。例如： 未知约束力个数-独立平衡方程个数=超静定次数=多余未知力个数 二次超静定相同载荷作用下，超静定梁比静定梁的变形小，受力更均匀，可提高梁的刚度。 二、用变形比较法解超静定问题 设有一图示超静定梁。该梁为一次超静定，将支座视为多余约束，去掉多余约束用代之,并视其为已知力。超静定梁变为在均布载荷和集中力共同作用下的静定梁，该静定梁称为原超静定梁的静定基。 运用叠加法，将右图分解为两种载荷单独作用的悬臂梁。 变形协调方程查表得 代入变形协调方程 补充方程 ， ， , , 超静定问题的解题步骤：1 确定超静定次数；2.解除多余约束，以约束反力代之，使超静定梁变成静定梁；3.根据多余约束处的位移情况，建立补充方程并解之求得多余约束反力；4.利用平衡方程求得其余支座反力；5.画出剪力图和弯矩图。 与超静定梁对应的静定基不是唯一的，例如 选左端限制转动的约束视为多余约束，去掉，以多余约束反力代之。 与原梁端比较，应有 变形协调方程查表得 补充方程 , , , , 9.4.2 几种简单的静不定问题示例例题 9-4 图所示之三支承梁，处为固定铰链支座，二处为辊轴支座。梁作用有均布载荷。已知：均布载荷集度，梁圆截面的直径，试校核梁的强度是否安全。解：1.判断静不定次数梁共受四个未知约束力，但只有三个独立的平衡方程，4-3=1，为一次超静定梁。2.解除多余约束，使超静定梁变成静定梁。 可选图中任一个支座为多余约束，先将支座视为多余约束除去，用约束反力代之并视为已知力，超静定梁变成右图中所示的静定梁。 3.比较解除约束前的静不定梁和解除约束后的静定梁，建立变形协调方程 变形协调条件4查表得 5.建立平衡方程， ， , 将代入平衡方程求得 ，6.校核梁的强度作弯矩图。由弯矩图知危险截面上的最大正应力 静不定梁安全。9.5 梁的刚度设计9.5.1 刚度设计准则一、刚度准则根据不同的需要，将梁的最大挠度和最大转角限制在一定的范围内即为刚度准则（刚度条件）。 许用挠度， 许用转角。均根据零部件或构件的工艺要求而定。注意：由公式算得的单位为，若的单位为，则需换算单位，即 对于机械制造方面，往往对构件的挠度和转角都需校核，而在建筑工程中，一般只需校核梁的挠度。且校核挠度时，通常是以挠度的许用值与跨长的比值作为校核的标准。即 梁的刚度准则 挠跨比 许用挠跨比二、刚度计算、校核刚度；、设计截面尺寸；、确定外载荷。 （对于土木工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）9.5.2 刚度设计举例【例4】一承受均布载荷的简支梁，已知，梁采用号工字钢，其弹性模量，试校核梁的刚度。解：查表得工字钢的惯性矩为梁跨中最大挠度 满足刚度要求。例题 9-5 图所示之钢制圆轴，左端受力为,其他尺寸如图所示。已知，轴承处的许用转角，试根据刚度要求确定该轴的直径。解：1.查表确定处转角 2.根据刚度准则确定轴的直径根据设计要求 。上公式求得处转角的单位是，而本题中的单位是，应统一单位。例题 9-6 矩形截面悬臂梁承受均布载荷如图所示。已知，许用最大挠度与梁跨度比值，且已知梁横截面的高度与宽度之比为2，即。试求梁横截面尺寸和 。解：1.强度设计据 2.刚度设计根据刚度设计准则有 故 【例5】跨度的简支梁，如图所示，均布载荷，集中力，梁由两根槽钢制成，材料的许用应力，许用挠度，试槽钢的型号。解： 可选18a号槽钢，其 查表可选20a号槽钢，其综合强度和刚度要求，应选号槽钢，此时两根槽钢的 9.5.3 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。 受均布载荷作用的简支梁 ，由梁在简单荷载作用下的变形计算可看出：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；截面梁的位移与截面的惯