用高次位构造一点码.doc

用高次位构造一点码摘 要 xing和chen给出了：在埃尔米特函数域上，用上的有理位构造和改进代数几何码一点埃尔米特码。在本文中用高次位构造新的一点码。要研究在高次位的间隙数、极数和魏尔斯特拉斯间隙数集合。用高次位的次数刻化高次位一点码的最小距离。关键词 位 一点码 魏尔斯特拉斯间隙数集合 最小距离abstract xing and chen proof that there exist ag codes from the hermtian function field over constructed using-rational divisors which are improvements over the one-point hermitian codes.in the paper,we construct ond-point codes by using a place of higher degree.westudy gap numbers pole numbers and weierstrass gap set at places of higher drgree.degree with places of higher degree depict the minimum distance of one-point codes using places of higher degree.key words place one-point code weierstrass gap set minimum distance.引言上的一个代数几何（ag）码是用函数域的两个除子和来定义的。如果，其中不属于的支集且互异，像这样的代数几何码称为一点码。xing和chen证明了：在上的埃尔米特函数域上用有理除子构造的码比9中的一点埃尔米特码有较好的参数。考虑这样一种情况：如果，1，像这样的码称为高次位构造的一点码(或高次位一点码)。研究高次位构造的一点码，要研究高次位的魏尔斯特拉斯间隙数集合和常域扩张中的有理位-元组的魏尔斯特拉斯间隙数集合。这种理论在42中被应用。尤其在同一个函数域，用高次位构造的一点码比经典一点码有较好的参数。注：本文出现的符号采用8中的符号表示。设是上的亏格为的代数函数域，函数的除子（或极除子）用（或）表示。用表示的有理微分集合。对的除子用表示和在位的留数用表示。对的除子定义：用表示上向量空间的维数。由黎曼-罗赫定理知：,是的典范除子如果，则和。如果一个码的长为n，维数为k，最小距离为d（或至少为d）称此码为（或）码。有时用表示码的最小距离，用表示正整数，用表示非负数。设和为的除子，满足，其中是中互异的有理位，不属于的支集，代数几何码定义为：.高次位的间隙数设是亏格为的代数函数域。是的位，。定义魏尔斯特拉斯半群：和魏尔斯特拉斯间隙数集合：集合中的元素是位的间隙数。可以验证为的加法子幺半群。对当且仅当.在魏尔斯特拉斯间隙数定理中：位是的有理位，在位有个间隙数。在位的魏尔斯特拉斯间隙数集合中的元素是中的整数。设为的常域扩张，扩张的次数为。位在中完全分裂。个互异的有理位为位的扩张。定义的余范数：，对。由8，定理 3.6.3有类比有理位间隙数的一些结论来推导高次位间隙数的结论，看下面两个引理。引理2.17，命题2.3：设是次数为的的位，在的扩张次数为的常域扩张中的扩张为。对,当且仅当。引理2.27，命题2.4：设是次数为的的位，在的扩张次数为的常域扩张中的扩张为。如果,则.注：引理中的符号和证明可以参阅7的第二部分。 高次位一点码的最小距离码为上的代数几何码，为的次数大于1的为。下面的引理告诉我们码与码的关系。引理3.17，引理3.1：设和是除子，其中是互异的有理位，不属于的支集，。取。设为的常域扩张，扩张的次数为。则码和码有相同的长和维数，码的最小距离至少为码的最小距离。证明：由8，3.1和3.6知：设为码和码的维数由8，定理 3.6.3知：设码的最小距离为假设，是重量为的码字则为的典范除子则码有重量为的码。引理3.22，定理3.3：设，是互异的设。假设，其中。若码是非平凡的，则最小距离为定理3.3: 设是次数为的的位，是互异的有理位。和是的除子，且。若满足：则：码的最小距离至少为证明：设为位在的扩张次数为的常域扩张中的扩张由（1）知 ，其中，由（2）和引理2.2知取有引理3.2知 码的最小距离满足由引理3.1知 码的最小距离为注：定理3.3与7，定理3.4相比，条件和证明过程有所改变，使定理和证明过程更加严谨。3.4例题7，例题3.6 埃尔米特函数域是由：定义的。有730个有理位，其亏格为36.由1找到一个次数为3的位，位的魏尔斯特拉斯间隙数集合为：。取，由定理3.3有：设除了外的所有有理位的和。码是码。码是上的一个一点埃尔米特码。两者相比，前者在最小距离上比后者优。参考文献：1w.bosma,j.cannon,and c.playoust,the magma algebra system,i: the user language p .24(1997),235-265.2c.carvalho and f.forres,on goppa codes and weierstrass gaps at several pointsdesigns,codes and crypt ,to appear.3a.garcia,s.j.kim,and r.f.lax,consecutive weierstrass gaps and minimum distance of goppa codes,j.pure appl.algebra 84(1993),199-207.4m.homma and s.j.kim,goppa codes with weierstrass pairs, j.pure appl.algebra 162(2001),273-290.5 j.lewittes,genus and gaps in function fieds, j.pure appl.algebra,58(1989),29-44.6g.l.matthews,weierstrass pairs and minimum distance of goppa codes,des.codes and cryptog.22(2001)107-121.7g.l.matthews,t.w.michel,one-point codes using places of higher degree,ieee transactions on information theory,51(2005),no.4,1590-1593.8h.stichtenoth,algebraic function fields and codes,spinger verlag,1993.9c.p.xing and h.chen,improvements on parameters of one-point ag codes from hermitiancodes,ieee rm.theory 48 no.2(2002),535-537.10c.p.xing,h.niederreiter,and k.y.lam,a generalization of algebraic geometry codes,ieee rm.theory 45(1999),2498-2501.11c.geri,h.stichtenoth,i.taskin,further improvements on the designed minimumdistance of algebraic geometry codes,journal of pure and