第2章随机变量的分布

2 随机变量的分布 随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一个相当长的过程 并引起过不少争议 在许多随机试验中 往往将每种试验结果与另一个数相关联 赌博时投掷硬币 人们总是将正面和反面转化成赢和输了多少钱联系起来 摸球中奖活动 人们摸中红球 白球 黑球等时 总是和中几等奖 多少奖金联系起来 a b c 给随机试验的每个结果都赋予一个数值 在样本空间和实数值建立一种对应关系 随机变量是我们应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验规律的基础 泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏 某人有12品脱啤酒一瓶 想从中倒出6品脱 但是他没有6品脱的容器 只有一个8品脱和一个5品脱的容器 怎样的倒法才能使8品脱的容器中恰好装好了6品脱啤酒 品脱是英容量单位 1品脱 0 568升 对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路 从此他决心要当一位数学家 决定一生道路的一个数学游戏 学习不是人生的全部 但连学习都征服不了 你还能做什么 常原来确定F x 中的未知参数 性质 二 一维连续型随机变量常用的分布 1 均匀分布 例 说明什么 指数分布无记忆性 指数分布的无记忆性 1 p x 是偶函数 曲线关于y轴对称 两头小 中间大 左右对称 的曲线 当X N 0 1 时 其分布函数为 正态分布表 决定图形的中心位置 决定图形的陡峭程度 正态分布呈现 中间高 两头低 的状态 它描述了自然界大量存在的随机现象 也是自然界一种正常状态的分布 用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图 红线是拟合的正态密度曲线 可见 大学生的身高应服从正态分布 标准化后再查表 例公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 问车门高度应如何确定 例 0 6826 0 9544 0 9974 几乎是必然要出现的事件 要求1 能利用性质确定F x 与p x 中的未知参数2 F x 与p x 的关系 3 会求X在某范围内的概率 4 熟悉常见分布均匀分布 指数分布 正态分布的背景与用途 高斯 Gauss 1777 1855 德国天才数学家 天文学家和物理学家 1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位 从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世 高斯和牛顿 阿基米德 被誉为有史以来的三大数学家 高斯是近代数学奠基者之一 在历史上影响之大 可以和阿基米德 牛顿 欧拉并列 有 数学王子 之称 在全世界广为流传的一则故事说 高斯10岁时算出数学老师布特纳给学生们出的算术题1 2 100布特纳刚叙述完题目 高斯就算出了正确答案 不过 这很可能是一个不真实的传说 据对高斯素有研究的著名数学史家E T 贝尔 E T Bell 考证 布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题 81297 81495 81693 100899这也是一个等差数列的求和问题 公差为198 项数为100 当布特纳刚一写完时 高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去 这说明高斯10岁就掌握了等差数列求和公式 高斯在数学领域的成就 1788年 高斯年仅11岁发现了二项式定理 1794年 开始研究测量误差 提出最小二乘法 1795年 18岁时高斯发明了用圆规和直尺作正17边形的方法 从而解决了2000年来悬而未解的难题 1799年 他证明了代数学的一个基本定理 实系数代数方程必有根 因而获得博士学位 1801年 出版了 算术研究 一书 开创了近代数论 这本书所讨论的内容成为直到20世纪数论研究的方向 1818年 他提出了关于非欧几里德可能性的思想 是非欧几何学的创始人之一 1827年 他又建立了微分几何中关于曲面的系统理论 创立了微分几何 1831年 他建立了复数的代数学 另外 他沿着拉普拉斯的思想 继续发展了概率论 此外 他还研究了向量分析 关于正态分布的正规曲线 质数定理的验算等 高斯去世后 人们建立了以正17边形棱柱为基座的高斯像 以纪念这位伟大的数学家 分布函数 计算概率的主要方法 例设 X Y 的分布律为 求 X Y 关于X及Y的边缘分布律 求 X Y 关于X及Y的边缘分布函数 求导 求积分 三 两个