4.1圆的对称性PPT演示课件

4 1 2 圆的对称性 弧弦圆心角 1 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 arc 直径将圆分成两部分 每一部分都叫做半圆 如弧 连接圆上任意两点间的线段叫做弦 chord 如弦AB 经过圆心的弦叫做直径 diameter 如直径AC 2 同心圆 圆心相同 半径不相等的两个圆叫做同心圆 弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆 等弧 能够重合的两个圆叫做等圆 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 3 1 如右图 在 O中弦是 直径是 半径是 其中弦AB所对的优弧是 劣弧是 2 如果一个图形沿一条直线对折 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫 这条直线叫这个图形的 4 实验与探究 1 把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 2 圆是图形 任何一条 都是它的对称轴 完全重合 轴对称 直径所在的直线 5 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 我发现这个图形是 图形 它的对称轴是 2 图中相等的线段有 相等的弧有 3 以上发现可以表示为 4 题目当中有哪些条件 得到了哪些结论 用文字叙述为 5 用几何语言表示垂径定理为 做一做 6 C 叠合法 合作与探究 7 O A B C D E 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 垂径定理的几何语言叙述 AE BE AC BC AD BD 2 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 为什么 1 这个图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 AE BE AC BC AD BD 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 CD AB 交流与发现 8 下列图形是否具备垂径定理的条件 是 不是 是 不是 深化 9 垂径定理的几个基本图形 CD过圆心 CD AB于E AE BE 10 在下列哪个图中有AE BE A B C D 1 2 3 D C A B C A B E E E 找一找 D AE BE吗 11 A B C D E A B D C AC BC AD BD CD AB CD AB AE BE 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 不是直径 垂径定理的推论 CD AB吗 E 12 交流与发现 1 4 5 2 3 1 5 2 3 4 1 3 2 4 5 1 4 2 3 5 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对优弧 5 平分弦所对的劣弧 3 5 3 4 1 2 5 2 4 1 3 5 2 5 1 3 4 1 2 4 4 5 1 2 3 每条推论如何用语言表示 13 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 结论 14 一 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线 将弦所对的两条弧分别三等分 15 3 半径为2cm的圆中 过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 8cm 1 半径为4cm的 O中 弦AB 4cm 那么圆心O到弦AB的距离是 2 O的直径为10cm 圆心O到弦AB的距离为3cm 则弦AB的长是 二 填空 16 4 O的半径为10cm 弦AB CD AB 16 CD 12 则AB CD间的距离是 2cm 或14cm 17 赵州桥的主桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4米 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2米 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 O A B 垂径定理的应用 18 垂径定理的应用 赵州桥主桥拱的跨度 弧所对的弦的长 37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 1 用AB表示主桥拱 设AB所在的圆的圆心为O 半径为R 经过圆心O作弦AB的垂线OC D为垂足 OC与AB交于点C 则赵州桥主桥拱的半径就是 2 如右图 D是 的中点 C是 的中点 就是拱高 所以题目中的条件有 3 OD可以看成是 的一部分 它与半径R的关系是 由垂径定理知AD 4 AOD是 它的三边满足关系 5 本题可列方程 19 解 如图 设半径为R 有题意知 在 t AOD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 答 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m 解决问题 例1 赵州桥主桥拱的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 AB 37 4 CD 7 2 反思 在本题里 作垂直于弦的半径 构建直角三角形 运用勾股定理列方程是解题的关键 20 例2 如图 M为 O内的一点 利用尺规作一条弦AB 使AB过点M 并且AM BM 21 例3 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径OB 10 水面宽AB 16 求截面圆心O到水面的距离 解 作OC AB于C 由垂径定理得 AC BC AB 16 8由勾股定理得 答 截面圆心O到水面的距离为6 排水管最深4米 12 12 排水管中水最深是多少 D C 10 8 8 6 CD OD OC 10 6 4 22 变式一 若已知排水管的半径OB 10 截面圆心O到水面的距离OC 6 求水面宽AB 变式二 若已知排水管的水面宽AB 16 截面圆心O到水面的距离OC 6 求排水管的半径OB D C 强化练习1 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径OB 10 水面宽AB 16 求截面圆心O到水面的距离 若弦心距为d 半径为R 弦长为a 则这三者之间有怎样的关系 d R a2 d2 2 R2 2 a 23 C D A B E 例4 平分已知弧AB 已知 弧AB 作法 连结AB 作AB的垂直平分线CD 交弧AB于点E 点E就是所求弧AB的中点 求作 弧AB的中点 24 C D A B E F G 变式一 求弧AB的四等分点 m n 25 C A B E 变式二 你能确定弧AB的圆心吗 m n D C A B E m n O 26 1 如图 ABC的三个顶点在 O上 OE AB于E OF AC于F 求证 EF BC EF 练习 OE AB E为AB的中点 OF AC F为AC的中点 EF为三角形ABC的中位线 27 2 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 实际上 往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段 就可以利用垂径定理来解决有关问题了 28 3 已知 O中弦AB CD 求证 AC BD 证明 作直径MN AB AB CD MN CD AM BM CM DM 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 AM CM BM DM AC BD 夹在两条平行弦间的弧相等 你能有一句话概括一下吗 29 4 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 答 O的半径为5cm 在Rt AOE中 30 5 如图 P为 O的弦BA延长线上一点 PA AB 2 PO 5 求 O的半径 辅助线 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 A 31 6 已知 AB和CD是 O内的两条平行弦 AB 6cm CD 8cm O的半径为5cm 1 请根据题意画出符合条件的图形 2 求出AB 与CD间的距离 1 2 32 7 在直径是20cm的 O中 AOB的度数是60 那么弦AB的弦心距是 圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距 33 8 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证 四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 OE AC OD AB AC AB OEA ODA BAC 90 34 小结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 M N E 35 通过这节课的学习 你学到了哪些知识 36 课堂小结