初三数学第九章四边形知识精讲 人教版.doc

初三数学第九章四边形知识精讲一. 本周教学内容： 第九章 四边形复习目标 1. 掌握多边形的有关概念，多边形的内角和、外角和定理； 2. 掌握四边形的内角和、外角和性质并会应用； 3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，及它们的判定定理，性质定理及它们之间的区别与联系； 4. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，及它们的判定定理，性质定理及应用。 5. 掌握平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线定理。 6. 掌握中心对称和中心对称图形概念，并会作中心对称图形。知识回顾（一）知识归纳： （二）几种特殊四边形的判定： 1. 平行四边形： （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （3）一组对边平行且相等； （4）对角线互相平分； （5）两组对角分别相等。 2. 矩形： （1）有一个角是直角的平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角是直角的四边形。 3. 菱形： （1）四条边都相等的四边形； （2）一组邻边相等的平行四边形； （3）对角线互相垂直的平行四边形。 4. 正方形： （1）一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形； （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形。 5. 等腰梯形： （1）两腰相等的梯形； （2）在同一底上的两个角相等的梯形。（三）几种特殊四边形的性质：（四）与四边形有关的其它重要定理： （1）多边形内角和：（n2）180 外角和：360 （2）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 （3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 （4）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 （5）中心对称及中心对称图形的判定和性质。【典型例题】 例1. 凸多边形的n个内角与某一个外角的和为1450，则n等于（ ） A. 6B. 7C. 8D. 10 分析：这是道选择题，我们可以用计算的方法找到正确答案： 因为1450较大，故 从n10开始，1450180（102）10 从n8开始，1450180（82）370 故应选择D。 若是道计算题，则可列出不等式： 例2. （03，河北）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BDBC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQPR的值是（ ） 分析：由已知可知：CBE45，BEBC1，由于P点的任意性，使我们觉得不好下手，但细细一想，这个图形似曾见过：在书上第193页B组2要求我们证过：等腰三角形底边上任一点与两腰的距离和等于腰上的高，也就是过E作EFBC于F，则可 故应选择A。 例3. 如图：已知AB、CD相交于点O，ACDB，AOBO，E、F分别是OC、OD的中点。 求证：四边形AFBE是平行四边形。 分析：从已知条件易得：AOCBOD，从而可得OCOD，ACBD，而要证明四边形AFBE为平行四边形的方法是很多的，我们可以选择“对角线互相平分的四边形”来证明，也可以选择“一组对边平行且相等的四边形”来证明。 证明：AB、CD相交于O AOCBOD ACBD，OACOBD 又OAOB，OACOBD OCOD E、F分别为OC、OD的中点 OEOF，又OAOB 四边形AFBE为平行四边形 另一种方法只须证AECBFD即可。 例4. 如图，在四边形ABCD中，ADC90，ACCB，E、F分别是AC、AB的中点，且DEAACB45，BGAC于G。 （1）求证：四边形AFGD是菱形。 （2）若ACCB10cm，求菱形的面积。 分析：已知条件中有两个直角三角形ADC，AGB，且E、F分别为斜边中点，由斜边上中线等于斜边的一半，故有不少等腰三角形。同时，EF又是ABC的中位线，由于ACBC，可得EFDE，因此我们可以考虑结合中位线的性质和判定，运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来证明。 另外，由于已知DEAACB45，我们又可以利用全等形及计算的方法，运用“四条边都相等的四边形是菱形”来证明。 证明：（法一）连结EF，DF交AC于H （1）ADC为直角，DE为斜边上中线 EF为ABC中位线 ACBC，DEEF AEFACB45，DEA45 DEF90 DEF为等腰直角三角形，EF为顶角的平分线 DFEA，DHHF BGAG，FHBG F为AB中点，H为AG中点，即AHHG AG、DF互相垂直平分 四边形AFGD为菱形 （2）在RtBGC中，BCG45，BGGC，BC10cm 证明：（法二）连结EF 在RtADC中，ADC90，E为AC中点 BGAG，F为AB中点 FGFA AGF67.5 又EGEG DGGF 例5. 如图，已知正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点。 （1）若PAQ45，求证：PBDQPQ。 （2）若PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ45 分析：一般地，证线段和差倍分可通过“截长补短”将问题转化成证线段之间的相等关系，因此可以考虑延长PB到E使BEDQ，再证明PEPQ即可。而第二问可看出PCQ的周长若为正方形周长一半，也就是PQPBDQ，因此仍可用（1）问的想法去解决。 证明：（1）延长PB至E使BEPQ，连结AE 又APAP PEPQ PBDQPQ （2）辅助线作法与（1）同。 由BEDQ得：PQPE 再由BEDQ可证RtABERtADQ AEAQ EAQ90 例6. 等腰梯形ABCD中，ADBC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。 （1）求证：四边形MENF是菱形。 （2）若MENF是正方形，那么梯形的高与底边BC有何关系？ 分析：本题中有四个中点M、N、E、F，故肯定会想到中点定义及中位线定理，因此想通过“四条边都相等”来证明菱形，在证的过程中我们要完成MBMC的证明。故可证MN就是梯形的高，在条件（2）下BMC为直角，故MN与BC的关系就出来了。 证明：等腰梯形ABCD，ADBC ABDC，AD 又M为AD中点 AMMD BMCM E、N、F分别为BM、BC、CM中点 四边形MENF为菱形 （2）若MENF为正方形，EMF90 BMCM，N为BC中点 梯形的高是底边BC的一半 例7. 如图，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADAB，点P在腰AD上移动，要使PBPC最小。 （1）则应满足（ ） A. PBPCB. PAPD C. BPC90D. APBDPC （2）试标出P点的位置。 分析：看到“要使PBPC最小”联想到轴对称和轴对称图形那一节，P91. 例3就是在河边修水泵站的问题，利用的就是轴对称的性质，我们以AD为对称轴，作出C点的对称点C，连结BC与AD交于P点，这时PCPC，故PBPCPBPCBC，为什么这时PBPC最小呢？我们只要在AD上再取一点P，连PC，PB，PC，这时PCPC，而PCPBPCPB。 在PBC中，PBPCBC，即PBPCPBPC，PBPC最小。 通过分析可知：APBCPDDPC，故应选择D。 例8. 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN如图（1）； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B，得RtABE如图（2）； 第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图（3）。 利用展开图（4）探究。 （1）AEF是什么三角形？证明你的结论。 （2）对于任意矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。 解：（1）AEF是等边三角形 由翻折可得：ABEABE，BEBE，ABE90，BAEBAE M、N为ABCD对折的折痕 B为EF中点 AB为EF的中垂线 可证AEAF，BAEBAF BAAD，BAEBAEBAF30 EAF60 AEF为等边三角形 （2）从上一问中可看出当F恰好与D点重合时能够得到等边三角形AEF，这时， 例9. （1）求B的度数。 （2）设点N是梯形对角线AC上一点，DN的延长线与BC相交于点K。 分析：由已知可知这是一个一腰AB等于上底AD的梯形，四边形ABFD是平行四边形，由于ABAD，因此平行四边形ABFD是菱形。 由于AE既是ABC的高，又是平行四边形AEFD的高，故它们面积的比可转化为BC与AD的比，再加上已知的等量关系可求出AD、BC长，从而可得出B的度数。 解： 解由、组成的关于AD、BC的方程组得： B60 （2）过N点作梯形的高GH 例10. 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形面积是（ ） A. 120B. 143C. 132D. 156 分析：要求矩形的面积，必须设法求出矩形的长和宽，由于这6个小色块都是正方形最小正方形边长为1，若设（1）、（2）两全等的正方形边长为x，则其它各正方形边长都能表示出来，再利用矩形对边相等列方程，求出x，问题就解决了。 解：设（1）、（2）正方形的边长为x，则（3）正方形边长为x+1 而（4）正方形边长为x+2，（5）正方形边长为x+3 应该选择B。一. 选择题。 1. n边形的内角和与外角和的比是3：2，则n等于（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7 2. 矩形的两条对角线所成钝角是150，对角线长是8，则矩形的面积为（ ） A. 16B. C. 32D. 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 内角和等于360 B. 对角相等 C. 对角线平分一组对角 D. 邻角互补 4. 等腰梯形的两底差为4，中位线长为6，腰长是4，则面积为（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连结四边形四边的中点得到正方形，则原对角线（ ） A. 互相平分B. 互相垂直 C. 相等且互相平分D. 相等且互相垂直 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 梯形的两个底角相等 B. 一组对边平行的四边形是梯形 C. 等腰梯形对角线互相平分 D. 直角梯形的两直角顶点到对腰中点等距离 7. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ） A. ABCD，ADBC B. ABCD，ABCD C. ABCD，ADBC D. ABCD，ADBC 8. 平行四边形一条边长为14，下列各数中分别可作为它的对角线长的是（ ） A. 10与16B. 12与16 C. 20与22D. 10与40 9. 下列图形：（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等边三角形中，是轴对称而不是中心对称图形的序号是（ ） A. （1）（2）B. （3）（4） C. （2）（3）D. （1）（3） 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，若AE4，AF6，平行四边形ABCD的周长为40，则为（ ） A. 24B. 36C. 40D. 48 11. 已知M是平行四边形ABCD的AB边的中点CM为BD于E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD面积的比是（ ） A. B. C. D. 12. 如图：梯形ABCD中，AFBC，M是CD的中点，延长AM交BC的延长线于E，B45，AF3cm，EF5cm，则ADBC（ ） A. 8cmB. 12cmC. 10cmD. 6cm二. 填空题。 1. 一个多边形的内角和与外角和的比是7：2，则这个多边形的边数为_，它有_条对角线。 2. 一个多边形除了一个内角外，其余内角的和为1490，则这个多边形的边数为_，它的外角和_度。 3. 平行四边形两邻边分别为与且这两邻边夹角为60，则这个平行四边形的面积为_。 4. 用长为100cm的铁丝制成一个矩形，其面积为，那么这个矩形的对角线长_cm。 5. 菱形较大角是较小角的3倍，并且高为4cm，这个菱形的面积为_。 6. 等腰梯形中，已知一底角45，高为h，中位线长为m，则梯形的上下底长为_。 7. 直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线长为，那么它的下底长是_。 8. 直角梯形的中位线EF长为a，垂直于底的腰长AB为b，则图中阴影部分的面积为_。三. 如图：已知，平行四边形ABCD且EADBAF。 （1）求证：CEF是等腰三角形。 （2）CEF的哪两边之和恰好是平行四边形ABCD的周长？证明你的结论。四. 如图：已知，梯形ABCD中，ABCD，E、F