高等数学Ⅱ期末复习题解答2010.doc

高等数学课程期末复习题一参考答案一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共10分）1. 点到平面的距离. 2. 设，则.3. 函数=在处方向导数的最大值等于. 4. 交换二次积分的次序=.5. 函数的麦克劳林公式中项的系数是 .二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 每小题2分，共20分）1. 的任意点集的全部边界点所组成的集合 ( B ).（A）是开集； （B）是闭集；（C）既是开集又是闭集； （D）两者都不是 .2. 在点处两个偏导数存在是在处可微的( A ).（A）必要条件； （B）充分条件；（C）充分必要条件； （D）以上都不是. 3. 非齐次线性微分方程 的特解形式 ( D ).(A) (B) ；(C) ； (D).4. 设上半球, 则以下等式错误的是( C ).（A）； （B）；（C）； （D） .5. 设方程确定了函数，则在点处的全微分（ D ）.（A） （B） （C） （D）6. 在下列级数中，唯有（ C ）是收敛的.（A） （B） （C）（D）7. 设D由x轴，围成，则（ （B） ）.（A） （B）（C） （D）8. 设可微函数f(x, y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 ( A ) . (A)在处的导数等于零 （B）在处的导数大于零(C)在处的导数小于零 (D) 在处的导数不存在9. 幂级数收敛域是 ( A ). ( A ) -3,3) ( B ) -3, 3 ( C ) (3, 3) ( D) (-3, 3 10. 微分方程的解是( A ) .（A） （B） （C） （D） 三、计算题：（每小题7分, 共56分）1. 设，求dz . 解：设 2. 求函数 的极值.解 解得驻点; ; 故有极小值 3. 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以 4. 计算 ，其中为抛物线 从点到点的一段弧。解 积分与路径无关。选取路径 故 5.设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.解: 所求面积为 6. 判断级数 是绝对收敛还是条件收敛还是发散？ 解：当时，p级数发散，原级数不绝对收敛。而是交错级数，且故条件收敛。7. 设将展开为余弦级数，求.解: 根据余弦级数的定义，其系数计算公式为，则 = =1 8求一阶常微分方程的特解.四、应用题：（本题8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为，；总成本函数为。试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？ 解 由已知条件收益函数 利润函数 于是：由的唯一驻点根据问题的实际意义，存在最大值，故是的最大值点，即：两个市场的售价分别为和时，可获最大利润，最大利润.五、证明题：（本题6分）：设，求证：证明： 高等数学课程期末复习题二参考答案一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1、已知，则 。2、_1_。3、设f(x)为连续函数，则=。4、=。5、微分方程的通解为。6、设,则该函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到Q(2,-1)的方向导数为。()7、一平面垂直于已知平面2x 2y + 4z 5 = 0, 且在x轴和y轴上的截距为a = 2, b = 2/3, 则此平面方程为.8、设，则= . 9、若级数的部分和数列为，则. 10、若级数条件收敛，则级数的敛散性为 发散 。二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）1、若，且f (0) = 1，则f (x) =（ C ）。（A） (B) (C) (D)2、设u(x, y)在平面有界闭区域D上具有连续的二阶偏导数，且满足，则u(x, y)的（ B ）。(A) 最大值点和最小值点必定在D的内部 (B) 最大值点和最小值点必定在D的边界上 (C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上 (D) 最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上 3、设f (x , y)在处偏导数存在，则f (x , y)在该点（ D ）。(A)极限存在 (B)连续(C)可微 (D)以上结论均不成立4、设f (x , y)是有界闭区域D：上的连续函数，则当时，的极限为（ B ）。(A) 不存在 (B) f (0,0) (C) f (1,1) (D) f (1, 0)5、下列结论正确的是（ C ）。(A) 若收敛，则必收敛 (B) 若收敛，则必发散 (C) 若收敛，则不一定收敛 (D) 若收敛，则必发散 三、计算题（共8小题，每小题7分，共56分）1、 计算.解： 2、 求方程的通解；解：3、设，求。解： 4、设y = f (x) 是由方程确定的隐函数，求。解： 解得 5、计算。解： 6、设f(x,y)在闭区域上连续，且 求f (x , y). 解：设 ，已知等式在两端积分得 解方程得 7、计算，其中是由曲面z = xy，y = x, x = 1, z = 0所围成的区域。解：8、求幂级数的收敛域，并求其和函数。解： 当时，发散故收敛域为。 四、应用题（8分）某公司通过电台及报刊两种方式做某种产品的推销广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报刊广告费x2（万元）之间的关系有如下经验公式：R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x12-10x22(1) 求在广告费用不限情况下的最优广告策略；(2) 求在限定广告费用为1.5万元的情况下的最优广告策略。 五、证明题（6分）：已知f(x)在0,a上连续，利用二重积分证明： 高等数学课程期末复习题三参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）：1. 微分方程的通解为.2. . 3过点，且垂直向量的平面为 4. 设，则 .5. 若，且，则= 2 . 6. 设函数，单位向量，则=.7. 二次积分. 8. 设连续，且, 其中，则. 9已知椭圆的周长为a, 则 12a . 10. 将函数展为的幂级数为. 二、选择题（每小题2分，共10分）： 1. 方程是（ ）. 变量可分离方程 齐次方程 一阶线性方程 以上均不正确 2下列曲面中，( ) 是平行x轴的柱面 3设方程确定了函数，则在点处的全微分（ ）. 4( ) (1) 5下列关于函数的结论中正确是( ) 驻点一定是可微分极值点 可微分极值点一定是驻点 有极大值一定有最大值 有最大值一定有极大值二、 解答题（每小题7分，共56分）：1求微分方程的通解.解： 将原方程化为一阶线性非齐次方程 3分所以原方程的通解为 . 7分2求. 解：所给方程对应的齐次方程为 特征方程为，特征根为 2分所以对应齐次方程的通解为 4分设非其次方程的特解形式为 代入原方程解的 , 于是非齐次方程的一个特解为 6分故原方程的通解为 . 7分3. 设，求. 解： 6分 7分4. 设，验证. 解： 3分 6分 7分1yx5求二重积分，其中D由y = x2，y =1 及 y 轴所围成. 解: 3分 5分 7分6设为正向圆周在第一象限中的部分，求曲线积分的值.解：正向圆周在第一象限中的部分，用参数方程可表示为 2分于是 5分 = 7分7. 求幂级数的收敛域.解： , 所以收敛半径为1. 2分当x = 1时, 得级数发散, 4分当x = 1时, 得级数收敛. 6分于是收敛区域为1, 1). 7分8求幂级数的和函数f(x). 解: 3分上式两边从0到x积分，得 6分由f(0) = 1, 得 7分四、应用题（每小题8分，共8分）：某厂生产甲、乙两种型号的汽车，当日产量分别为x辆、y辆时，总成本函数（万元）总收入函数为，且两种汽车日产量共19辆。问各生产多少辆时，总利润最多？解：设总利润函数为 2分约束条件为x