高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和教案.docx

数列求和【教学目标】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.【重点难点】 1.教学重点： 识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲传真:1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.真题再现;1.(2015全国，16)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得1(n1)n，所以Sn. 答案2.(2013全国，3)等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则a1()A. B. C. D.解析设公比为q，则由S3a210a1，得a1a2a3a210a1，故a39a1，所以q29.由a59，得a1. 答案C知识梳理：知识点数列求和的常见方法1公式法；直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2倒序相加法；如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的3错位相减法；如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法4裂项相消法；(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)裂项时常用的三种变形：；.5分组求和法；一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减6并项求和法；一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1必会结论；常用求和公式前n个正整数之和12n前n个正奇数之和135(2n1)n2前n个正整数的平方和1222n2前n个正整数的立方和1323n322.必知联系；(1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论(2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项考点分项突破考点一：分组转化法求和1已知数列an的前n项是321,641,981,12161，3n2n1，则其前n项和Sn_.【解析】由题意知an3n2n1，Sna1a2an31211322213n2n13(123n)21222nn3n2n12.【答案】(3n2n)2n122(2015福建高考)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值【解】(1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101. 归纳：分组转化法求和的常见类型1若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和2通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论考点二: 裂项相消法求和(1)(2015江苏高考)设数列满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_(2)(2015全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.求an的通项公式；设bn，求数列bn的前n项和【解析】(1)由题意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)当n1时也满足此式，an(nN*)2.S1022.【答案】(2)由a2an4Sn3，(*)可知a2an14Sn13.(*)(*)(*)，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.跟踪训练： 1若已知数列的前四项是，则数列的前n项和为_【解析】由前四项知数列an的通项公式为an，由知，Sna1a2a3an1an.【答案】2(2014大纲全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由a110，a2为整数，知等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0.解得d.因此d3.数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.归纳：常见的裂项方法(其中n为正整数)数列裂项方法(k为非零常数)()(a0，a1)logaloga(n1)logan 考点三: 错位相减法求和1.(2015山东高考)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.【解】(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13.当n2时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n2时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n2时，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn.经检验，n1时也适合综上可得Tn.跟踪训练：1.已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【解】(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，将上式两边同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，则Sn123n.所以Sn归纳： 1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形2在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式3在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解规范解答：错位相减法求数列的和1.(12分)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.【规范解答】(1)当nkN*时，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故k216，k4.当n1时，a1S14，3分当n2时，anSnSn1n.6分当n1时，上式也成立，综上，ann.(2)因为，所以Tn1，7分所以2Tn22，得：2TnTn2144.11分故Tn4.12分【解题程序】第一步：利用Sn的最大值为8，结合kN*求出k的值；第二步：利用an，Sn的关系求出an；第三步：化简数列；第四步：利用错位相减法求Tn；第五步：化简整理得出答案【智慧心语】易错提示：(1)利用Sn求an时不要忽视n1的情况.,(2)错位相减时不要漏项或算错项数.防范措施：(1)利用Sn求an时，anSnSn1成立的条件是n2，解题时要明确.2)根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和Sn，求出an后再根据的结构特征确定利用错位相减法求Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案.3)Tn的结果要尽量简单，可以通过n1，2时的特殊情况对结论进行验证.。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对