用二分法求方程的近似解

3 1 2用二分法求方程的近似解 目标要求1 能够借助计算器用二分法求方程的近似解 了解二分法是求方程近似解的常用方法 2 理解二分法的步骤与思想 热点提示1 判断函数零点所在的区间 2 求方程根的个数 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法 想一想 能否用二分法求任何函数 图象是连续的 的近似零点 提示 不能 看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的 且在该零点左右函数值异号 2 二分法的步骤给定精确度 用二分法求f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 想一想 函数f x lnx 2x 6在区间 2 3 内有零点 且f 2 0 用二分法求函数的零点 下一步应找的区间是哪个区间 提示 取区间 2 3 的中点2 5 用计算器算得f 2 5 0 084 0 因为f 2 5 f 3 0 所以零点在区间 2 5 3 内 1 下面关于二分法的叙述 正确的是 A 用二分法可求所有函数零点的近似值B 用二分法求方程的近似解时 可以精确到小数点后的任一位C 二分法无规律可循 无法在计算机上完成D 只有求函数零点时才用二分法答案 B 2 设f x 3x 2x 8 用二分法求方程3x 2x 8 0在x 1 2 内近似解的过程中得f 1 0 f 1 25 0 f 1 25 0 方程根在区间 1 25 1 5 内 答案 A 3 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点x0 2 5 那么下一个有根区间是 解析 设f x x3 2x 5 f 2 0 f 2 5 0即f 2 f 2 5 0 所以下一个区间是 2 2 5 答案 2 2 5 4 已知函数g x 的图象是连续不断的 x g x 的对应值表如下 函数g x 在哪个区间内有零点 为什么 解 g 1 20 g 1 g 2 0 g x 在区间 1 2 内有零点 类型一二分法的概念 例1 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 思路分析 由题目可获取以下主要信息 题中给出了函数的图象 二分法的概念 解答本题可结合二分法的概念 判断是否具备使用二分法的条件 解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号 在B中 不满足f a f b 0 不能用二分法求零点 由于A C D中零点两侧函数值异号 故可采用二分法求零点 答案 B 温馨提示 1 准确理解 二分法 的含义 二分就是平均分成两部分 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二 逐步逼近零点的方法 找到零点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 2 二分法 与判定函数零点的定义密切相关 只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用 二分法 求函数零点 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 1下列函数中能用二分法求零点的是 解析 在A中 函数无零点 在B和D中 函数有零点 但它们均是不变号零点 因此它们都不能用二分法求零点 而在C中 函数图象是连续不断的 且图象与x轴有交点 并且其零点为变号零点 所以C中的函数能用二分法求其零点 故选C 答案 C 类型二用二分法求零点的近似解 例2 利用计算器求方程lgx 3 x的近似解 精确度0 1 思路分析 首先确定lgx 3 x的根的大致区间 由于y lgx y 3 x的图象可以作出 由图象确定根的大致区间再用二分法求解 解 作出y lgx y 3 x的图象 下图 可以发现 方程lgx 3 x有唯一解 记为x0 并且解在区间 2 3 内 设f x lgx x 3 用计算器计算 得f 2 0 x0 2 3 f 2 5 0 x0 2 5 3 f 2 5 0 x0 2 5 2 75 f 2 5 0 x0 2 5 2 625 f 2 5625 0 x0 2 5625 2 625 2 625 2 5625 0 0625 0 1 原方程的近似解为2 5625 温馨提示 1 若方程的根可以转化为常用函数图象交点的横坐标 也可以通过常用函数图象的交点 确定原方程所在的大致区间 再用二分法求解 2 求方程的近似解即求函数的零点的近似值 用二分法求解时要注意给定函数的符号 二分法求解的条件及要求的精确度 用二分法求方程的近似解 首先要选好计算的初始区间 这个区间既要包含所求的根 又要使其长度尽量小 其次要依据给定的精确度 及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到要求 达到给定的精确度 以决定是停止计算还是继续计算 2求方程2x3 3x 3 0的一个近似解 精确度0 1 解 设f x 2x3 3x 3 经计算f 0 f 1 0 f x 在 0 1 内存在零点 即方程2x3 3x 3 0在 0 1 内有解 列表如下 类型三二分法的实际应用 例3 中央电视台有一档娱乐节目 幸运52 主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会 如果猜中 就把物品奖励给选手 同时获得一枚商标 某次猜一种品牌的手机 手机价格在500 1000元之间 选手开始报价 1000元 主持人回答 高了 紧接着报价900元 高了 700元 低了 800元 低了 880元 高了 850元 低了 851元 恭喜你 你猜中了 表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分 实际中 游戏报价过程体现了 逼近 的数学思想 你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗 思路分析 从游戏中可以发现选手的报价往往是从高于真实价或者低于真实价 从两边向真实价靠拢的 而手机的价格范围是确定的 且报数是整数 所以可用数学中的 逼近思想 的特例二分法来设计猜价方案 解 取价格区间 500 1000 的中点750 如果主持人说低了 就再取 750 1000 的中点875 否则取另一个区间 500 750 的中点 若遇到小数取整数 照这样的方案 游戏过程猜测价如下 750 875 812 843 859 851 经过6次可猜中价格 1 本题是二分法的应用 二分法不仅可用于查找电线 水管 气管故障 还能用于实验设计 资料查询 也是求根的常用方法 2 此方案应该说方便 迅速 准确 而且很科学 在实际生活中处处有数学 碰到问题多用数学方法去思考 会使我们变得更聪明 更具有数学素养 3在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 如果沿线路一小段一小段查找 困难很多 每查一个点要爬一次电线杆子 10km 大约有200多根电线杆子呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 解 如下图所示 他首先从中点C查 用随身带的话机向两端测试时 发现AC段正常 判定故障在BC段 再到BC段中点D查 这次发现BD段正常 可见故障在CD段 再到CD中点E来查 每查一次 可以把待查的线路长度缩减一半 算一算 要把故障可能发生的范围缩小到50 100m左右 即一两根电线杆附近 要查多少次 据初中所学知识可知只要7次就够了 1 二分法的基本思想是将含零点的区间一分为二 然后逐步逼近零点 由于使用二分法的依据是勘根定理 因此并不是所有的零点都能用二分法求解 那么怎样的零点才能用二分法求出其近似解呢 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合 对函数的不变