第一章利息的基本概念

1 第一章 利息的基本概念 2 利息及其度量 实际利率与实际贴现率 名义利率与名义贴现率 利息力 利息的基本概念 利息问题求解 第一章 3 一 利息的定义 定义利息 Interest 产生在资金的所有者和使用者不统一的场合 它的实质是资金的使用者 Borrower 付给资金所有者 Lender 的租金 用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失 影响利息大小的三要素本金 Principal 积累值 AccumulatedValue 利率 TheRateofInterest 时期长度累积方式 4 二 利息的度量函数 总额函数累积函数贴现函数第n期利息第n期利息率 K 1 1 5 二 利息的度量函数 总额函数例如 如果某年用于投资的本金为10000元 经过两年后增值为12000元 则 分别为多少 累积函数累积函数是单位本金经过t时期后的增值额函数 因此 累积函数可以是增函数也可以是减函数 称为贴现函数 贴现是累积的逆运算 6 课堂思考 已知累积函数 其中和为常数 如果在时刻0投资100元 到时刻3可以积累到181 那么 如果在时刻5投资200元 到时刻10的积累值是多少 A 600B 615C 650 7 答案 B提示 8 二 利息的度量函数 利息率利息率 或利率 是衡量资金生息水平的指标 它表示单位本金在单位时间内所滋生的利息 例如 如果某年用于投资的本金为10000元 经过一年后增值为11000元 求利息率 如果利息计算时期与基本时间单位相同 此时的利率就是实际利率 两 9 三 利息的累积方式 线形积累单利 SimpleInterest 仅在本金上生息 指数积累复利 CompoundInterest 在本金加利息上计息 10 单 复利场合累积函数示图 11 单复利计息之间的相关关系 单利的实际利率逐期递减 复利的实际利率保持恒定 时 相同单复利场合 单利计息比复利计息产生更大的积累值 所以短期业务一般单利计息 时 相同单复利场合 复利计息比单利计息产生更大的积累值 所以长期业务一般复利计息 12 例1 1 某人以1万元本金进行5年投资 前2年的利率为5 后3年的利率为6 分别以单利和复利计算5年后的累计积累值 13 例1 1答案 14 利息及其度量 实际利率与实际贴现率 名义利率与名义贴现率 利息力 利息的基本概念 利息问题求解 第一章 15 一 定义式 期末计息 利率第n期实际利率期初计息 贴现率第n期实际贴现率 16 二 现值和累积值 1 现值累积值 图1现值和累积值 t0t 现值累积值 17 常数复利下 图2复利下的现值和累积值 1 n 101 n 1 0 n 1n 18 三 贴现的概念 1单位元时期为1年在复利下的现值通常同表示 称为贴现因子 如果将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付 则支付额中应扣除一部分金额 这个扣除额称为贴现额 贴息 012n 1n 1 图3复利下资金贴现过程 19 例如 1000元本金经过1年投资成为1100元 理解利息和贴息 思考 贴息和利息的区别 利息是在本金基础上的增加额 贴息是在累积额基础上的减少额 问 若在复利假设下实际利率为常数 则实际贴现率是否也是常数 20 四 贴现率 贴现率是单位货币在单位时间内的贴息 单位时间以年度衡量时 称为年实际贴现率 表示第n年的贴现率 当常数复利时 可见 计算上例中利率和贴现率分别为多少 21 利率与贴现率的本质差别在于 利息按期初金额计算而在期末支付 贴息按期末金额计算而在期初支付 在实务中 如果可以利用实际利率和实际贴现率来同时度量某一投资过程 则它们反映同一个问题的两个不同的侧面 实际利率用来度量借款人到期偿还利息额的大小 而实际贴现率用来度量借款人为了到期清偿本金 而在借款之初支付的利息 五 利率与贴现率的关系 22 五 利率与贴现率的关系 23 例1 2 某人投资1万元 如果以5 的利率复利计息 那么此人利息获取的方式是怎样的 两年后一共获得多少利息 如果该投资项目是以5 的复贴现率计息 那么此人利息获取的方式是怎样的 两年后一共获得多少贴息 24 例1 2答案 25 在现实的金融市场中 人们常常将各种收益率称为利息率 但它们的含义会有所不同 以美国市场为例 在短期债券中以美国财政部 UnitedStatesTreasury 发行的短期国券库 T bills TreasuryBill 为主 期限通常为三个月 13周 六个月 26周 和十二个月 52周 三月期和六月期的每星期一发行 十二月期的每月第四个星期发行 它们的利息通常是用贴现率表示的 补充知识 与利率有关的金融现象 26 例如 面额为100元的三月期国库券发行时卖96元 或公布贴现率为16 而实际的年利率为17 74 长期的国库券发行时则是依年利率表示它们的利息收入 因此 这两者的表面的利率是不能直接比较的 必须统一为同一度量 补充知识 与利率有关的金融现象 27 课堂练习 如何用贴现率比较收益 现有面额为100元的债券在到期前一年的时刻价格为95元 同时 短期一年储蓄利率为5 25 如何进行投资选择 28 从贴现的角度看 债券的贴现率储蓄的贴现率从年利率的角度看 债券或若则 所以而储蓄利率 总之债券投资略优于储蓄 29 利息及其度量 实际利率与实际贴现率 名义利率与名义贴现率 利息力 利息的基本概念 利息问题求解 第一章 30 名义利率 是指每个计息期间计息一次 而在每个计息期间的实质利率为 于是名义利率与等价的实质利率之间的关系为 1 1 一 名义利率 NominalRateofInterest 31 如 或 季度换算名义利率4 都表示每个季度换算一次利息 且每个季度的实质利率为1 关系式也可表示为或 一 名义利率 NominalRateofInterest 32 例如 计算6 年实质利率一年不同结算次数的名义利率 是的递减函数 1234612 0 060000 059130 058840 058700 058550 058410 05827 一 名义利率 NominalRateofInterest 33 二 名义贴现率 NominalRateofDiscount 名义贴现率 是指每个计息期间计息一次 而在每个计息期间的实质贴现率为 于是名义贴现率与等价的实质贴现率之间的关系为 1 1 34 关系式 也可表示为 或 二 名义贴现率 NominalRateofDiscount 35 例如 计算6 年实质利率一年不同结算次数的名义贴现率 是的递增函数 1234612 0 056600 057430 057710 057850 057990 058130 05827 二 名义贴现率 NominalRateofDiscount 36 例1 3 1 确定500元以季度转换8 年利率投资5年的积累值 2 如以6 年利 按半年为期预付及转换 到第6年末支付1000元 求其现时值 3 确定季度转换的名义利率 使其等于月度转换6 名义贴现率 37 例1 3答案 1 2 3 38 一般说 银行的公布利率都是有着指定含义的 例如 一年定期存单为利率7 91 收益率8 15 7 91 rate 8 15 yield 或 资金拆借市场为利率8 00 收益率8 30 它的实际含义是 前面的数字是名义利率 后面的数字是实际利率 在第一种情况下 意味着 在第二种情况下 意味着 补充知识 银行的挂牌利率 或 或 39 在实际计算中 银行在计算利息的天数时常用一些灵活的算法 例如 银行公布 日换算挂牌利率为6 收益率为6 27 但实际上 银行的数字是由下面的方法得到的 补充知识 计息天数 40 课堂练习 现有以下两种5年期的投资选择 A 利率7 每半年计息一次 B 利率7 05 每年计息一次 比较两种选择的收益 假定一笔资金头3年以半年度转换6 利率计息 随之2年以季度转换8 贴现率计息 若5年后积累值为1000元 问这笔资金初始投资额应该为多少 41 方法一 比较等价的年实质利率 于是 应选择A 方法二 比较实际收益 应选择A 课堂练习1答案 42 由题意知所以解得 课堂练习2答案 43 利息及其度量 实际利率与实际贴现率 名义利率与名义贴现率 利息力 利息的基本概念 利息问题求解 第一章 44 一 利息力 ForceofInterest 定义 定义1 利息力表示瞬间时刻利率强度 即定义2 利息力表示对名义利率 当结算次数趋于无穷大时确切时点上的利率水平 即 45 二 重要的等价公式 由定义1可得一般公式特别地 在恒定利息力场合or常数利息力常数复利 46 课堂练习 在恒定利息力场合 证明定义1与定义2等价 47 定义1 定义2 定义2 定义1 课堂练习答案 48 三 贴现力 与利息力对应 贴现力是名义贴现率当结算次数趋于无穷大时的值 提示 49 例1 4 确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1 2 50 例1 4答案 51 利息及其度量 实际利率与实际贴现率 名义利率与名义贴现率 利息力 利息的基本概念 利息问题求解 第一章 52 一 利息问题求解四要素 原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初 期末计息 利率 贴现率积累方式 单利计息 复利计息利息转换时期 实质利率 名义利率 利息效力本金在投资期末的积累值 53 二 利息问题求解原则 本质 任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具 现金流图方法 建立现金流分析方程 求值方程 原则 在任意时间参照点 求值方程等号两边现时值相等 54 例1 5 求本金 某人为了能在第7年末得到1万元款项 他愿意在第一年末付出1千元 第3年末付出4千元 第8年末付出x元 如果以6 的年利率复利计息 问x 55 例1 5答案 以第7年末为时间参照点 有以第8年末为时间参照点 有请同学们自己练习以其他时刻为时间参照点 56 例1 6 求利率 某人现在投资4000元 3年后积累到5700元 问季度计息的名义利率等于多少 某人现在投资3000元 2年后再投资6000元 这两笔钱在4年末积累到15000元 问实际利率 57 例1 6答案 58 介绍一 利率的线性插值叠代近似算法 如 现在投入1000元 三年底投入2000元 在第十年底的全部收入为5000元 计算半年转换名义利率 令为半年实质利率 价值方程为 这时必须考虑近似解 定义 问题转变为求满足 59 60 例1 7 求时间 假定分别为12 6 2 计算在这三种不同的利率场合复利计息 本金翻倍分别需要几年 61 例1 7答案 62 介绍二 例1 7近似答案 ruleof72 原理 5 8 11 6 34 7 63 例1 8 求积累值 某人以每半年结算一次的年利率6 借款5万元 两年后他还了3万元 又过了3年再还了2万元 求7年后的欠款额为多少 某人现在投资1000元 第3年末再投资2000元 第5年末再投资2000元 其中前4年以半年度转换名义利率5 复利计息 后三年以恒定利息力3 计息 问到第7年末此人可获得多少积累值 64 例1 8答案 65 课堂讨论 某银行推出2年期存单 年利率为9 存款者若提前