浅谈数形结合思想在数学解题中的应用.doc

浅谈数形结合思想在数学解题中的应用学生姓名：之花127 一、.原始时代,人们为了计数,也会用图形表示一定的事物；随着时代的进步,科技的进步,数学的发展也逐步上升了一个层次,随即也就产生了各种各样的学思.而我们可以形,它当中,尤其以中学表现更为明显.所谓数形结合,简单来说就是将来,既,也可以从一些图形中反映出数字之间的关系,这样可以使一些数学问题变得清晰,简明,很容易被掌握,起到了的作用.如今，数形想到,它可以、,使其变的让学生容易接受；同时它也渗透在大学的知识中,比如说数学分析中求、在中表示这些现. 二、数形结合的基本知识（一）1.数形结合整体理解.对于,每个人都非常清楚,它是的研究对象.,但这里地表示为函数、方程、不等式、数列等等.“形”则指的是各种图形,而这种图形不是随便产生的,它是由所对应的“数”得到的.这自然也就引出了“结合”的涵义,即把巧妙地.,可以 “数”.也就是是的. 家的 “数与形,； ；切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分离”1.从华结合的作用了.虽然人们广泛应用这一思想,但关于数形结合的定义,不同学术专家有着不同的解释,而对于学生来说,张同君.他认为 ：“量揭”2.简而言之 “数” “形”学问题. 2.数形结合的分类,：；结合.(1)以“形”辅“数”由于我们在做题过程中,不免会遇到一些比较抽象,难以下手的问题,光用眼睛观察似乎看不出什么,但这时如果我们能把对应的关系用直观、明了的图形,再、,.(2)以“数”释“形”、,但在表示不是那么明显了.尤其是遇到一些比较复杂的图形时,更需要,发,最终达.(3)“数”“形”结合数学中非常重视转换的思想,而“数”“形”结合正是体现了这一点.题, “”,思,.（二） “数”与“形”是数学研究最基本的两个方面.数的产生主要来源于古代的计数,是对特定具体事物的计数.而在产生数之后,用来表示这些数的主要工具就是各种图形.所以说,“数”产生于各种各样“形”的计数,而“数”又借助“形”来记录表示,这可以说是数形结合思想最原始的表现.发展到宋朝时,数学家们采用把化 法,用,系.在17,通过再一次,创立了,使、简洁.直到现在,数形结合思想仍运用于各个领域,就比如说在大学学习的高等代数和中,.：解决线是；在、极小值时,直接观察函数是很难算出来的,这时就要借助图像,在图像上就可以直观地看出在一个小范围内的最高点和最低点,这样就可以很容易地解决问题.从这些事例就可以看出,数形结合的思想从数的产生开始就被, 着,可见的.（三） 1.简洁性 遇到一些繁琐的问题时如果可以将其转换成图形,那么就可以直观地观察出想要的结果,接着再转化成代数的符号便可以轻松解决问题.2.突破性 在我们做方程求根的题目时,当求解,但遇到次数较高或者是指数形式时, 的时,.在,. 判断方程根的个数例 1 的 .图1xyO-4-3-2-11234-4-3-2-11234分析：因为题目中出现了指数形式,若要通过方程的思想直接求解来确定根的个数显然会变得非常复杂,甚至很难求出.对于此题,只要求求出根的个数,显然没必要得出根的具体值,所以我们可以突破方程的思想用图形来思考.即把的,即是,.,于,.这样就地 三、 在代数中,数形结合思想在很多方面得到体现.比如说在解决一些复数、函数、 ,、.1.解决复数问题应平面上的一个点；另一个是每一个复数都对应于平面上从原点出发的一个向量.从这些含义我们可以清晰看出要理解一个复数,从解析几何的角度来看最为清晰,这一点也正 . 最大值、最小值例 2 已知,求的 .分析：求其是不可能的,这时不防利用含义来分析.由可以看出,是以点为圆心,1为,而.,为；,为.的,. -33图3xyO1-1图2xyO-1123-11-222-2 取值范围例 3 已知,求的 .分析：，. ,为,、.从（图3）,为,长为；, 的为.2解决集合运算问题 取值范围例4, .分析：若要利用代数的方法,即没有解,化简后为且需满足,这样便可解出的范围.但通过这种方法计算量比较大,很容易出错,往往是事倍功半.而通过数形结合的方法会显得容易很多.我们可以在同一直角坐标系下画出两个函数的图像,而交集为空集表示的就是两个函数没有公共交点,从而通过移动函数 . 或.-22-2图4xyO例 5 , ,求, 所.分析：首先,得：图5, , 5需或,：,即所. ,可以说解决任何一个函,这样,将问题简单化.比如说判断一些函数的奇偶性,如果用代数方法还得计算,而我们画出函数,；同样时,只要是否为周期函数,其周期是多少；在求函数最值问题时,若用代数方法就得通过各种变形来判断在何处取最值,而如果我们采用数形结合的思想,将其转换为图像,便,从而也就求出了与最小值. 例6 , .分析：要求的,不妨为,同理设与的为,由题目知,集合 、满足.的,解决问题再合适不过了.我们可以,由 、取其便可（图6）. 解: 的 , , ,图60又,由题意及图6可知：将题中的大小关系用数轴表示很直观,很容易就找出交集,而如果直接比较、的大小,由于关系比较多,很容易求错交集,可见数形结合的重要性.例 7 的.解：令（）, ；再：当时,即的值域为xyO-10-8-6-4-2246810-4-224图8图7xyO-4-3-2-112345678-2-1123456789101112遇到复合函数时第一步应该将其分解（对于此题是两个函数的复合,所以将其分）,第二步要,观察与外函数的定义域,求其交集.第三步根据外函数的图像看出在交集范围内的函数取值即为复合函数的值域.在这中间,二、三步都用到了数形结合的思想,比如说求的值域时,用代数的方法则要判断当取何值时函数值最大,这样就需要取不同的值来说明,既麻烦错误率又高,而直,.例8 , , .分析：看题目并不能确定函数,显然很难判断的解集,这时不妨想到数形结合思想,利用图像来解决.首先根据条件虽不能得到具体的函数,但却可以从图像看出,再, 合.解：在内且又是偶函数,这时可得到在区间的大致图像为图10；要使,就需,同号,通过图像可看出的解集为图9图10，数单调性） 例 9 判断在.分析：,得到，数单调性） 这时要判断的单调性,就需要任意取,判断与的大小,但这项工作显然很复杂,所以要结合图形来判断,只要画出在上的图形,便可判断函数单调性.解：化简 得： ；画出函数图像为图11；从图像可以看出极值点有,所以将图形分为四部分,即得到了四个单调区间：,；.从这道题可以看出借助图形解决问题要比单纯用代数知识解题容易、直观得多.图11xyO-4-3-2-11234-2-1123456图12xyO-2-112-3-2-1123例 10 ,：,这类的值域；,然后；给出的若是 ,则会；但无论用什么方法都需要结合图形来观察,若只用代数方法既抽象,激发不了学生学习知识的渴望,又不一定能正确解出问题,而通过图形又直观又能保证,起到.求函数的最小值. 分析：这道题看起来是在解决一个根式的最值问题,用代数的方法显然无从下手,但可以稍变形式转换成一个求距离和的问题,接着利用数形结合的思想,通过图形观察在何处取值距离最小. 解：,为；同理可看做点到点；所以：的是动点 的.,.本题巧妙地将一个纯代数问题利用数形结合的思想转换成图形来解决,简单易懂.例 11 ,.分析：虽然是一个代数式,但平方和的形式会让我们想到圆的表达式；看到求,首先就想到了斜率的表达式,这样自然就将代数问题转换成了几何问题.解：设是圆上的；则表示直线的斜率；图13只有当为切线时,取到；所以：即：xyO12图14xyO3图13；函系.的：“”面，解”方面容.这生、.例 12 , ,程.分析：用代数的方法解,经过联立后得,然后解方程,可是对于此方程有四个参数,的,的.这时就需要用到了：的两个.如图14, 所以就是.这道题说明了代数方法有时解不出的题可用图形方法来解,更说明了数形结合思想的妙用.例 13 , .分析：, ,比较复杂.但利用图形却很简单.如图15 ,我们,以为,在（轴）表；不, .解.图16xyO-4-3-2-11234-4-3-2-11234图155.解决数列问题中学生接触的有两种：、.现设为,为,公比为,则为,我们可以把是关于变量的一个离散的一次函数；同理等比数列通项公式为,这时可看做是关于变量的一个离散的指数函数.变成函数之后,便可以利用函数图形解决一些数列问题了.例 14 ,.分析： .是直线上均匀排开的一列单点,所以看出点,（这里表示的值）三点共 .此题根据等差数列的一些性质是可以做出来,但运算过程还是比较繁琐；但通过转换成一次函数,找坐标系中对应的点,再根据直线的性质来做却显得很直解析几何本来就与图形密不可分,通过几何图形和题目中的数字,从而在图形中找到一定的等量关系.如果说数形结合思想思想在代数中的应用理解为以“数”释“形”,那么在几何中的应用就理解为以“形”辅“数”.1.解决圆、椭圆的问题,些.例 15 ,圆线,求.分析：已知直线和圆的,就可以在下表示出它们的,如图17,题中要求由直, 点为,连接,这样便得到了一个直角三角形,接着就可以把问题放到直角度度,要使,则必然,则是,段 解：, 点 作 .由题可知：, 为直角三角形本题直接求切线的长度显然有点困难,因为不好判断何时取最短,但利用切线的性质以及数形结合的思想,构造直角三角形,从而判断切线的最短,这样很直观,缩短了解题时间.图18xyO11图17xyO-2-11234-3-2-1123例 16 已知,的记为 解：, 焦点,右焦点 这时可由椭圆的定义得： 18 观察图形可以发现,当点在的延长线与椭圆的交点时,取最大 .的为,的为.本题两次用到数形结合思想,一是在求不等式时借助了三角形的性质；二是在的.,通思想了.2.解决向量问题 例 17 ,与. 分析：看到向量问题时首先将已知条件用图形来表示,如图19： 不妨设,这时,等价转化为,现在就要求在任何情况下都有,那么通过图形观察只能是,即,也即本题当然也去求位置关系,但不如利用来得直观.图20xyO图19形.例 18 证明不等式分析：将所证不等式稍做变形为,进一步变为,这时不等式左边可理解为一到平面（平面过点）,右端可以理解为到的,这样就把证不等式转换成比较两距离的长短.证明：）；点到平面的距离：；点到点的距离：； ；整理便得：,从而.此题将的问题,接着又利 ,题.例 19 点到,并另一个人,过时即可离去.求两人能会面的概率3.分析：此题是一个典型地通过图形来解决,用和两人（以min为单位）,在 （见图21）,至率 其为, ：,积为,所以,这就说明两人见面的机会不到.xyO-22-13-45142332415059-22-13-45142332415059686060图21解决此类问题,但,把题意巧妙地转换成图形就变得很直观,从而简单准确地求出概率.（四）在,也会,说在公路旁建中转站,怎样建才能使它到公路同侧的两个工厂距离和最短；还有在解决一.例 20（俄国历史名题）,.上午,到.另一半人到,未再用.问？分析：可设为,则为,如图.由题已知在第一天,则说明上是下午的二倍,那么上午锄了,下午锄了,那么对于小块草地,第一天也锄了,剩下（如图22）,已知剩下的由一个农夫用了一天的时间完成.所以在一天当中一个农夫完成,而第一天所有农夫完成了,所以农夫的总数为（人）.大块小块图22四、每一种它应用的方便性,有它一定的,往往了这个范围就会出错,所以数形结合思想也有它的局限性,也可以说是做题中存在的误区.1. .形成了一种定向思维,有时不但解决不了问题还会束缚思维的扩散；2.由于作；例 21 求方程的根的个数错解：看到,会联想到用,即和的图像,然后数交点的个数就行.如图2