待定系数法在解题中的应用.doc

安徽科技学院学士学位论文本科生毕业论文（设计）题 目: 待定系数法在解题中的应用 姓 名: 吴健 学 院: 理学院 专 业: 信息与计算科学 班 级: 2006级1班 学 号: 2006844126 指导教师: 姜玉明 职称: 讲师 2010 年 5月 18日安徽科技学院教务处制11摘 要待定系数法是一种被广泛运用的解题方法，不仅在数学领域，在其他领域也有广泛的运用.更多的时候它被运用于无形当中.本文通过对初等数学中解方程、解线性规划、分解因式、解数列问题和运用Matlab中运用待定系数法的研究，可以让大家更加清楚待定系数法不仅仅在一个领域中有应用，从而让大家在解数学问题的时候能更容易的想起用待定系数法来解决数学问题.达到推广待定系数法的目的.关键词：待定系数法；方程；线性规划；分解因式；数列AbstractUndetermined coefficient method is a widely used method of solving problems, not only in mathematics, in other areas were also widely used. More often it is applied may not intangibles. Based on the equations for elementary mathematics,linear programming,decomposition due to style,the utmost in the following questions and use Matlab using the undetermined coefficient method int the study,we can more clearly undetermined coefficient method not only has application in a field, so that people in solving mathematical problems can be more easliy to undetermined coefficient to solve mathematical problems. Then we can achievethe purpose of promotion the undetermined coefficient method .Keywords ：undetermined coefficient method; equations; linear programming;factored; series目录第一章 绪论11.1 研究的目的和意义11.2国内外研究状况和应用背景11.3待定系数法的原理11.4文章结构安排1第二章 待定系数法在初等数学问题上的应用22.1待定系数法在分解因式中的应用22.2待定系数法在求解方程中的应用22.3待定系数法在求解圆的方程中的应用32.4待定系数法在数列问题中的应用42.5待定系数法在线性规划中的应用5第三章 待定系数法在Matlab中的应用6第四章 总结10参考文献11致 谢12第一章 绪论1.1 研究的目的和意义数学中很多问题直接解会很麻烦.对很多数学问题来说，一般假如已知要求的结果是一种确定的形式，就能引进一些未确定的系数用来表示这种结果，通过已知条件来用各种方法得到一些方程或方程组，解它们就得到了要求的结果即求出了待定系数.待定系数法广泛应用于高等代数，解数列问题等.1.2国内外研究状况和应用背景待定系数法理论还不是很完善，而在实际生活中许多的数学问题都是可以用它解决的，数学工作者对待定系数法的研究仍在继续着.在初中和高中，待定系数法的运用是非常普遍的.文献1介绍了待定系数法的经典四例，文献2介绍了待定系数法在求通项公式的作用，文献3讲了待定系数法在求线性规划时的作用，文献4到文献10都是近年来学术界研究待定系数法的成果.待定系数法不仅在数学方面有着广泛的运用，在其他的领域也有着同样的地位. 1.3待定系数法的原理待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法.其实质是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为两个多项式恒等或方程组的条件来解决的方法，体现的是“恒等变形”和“形变而值不变”的解题功能.1.4文章结构安排论文分为三章，第一章是绪论，介绍了待定系数法的研究的目的、意义、国内外的应用背景和待定系数法的原理.第二章是介绍了待定系数法在数学问题中的应用，举了一些例子.第三章是介绍待定系数法在数学软件中的应用，本节介绍的是待定系数法在Matlab中的应用.第二章 待定系数法在初等数学问题上的应用待定系数法是一种重要的数学方法，在中学数学里已多次使用.因此它是一种大家都很熟悉的方法.初等数学中，有许多问题可以用待定系数法解决.2.1待定系数法在分解因式中的应用点评：先把多项式分解成系数待定的几个因式的积，根据因式分解与整式乘法的互逆性，把几个因式相乘，令所得多项式与已知多项式恒等.2.2待定系数法在求解方程中的应用点评：本题中的解题方法很一般，但它确实在这种方法中应用了待定系数法，他把，都当成了已知的数，然后再利用题目中的条件求出了，的值，使问题得解.点评：本题主要是利用根与系数的关系及所给的已知条件构造关于待定系数的方程，从而求出的值.在解有关一元二次方程含有待定系数的题时，要特别注意二次项系数不为零，可用根的判别式的非负性来确定待定系数的值.2.3待定系数法在求解圆的方程中的应用点评：这个题目中设圆的圆心为（，），则通过已知条件就能知，则通过解方程就能求出圆的半径.2.4待定系数法在数列问题中的应用有些数列问题，通过研究问题中某些尚待确定的字母系数，或者自行引入一些字母系数，转化命题结构，经过变形与比较，建立起含有待定系数的方程组，求出这些字母系数的值，进而使问题获解.点评：本题中从题目中可以看出为等比数列，利用条件求出了的值.即用待定系数法的方法求出了方程的解.例6 点评：本题中设公差为和利用常数来计算都是利用待定系数法，再通过条件来求出方程的解.2.5待定系数法在线性规划中的应用待定系数法在解线性规划中也有应用,一些线性规划可以很简单的用待定系数法解决.多少？点评：本题通过待定系数法设，为已知数来计算，则求出了题中的解.点评：这题设，为已知数，求出了方程的解.也是利用了待定系数法.第三章 待定系数法在Matlab中的应用Matlab的运用中经常用到待定系数法.例：在图1中的加法算法中，每个表示一个非零数字都不相同，问有多少个解？图1这题先用逻辑解法解，再用Matlab解.逻辑解法：为简洁起见，将此式记作a+bc+def=ghi其中ai代表19这九个互不相同的非零数字.据九余数性质 三个“加数”中的6个数字之和被9除的余数应等于“和数”中的三个数字之和被9除的余数.又这三个“加数”与“和数”中共九个数字正好是19，它们的和为45，被9除的余数是0，易见“和数”的三个数字之和被9除的余数必定为0，即和数是9的倍数.而根据题意g+h+i=9或g+h+i=18，同时g不等于1，否则d=1.，另外gd,从而g=d+1.由于10g1,以下按g=9,8,7,6,5,4,3,2的顺序讨论：(1)g=9，d=8，则h+i=9.ai互不相同，g,h,i的可能的取值见表1：表1g999999h765432i234567解例解个数000000(2)g=8,d=7,则h+i=1（不可能，舍去）或h+i=10.ai互不相同，g,h,i的可能的值见表2表2g8888h9641i1469解例1+52+793=8462+63+754=819解个数00112112对这些式子有序的交换三个加数的个数，两个加数的十位数，可得到每个类型的12个不同的式子，有212=24个解.类似的有如下过程：(3)g=7,d=6,则h+i=2（不可能，舍去），或h+i=11.有24个解，解例见表3;表3g7777h9832i2389解例1+42+695=7381+43+685=29解个数00112112(4)g=6,d=5则h+i=3或h+i=12.有112=12个解.解例见表4;表4g666666h219843i123489解例4+38+579=531解个数11200000(5)g=5,d=4则h+i=4或h+i=13有解312=36个，解例见表5;表5g5555h3176i1367解例6+27+498=5316+28+479=5131+82+493=576解个数1121121120(6)g=4,d=3则h+i=5或h+i=14有212=24个解，解例见表6;表6g4444h9865i5689解例1+72+395=4681+72+386=459解个数00112112(7)g=3,d=2则h+i=6或h+i=14.有212=24个解.解例见表7;表7g333333h519876i156789解例4+69+278=3516+47+298=351解个数21200000(8)g=2,d=1,则h+i=7或h+i=16.有212=24个解，解例见表8;表8g2222h4397i4379解例6+58+179=2437+58+169=234解个数11211200所以本题有168个解下面用Matlab来求解输入：n=0;for a=1:9for b=1:9if(b=a),continue;endfor c=1:9if(c=a|c=b),continue;endfor d=1:9if(d=a|d=b|d=c),continue;endfor e=1:9if(e=a|e=b|e=c|e=d),continue;endfor f=1:9if(f=a|f=b|f=c|f=d|f=e),continue;endfor g=1:9if(g=a|g=b|g=c|g=d|g=e|g=f),continue;endfor h=1:9if(h=a|h=b|h=c|h=d|h=e|h=f|h=g),continue;endfor i=1:9if(i=a|i=b|i=c|i=d|i=e|i=f|i=g|i=h)continue;endif(a+b*10+c+d*100+e*10+f=g*100+h*10+i)n=n+1;fprintf(第%d个解:%d+%d*10+%d+%d*100+%d*10+%d=%d*100+%d*10+%d0n,n,a,b,c,d,e,f,g,h,i);end;end;end;end;end;end;end;end;end;end;运行结果是：第1个解:1+4*10+2+6*100+9*10+5=7*100+3*10+80第2个解:1+4*10+3+6*100+8*10+5=7*100+2*10+90第3个解:1+4*10+5+6*100+8*10+3=7*100+2*10+90第4个解:1+4*10+5+6*100+9*10+2=7*100+3*10+80第5个解:1+5*10+2+7*100+9*10+3=8*100+4*10+60第6个解:1+5*10+3+7*100+9*10+2=8*100+4*10+60第7个解:1+7*10+2+3*100+8*10+6=4*100+5*10+90第8个解:1+7*10+2+3*100+9*10+5=4*100+6*10+80第9个解:1+7*10+5+3*100+9*10+2=4*100+6*10+80第10个解:1+7*10+6+3*100+8*10+2=4*100+5*10+90第11个解:1+8*10+2+3*100+7*10+6=4*100+5*10+90第12个解:1+8*10+2+4*100+9*10+3=5*100+7*10+60第13个解:1+8*10+3+4*100+9*10+2=5*100+7*10+60第14个解:1+8*10+3+6*100+4*10+5=7*100+2*10+90第15个解:1+8*10+5+6*100+4*10+3=7*100+2*10+90第16个解:1+8*10+6+3*100+7*10+2=4*100+5*10+90第17个解:1+9*10+2+3*100+7*10+5=4*100+6*10+80第18个解:1+9*10+2+4*100+8*10+3=5*100+7*10+60第19个解:1+9*10+2+6*100+4*10+5=7*100+3*10+80第20个解:1+9*10+2+7*100+5*10+3=8*100+4*10+60第21个解:1+9*10+3+4*100+8*10+2=5*100+7*10+60第22个解:1+9*10+3+7*100+5*10+2=8*100+4*10+60共168个解这题MATLAB中设a,b,c,d,e,f,g,h,i是用的待定系数法.可见在数学软件中待定系数法是很常用的方法.第四章 总结本文介绍了待定系数法在解决初等数学问题中的应用，在因式分解、解方程、求线性规划、解数列问题和Matlab的运用中都能用到待定系数法，可见待定系数法在数学方面运用的十分广泛.但它不仅仅在数学上运用的广泛，在其它方面也有广泛的运用.希望通过这篇让大家在解初等数学的时候能更加自