立体几何的向量法打印

立体几何的向量法 基础知识总结和逻辑关系梳理一、基本概念1）空间向量的平行和垂直的条件：设，（）；2）两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：，二、基本应用位置向量：已知向量，在空间固定一个基点，再作向量，则点在空间的位置就被向量所唯一确定了这时，我们称这个向量为位置向量由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质1）给定一个定点和一个向量，为空间中任一确定的点，为直线上的点，则在为过点且平行于向量的直线上 这三个式子都称为直线的向量参数方程向量称为该直线的方向向量2）设直线和的方向向量分别为和，（或与重合）；若向量和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线的一个方向向量为，则或在内 存在两个实数，使3）如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的法向量设是空间任一点，为空间内任一非零向量，则满足的点表示过点且与向量垂直的平面，称为该平面的向量表示式4）设分别是平面的法向量，则或与重合；5）线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角6）二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱每个半平面叫做二面角的面棱为，两个面分别为的二面角，记作在二面角的棱上任取一点，在两半平面内分别作射线，则叫做二面角的平面角二面角的平面角的大小就称为二面角的大小我们约定二面角的范围为设，则角与二面角相等或互补 解题方法总结和题型归类一、空间向量求立体几何中的角和距离归纳总结：空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）转化为向量与向量的夹角问题；距离一般转化为点到平面的距离。一般有这样几个角度：1）求异面直线所成角：转化为求两条直线的方向向量的夹角。2）求线面角：转化为求线的方向向量BA与平面的法向量n的夹角， 3）求二面角：转化为求两个平面的法向量的夹角。4）求距离：一般转化为求点到平面的距离，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离 .【例1】如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，,（1）证明：平面平面（2）求直线与直线所成角的余弦值【答案】（1）略（2）【解析】(1)（）连接,设,连接,在菱形中，不妨设，由,可得.由平面，可知，又，.，在中，可得,故，在中，可得.在直角梯形中，由，可得，平面，平面，平面平面(), ,平面,面，平面平面（2）如图，以为坐标原点，分别以、的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（1）可得， 故.所以直线与所成的角的余弦值为.【例2】如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小是_【答案】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为2，则，,，,，,所以，即，异面直线与所成的角大小为.【点评】本题求异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是，所以要注意二者的区别与联系，应有.【例3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点已知，.求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小【答案】(1)；（2）【解析】（1）因为底面，所以,又,所以平面,从而.因为，所以三角形的面积为（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则,，,，设与的夹角为，则,由此可知，异面直线与所成的角的大小是解法二：取中点，连接、，则,从而（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由、，知是等腰直角三角形，所以，因此异面直线与所成的角的大小是.【点评】本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，求两条直线的方向向量的夹角，然后求解 【例4】如图，四棱柱中， 侧棱底面，为棱的中点 （1）证明：（2）求二面角的正弦值（3）设点在线段上， 且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(1)见详解.（2）（3）【解析】(1)证明：因为侧棱底面，平面，所以，经计算可得，从而，所以在中，又，平面中，所以平面，又平面，故.（2）过作于点，连接，由()可知，故平面，得，所以为二面角的平面角，在中，由，可得，在中，所以，即二面角的正弦值为.（3）连结,过点做于点，可得平面，连结，则为直线与平面所成的角.设，从而在中，有，在中，得，在中，由 ，得，整理得，解得，所以线段的长为.【点评】本小题主要考查空间线线、线面的位置关系，以及二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查考生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力【例5】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求与所成角的余弦值；(3)当平面与平面垂直时，求的长【答案】（1）略（2）与所成角的余弦值为（3）【解析】（1）证明：因为四边形是菱形.所以,又因为平面，所以,所以平面.（2）设，因为,所以，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，,，所以,，设与所成角为，则；（3）由（2）知,设，则，设平面的法向量，则，所以，令，则，所以，同理，平面的法向量，因为平面与平面，所以，即，解得，所以【点评】平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，第三问可利用待定系数法求出点坐标，进而求解.【例6】如图与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.求点到平面的距离.【解析】过点作的垂线交于点，过做于，连接，根据与都是边长为2的正三角形，平面平面，利用勾股定理，解得：，设点到平面的距离为，利用,则：，解得：. 【点评】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，注意公式的应用和计算的准确性.【例7】如图，四棱锥中，底面，为的中点，.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】(1)如图，连接交于点，平分，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，而，可得.又，可得，由于底面，可设为边的中点，由此可得，且，解之得（舍负）因此，可得的长为（2）由(1)知,，设平面的法向量为，平面的法向量为且,，取得，同理，由且,解出，向量、的夹角余弦值为因此，二面角的正弦值等于【点评】本题考查立体几何问题，意在考查考生空间想象能力和运算能力通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为.【例8】如图，直四棱柱中，为上一点，.（1）证明：平面；（2）求点 到平面的距离【答案】（1）略（2）【解析】过点作于点，则：，,在中，；在中，因此，中可得，可得，平面，平面，又、是平面内的相交直线，平面.（