第一部分-《静力学》训练题

高三物理竞赛练习 静 力 学（A）2010-08-11 学号 _ 姓名 _1、重量分别为P和Q的两个小环A和B ，都套在一个处在竖直平面内的、光滑的固定大环上。A、B用长为L的细线系住，然后挂在环的正上方的光滑钉子C上。试求系统静止平衡后AC部分线段的长度。2、质量为m的均匀细棒，A端用细线悬挂于定点，B端浸没在水中，静止平衡时，水中部分长度为全长的3/5 ，求此棒的密度和悬线的张力。3、长为1m的均匀直杆AB重10N ，用细绳AO、BO悬挂起来，绳与直杆的角度如图所示。为了使杆保持水平，另需在杆上挂一个重量为20N的砝码，试求这个砝码的悬挂点C应距杆的A端多远。4、半径为R的空心圆筒，内表光滑，盛有两个同样光滑的、半径为r的、重量为G的球，试求B与圆筒壁的作用力大小。5、为了将一个长为2m的储液箱中的水和水银分开，在箱内放置一块质量可不计的隔热板AB ，板在A处有铰链，求要使板AB和水平面夹53角，所需的的水银深度。已知水的深度为1m 、水和水银的密度分别为水 = 1.0103kg/m3和汞 = 13.57103kg/m3 。6、六个完全相同的刚性长条薄片依次架在一个水平碗上，一端搁在碗口，另一端架在另一个薄片的正中点。现将质量为m的质点置于A1A6的中点处，忽略各薄片的自重，试求A1B1薄片对A6B6的压力。静力学（A） 提示与答案：1、提示：本题应用共点力平衡知识，正确画出两个小环的受力，做出力的矢量三角形，利用力三角形和空间几何三角形相似求解。答案：L 。2、提示：本题利用力矩平衡知识求解，列方程注意转动点（或转动轴）应根据所求问题正确选取，另注意浮力的作用点在浸没段的中心点。答案：水 ；mg 。3、提示：本题利用刚体平衡条件求解，列出力的平衡方程和力矩平衡方程求解，列力矩平衡方程注意转动点（或转动轴）应根据所求问题正确选取。 答案：0.125m 。4、提示：隔离A较佳，右图中的受力三角形和（虚线）空间几何三角形相似。根据系统水平方向平衡关系可知，N即为题意所求。答案：G 。5、提示：液体的压力垂直容器壁，且作用点在深度的一半处。 答案：0.24m 。6、提示：设A1B1对A6B6的作用力为N ，则由A1B1对支点A2的平衡可得B1对碗口的作用力为N，由此类推，可得各薄片在碗口受的支持力可以推知如下图；但是，在求B6处的支持力N时，N32N ，而应隔离如右图 以m所放置的点为转轴，列力矩平衡方程，易得 N= 11N 答案：mg 。高三物理竞赛练习 静 力 学（B） 2010/8/11 学号 _ 姓名 _7、已知横杆长为L ，自重W0（均质），与墙壁的摩擦系数为，绳与杆夹角为。试求：（1）平衡时与应满足的条件；（2）在杆上找到这样一点P ，使PB区域内加载任意重量的重物，系统的平衡均不会被破坏。8、课桌面与水平面夹角= 40，桌面放一只六棱形铅笔，设铅笔相对课桌面不滑动，试求(1) 铅笔与课桌面之间的静摩擦因素至少为多大？(2)平衡时铅笔与水平方向所成的最小角度m？。9、不计摩擦，图示均质杆能平衡吗？若计摩擦，再回答前问题。不能平衡的请画出正确的平衡位置。10、质量为m ，自然长度为2a ，弹性系数为k的弹性圈，水平置于半径为R的固定刚性球上，不计摩擦。而且a = R/2 。（1）设平衡时圈长为2b ，且b = a ，试求k值；（2）若k = ，求弹性圈的平衡位置及长度。11、半径为r的薄壁圆柱烧杯，质量为m ，重心离杯底H 。将水慢慢注入烧杯，设水的密度为，试问：烧杯连同杯内水的共同重心最低时，水面离杯底多高？为什么？12、四个半径相同的均质球放在光滑的水平面上，堆成锥形，下面三个球用细绳捆住，绳子与这三个求的球心共面。已知各球均重P ，试求绳子的张力。静力学（B） 提示与答案：提示与答案7、提示：第（1）问甚简；第（2）问以“加载重物”W讨论临界条件（W未趋于时，A处摩擦角必小于最大摩擦角）。答案：（1） arctg；（2） = 。8、提示： (2)方法一：选取过O点的棱为转轴（如图1），当铅笔与水平方向所成的最小角度m，桌面对铅笔的弹力对该转轴的力矩为零，把重力分别沿垂直桌面和平行桌面分解为F1,F2，再对平行桌面分量F2沿垂直棱和平行棱分解为F3,F4；以过O点的棱为转轴，有MF2+ MF3=0。方法二：将铅笔用垂直“水平线”（原图中虚线）的平面去截，得图1阴影所示的截面，参见图2 ，有 tg= ，可解m 。此法甚简。O方法三：将铅笔看成在倾角为的“新斜面”上滚动（新斜面方向垂直铅笔的轴线），参见图3 ，显然有 sin= sincosm 。 但重力作用线与铅笔纵剖面夹角不再是30，而为。参见图3 ，引进铅笔轴线和和铅直线的夹角 ，可知cos= = tgmsin 又观4图，可得 sin= = 2sin 解式，最后成 sin2( 4cos2m + sin2m ) = 1 。此法太繁，不可取。答案：(1) m 46.5（2）tg。9、提示：略。答案：不能；不能。光滑时的情形如图5所示；有摩擦时位置不唯一。10、提示（1）参看图6 ，将圈分成n段，且令n ，每小段对应圆心角， 0 ，对于这一小段，受力 = 0 即 Gtg= 2Tsin 而 G = mg = mg 计算时应用极限 = 1（2）设长度2b，代入第（1）问的一般关系可得 b= R 答案：（1） ；（2）不能在球上平衡。11、提示：参看图7 ，令水深h ，杯子重心C1 ，水的重心C2 ，它们的共同重心C ，先据力矩平衡表达出x ，在表达出C的高度y y = ，变形后成r2h2 2r2yh + ( H y ) = 0这是一个关于h的一元二次方程，应用0求y的极小值（这个过程仍然比较繁复）答案：高度为 。12、提示：连接四球体的球心，得图8所示的正四面形（三维图），并可求得 tg= = 再参见图9（竖直平面图），可得上球对下球的压力的水平分量 N= ctg= P最后参见图10（水平平面图），有T = N 答案：P 。高二物理竞赛练习 静 力 学（C） 编题：范传东 学号 _ 姓名 _13、在竖直墙面上有两根相距为2a的水平木桩A和B ，另有一细木棒置于A之上、B之下，与竖直方向成角静止。棒与A、B的摩擦系数均为，现由于A、B的摩擦力恰好能使木棒不下坠，求此时棒的重心与A桩的距离。14、在均质木棒AB两端各系一根轻绳，A端的绳固定在天花板上，B端的绳用力F拉成水平，A端的绳、棒和水平方向的夹角分别为 、 。试证明：tg = 2tg 。15、半径为r的均质球，受重力为G，靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的摩擦系数均为。如果加一个竖直向下的力F ，试问：F到球心的水平距离S应为多大时，方能使球逆时针转动？16、如图所示，有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面上。开始时木板与墙面的夹角15，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r ，在木板外侧加一力F使其保持平衡。在木棍端面上画一竖直向上的箭头。已知木棍与墙面之间、木棍与木版之间的静摩擦系数分别为1 = 1.00, 2 0.577。若极缓慢地减小所加的力F，使角慢慢张开，木棍下落。问当夹角张到60时，木棍端面上的箭头指向什么方向？附三角函数表7.5153060sin0.1310.2590.5000.866cos0.9910.9660.8660.50017、质量为m 、长为l的均质细棒AB ，一端A置于粗糙地面，另一端B斜靠在粗糙的墙上。自A端向墙壁引垂线AO ，已知OAB = ，棒与墙面间的摩擦系数为，地面足够粗糙。试求：（1）棒不至于滑下时AOB平面与铅垂面间的最大夹角；（2）上问情况下墙对棒的支持力。18、截面为正方形的木棒水平地浮在水面上，为使木棒对垂直木棒的水平扰动呈稳定平衡，木棒的密度应为多大？静力学（C） 提示与答案：13、提示方法一：利用刚体平衡条件求解。列出力的平衡方程和力矩平衡方程求解，列力矩平衡方程时可分别选取A,B为转动点求解。方法二：利用“摩擦角”知识求解。“恰好”不下坠时， A、B两处均达到最大运动趋势，这时两处的全反力RA 、RB和重力G必共点，受力分析如右图（其中C为重心，m为最大摩擦角）对AOC ，有 = 对AOB ，有 = 针对两式消解即可（注意：m = arctg）答案：（ctg1）a 。14、提示：此题甚简，用三力共点处理即可。答案：略15、提示：力矩平衡的简单应用。 答案：r 。16、提示由最大摩擦角1 m = 45、2 m = 30可以判断：当30，故木棍必相对木板滑动,而实际1 300时，若1 = 45，由三力交汇一点，必有2 30，故木棍必相对木板不滑动而是滚动；由于实际2 45，故木棍相对墙滑动。综上可知，棍先相对墙滚动，后相对板滚动。它们的分界处在板与墙夹角30处（见右图）棍转过圆心角 = ，而l = rctg rctg注意：棍后段相对板转动2时，板自身顺时针转动了30，故总结果应为（1 2） + 30答案：顺时针转过136.8。17、提示（1）A不动，B的运动趋势是yOz平面的圆弧（图1和图3中虚线），据此可以判断f的方向；同时，作为AB整体，应将x轴视为转动（趋势）的转轴。但AB的每一状态均为平衡态，而重力G又在ABCD平面内，故墙壁的全反力R必然也在ABCD平面！画出xOy平面内的二维图（图2），可得tg= = = cos而 tg= = = tgsin从这两式即可解出。（2）求N须先求f ，看yOz平面内二维图（图3），以x为轴 M = 0 ，即 fBO = mgsin解f后，再求N即可。答案：（1）arctg（ctg）；（2）mg 。18、提示：参见右图，设以O为轴扰动角（极小），求“新浮力”可用填补法：F浮= F0 + F1 F2 （F1 、F2的作用点在两边三角形的重心，由于极小，这两处重心到O点的距离约为 = ），故扰动后M顺 Gh1+ F0h2= G（h1 + h2）= G（ h2）M逆 2F1 = 水g = 水g a4= G要达成稳定平衡，须满足 M顺M逆 ，可以解出：h2 a ，h2 a再不难推出密度关系：= 水 ，即得答案。答案：0水 或者水水 均可。（商榷：若不以O为轴转动，答案是否变化？）高二物理竞赛测验 静 力 学 编题：范传东 学号 _ 姓名 _1、三根长度相同的，质量均为m的均质刚性细杆，用光滑且质量可以忽略的铰链两两相连而成一个等边三角形框架，然后将其一个顶点悬挂起来，（1）试求平衡时水平杆两端所受力的大小；（2）能否在水平杆之中点悬挂一重物，使此杆两端所受力的方向恰好与左右两侧杆方向平行？2、长为2L的均质棒AB，一端抵在光滑墙上，棒身又斜靠在与墙相距d的光滑直角上（d Lcos）。当棒处于平衡时，求它与水平面夹角。3、光滑无底圆筒重W，内放两个各重为G的光滑球，已知球半径为r ，圆筒半径为R（r R 2r），试求圆筒发生倾斜的条件。4、边长为a 、质量为10m的立方块置于倾斜角为30的固定斜面上。半径为a/2 、质量为m的圆柱依次搁置成一排。物块与柱体、柱体之间、柱体与斜面均为光滑接触，但物块与斜面之间的摩擦系数= 2/3。试求：系统保持静止时，最多可依次放置多少个圆柱体？5、均质轮轴重量为P ，半径为R ，轮轴上轮毂半径为r，在轮毂上缠绕轻质绳经过定滑轮系以重物，各处摩擦系数均为，角已知，试求平衡时重物的最大重量W 。静力学考试提示与答案1、提示参见右图，隔离左边杆，以C为轴可定R大致方位，再以B为轴M = 0即 G = sin30= RLsin 再隔离下杆， Fy = 0 有2Rsin（60）= G 解得 tg= /5再代入求R即可。答案：（1）0.764mg（即G/6）；（2）不能，侧杆无法维持对B点的转动平衡2、提示：此题甚简，用三力共点处理即可。答案：arccos。3、提示参见右图，看圆筒、球的整体，可避免寻求筒与球的横向作用力。显然，要翻倒，应满足： N（2Rr） (W + 2G)R 求N时隔离两球，得 N = 2G 解即可。答案：。4、提示参见右图，若考虑质心平衡，滑动临界状态， = m= 43.3。因N、G过O点，全反力R要过O点，其作用点Q必在A之右（因为43.345），故可判断立方块尚未转动！（这段论证的意义在于：N逐渐增大时，方块是先滑后转，而非先转后滑，这点很重要）常规计算可得，此时N = 3.165 mg ,合6.33个球的累积。（若常规计算转动临界条件，N = 3.66 mg ,合7.32个球体之累积）答案：6个。（商榷：此题是可以改成翻转趋势在前m 45？）5、提示此题解法基本，且不宜引入摩擦角。参见右图，张力T过Q点之上，轮必右滚；T张力过Q点，无转动趋势，M点无作用，即可三力共点（引入Q点接触反力）解；T过Q点之下，轮有逆时针转动趋势，以O为轴，f R + fR = Tr Fy = 0 ，即 f + Tcos + = P Fx = 0 ，即 f = + Tsin 解式即可。答案：若sin ，W = 0 ；若sin = ，W = ；若sin ，W = 。补充习题：1、半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角。（第十届预赛）2、半径为r、质量为m的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触。用一个