11等腰三角形北师版_初二数学_数学_初中教育_教育专区

驶向胜利的彼岸,几何的三种语言,判断公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.,在ABC与ABC中 AB=AB BC=BC AC=ACABCABC（SSS）.,1.1等腰三角形,几何的三种语言,判断公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.,在ABC与ABC中 AB=AB A=A BC=BCABCABC（SAS）.,驶向胜利的彼岸,几何的三种语言,判断公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.,在ABC与ABC中 A=A AB=AB B=B ABCABC（ASA）.,驶向胜利的彼岸,几何的三种语言,性质公理:全等三角形的对应边、对应角相等., ABCABC AB=AB,BC=BC,AC=AC （全等三角形的对应边相等）; A=A,B=B,C=C（全等三角形的对应角相等）.,驶向胜利的彼岸,三角形全等,判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。,你能用上面的公理证明下面的推论吗？推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS),命题的证明,推论:两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.,证明: A=A,C=C（已知）B=B（三角形内角和定理） 在ABC与ABC中 A=A （已知）, AB=AB（已知）, B=B （已证）, ABCABC（ASA）.,驶向胜利的彼岸,已知:如图,在ABC和ABC中, A=A, C=C, AB=AB.求证:ABCABC.,几何的三种语言,推论:两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.,在ABC与ABC中A=A C=C AB=AB ABCABC（AAS）.,驶向胜利的彼岸,证明后的结论,以后可以直接运用.,等腰三角形的性质,你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?,推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).,你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,命题的证明,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,已知:如图,在ABC中, AB=AC.求证: B=C.,在RtABD与RtACD中 AB=AC （已知）, AD=AD（公共边）, ABDACD（HL）.,此时AD还是什么线?,证明:过点A作ADBC,交BC于点D., B=C（全等三角形的对应角相等）.,几何的三种语言,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中, AB=AC(已知),B=C(等边对等角).,证明后的结论,以后可以直接运用.,推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).,AB=AC, 1=2(已知).BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC, BD=CD (已知).1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）,AB=AC, ADBC(已知).BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）,轮换条件1=2, ADBC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.,1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60.,2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD.,(1) 求证:ABD是等腰三角形.(2)求ABD的度数.,A,B,C,D,开拓思维,1.将下面证明中每一步的理由写在括号内:,已知:如图,AB=CD,AD=CB.求证:A=C.,证明:连接BD,在BAD和DCB中, AB=CD( ) AD=CB( ) BD=DB( ) BAD DCB( ) :A=C ( ),A,B,C,D,2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:A=D,等腰三角形ABC,AB=AC,BDAC探索DBC与A之间关系?,证明：DBC=90-C=90-1/2（180-A） =1/2ADBC=1/2A,A,B,C,D,等腰三角形ABC,AB=AC, DEAC, DFAB, CHAB探索DE、DF、 CH的关系?,D,等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高,E,F,H,D,E,F,H,DE+DF=CH,演示,方法1：在HC上取一点G，使FD=HG,D,E,F,H,G,DE+DF=CH,方法2：过D点作DGHF,D,E,F,H,G,DE+DF=CH,方法3：过D点作DGHF,还有好方法吗？,等腰三角形(二),想一想, 做一做,在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗?,作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等,我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等,已知：如图，在ABC中， AB=AC， BD、CE是ABC的角平分线,例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.,用心想一想，马到功成,求证：BD=CE,证明：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角) 1= ABC，2= ACB，1=2 在BDC和CEB中， ACB=ABC，BC=CB，1=2 BDCCEB(ASA) BD=CE(全等三角形的对应边相等),已知：如图，在ABC中， AB=AC， BD、CE是ABC的角平分线,例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.,用心想一想，马到功成,求证：BD=CE,一题多解,证明：AB=AC，ABC=ACB 3= ABC，4= ACB， 3=4 在ABD和ACE中， 3=4，AB=AC，A=A ABDACE(ASA) BD=CE(全等三角形的对应边相等),大胆尝试，练一练！,已知：如图，在ABC中， AB=AC， BD、CE是ABC的高,1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.,求证：BD=CE,分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等,已知：如图，在ABC中， AB=AC， BD、CE是ABC的中线,2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.,求证：BD=CE,分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等,大胆尝试，练一练！,刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等如果是三等分、四等分结果如何呢?,想一想, 做一做,1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.已知：如图，在ABC中，AB=BC=AC。求证：A=B=C=60.证明：在ABC中，AB=AC， B=C(等边对等角). 同理：C=A， A=B=C（等量代换）. 又A+B+C180（三角形内角和定理） A=B=C60.,大胆尝试，练一练！,随堂练习 及时巩固,如图,已知ABC和BDE都是等边三角形,求证:AE=CD,证明:, ABC和BDE都是等边三角形,AB=BC,ABC=DBE=60,BE=BD, ABECBD,AE=CD,1.1.3等腰三角形,等边三角形:,(正三角形),三条边都相等的三角形.,等边三角形是特殊的等腰三角形.,学习园地,性质：三个角都相等 三线合一 轴对称, A=B=C=60 AB=AC=BC (在同一个三角形中等角对等边),探索星空：探究判定一,1、三个内角都等于60（都相等）的三角形是等边三角形?, ABC是等边三角形,2、有一个内角等于60的等腰三角形是等边三角形?,探索星空：探究判定二,当顶角为60时，两个底角各为60.,当底角为60时，顶角为60.,等边三角形的判定方法:,1.三边相等的三角形是等边三角形.,2.三个内角都等于60 （或三个内角都相等）的三角形是等边三角形.,3.有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.,例4 等边三角形ABC的周长等于21，求：（1）各边的长； （2）各角的度数。,解：（1）ABBCCA， 又 ABBCCA21（已知）ABBCCA21/37（）,（2）ABBCCA，（已知）A BC60（等边三角形的每个内角都等于60）,A,B,C,、下列四个说法中，不正确的有（ ）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个三个角都相等的三角形是等边三角形。有两个角等于60的三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。、等边三角形的对称轴有（ ）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ）（A）3条（B）6条（C）9条（D）7条,探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？,（1）在边AB，AC，分别截取AD=AE（2）ADE=60，D，E分别在边AB，AC上（3）过边AB上D点，作DEBC，交 AC于E点,等边三角形的判定:,三个角都等于60的三角形,三条边都相等的三角形,有一个角等于60的等腰三角形,将两个含有30的直角三角板如图摆放在一起你能借助这个图形,找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?,探究,ABC与ADC关于AC轴对称ABADABD是等边三角形又ACBDBCDC1/2AB,在直角三角形中,如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半.,A,在直角ABC中A30AC2BC,下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC,AB7.4m,A30立柱BC 、 DE要多长?,A,B,解:DEAC, BCAC, A30可得 2BCAB, 2DEAD BC1/2 7.43.7m又 AD1/2 ABDE1/2 AD1/2 3.71.85m答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.,1 如图,在ABC 中C=90,B=15,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8,求AC之长.,作业题:,2 如图,在ABC 中,AB=AC, A=120,AB的垂直平分线 MN交BC于M,交AB于N, 求证:CM=2BM,2、在RtABC 中， 如果B 0 ， A 30 ，CD是高， （