等差数列(一)

等差数列（一）学习目标1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用知识点一等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示思考1等差数列an的概念可用符号表示为an1and(nN*)思考2等差数列an的单调性与公差d的符号的关系等差数列an中，若公差d0，则数列an为递增数列；若公差d0，则数列an为递减数列；若公差d0，则数列an为常数列知识点二等差中项的概念若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A.知识点三等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项ana1(n1)d.思考教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？答案还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*)题型一等差数列的概念例1(1)下列数列中，递增的等差数列有()1,3,5,7,9；2,0，2,0，6,0，；，；0,0,0,0，；1，1.A1个 B2个C3个 D4个(2)已知a，b，则a与b的等差中项为()A. B. C. D.答案(1)C(2)A解析(1)等差数列有，其中递增的为，共3个，为常数列(2)a与b的等差中项为()()().跟踪训练1(1)在数列an中，a12,2an12an1(nN*)，则数列an是()A公差为1的等差数列B公差为的等差数列C公差为2的等差数列D不是等差数列(2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是_答案(1)B(2)6解析(1)an1an，an1an(nN*)，数列an是以为公差的等差数列(2)由题意得.3(mn)201636，mn12，6，即m、n的等差中项为6.题型二等差数列的通项公式及应用例2(1)若an是等差数列，a158，a6020，求a75.(2)已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？解(1)设an的公差为d.由题意知解得所以a75a174d7424.(2)依题意得解得或数列an是递减等差数列，d1，nN*时，有，设bn，nN*.(1)求证：数列bn为等差数列；(2)试问a1a2是不是数列an中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由(1)证明方法一，an1(12an)an(2an11)，即an1an(4an11)，an，bn4，bnbn144，数列bn是等差数列方法二当n1，nN*时，224bnbn14，且b15.bn是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1.an，nN*.a1，a2，a1a2.令an，n11.即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，且是第11项跟踪训练3在数列an中，a12，an1an2n1.(1)求证：数列an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式(1)证明(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an2n为等差数列，且公差d1.(2)解由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1，故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.对等差数列的定义理解不深刻例4若数列an的通项公式为an10lg 3n，求证：数列an为等差数列错解因为an10lg 3n10nlg 3，所以a110lg 3，a2102lg 3，a3103lg 3，所以a2a1lg 3，a3a2lg 3，则a2a1a3a2，故数列an为等差数列错因分析由数列的通项公式求出的a2a1a3a2仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列正解因为an10lg 3n10nlg 3，所以an110(n1)lg 3.所以an1an10(n1)lg 3(10nlg 3)lg 3(nN*)，所以数列an为等差数列误区警示数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列；但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证，以确保满足题设条件1等差数列13n，公差d等于()A1 B3 C3 Dn2下列命题：数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；数列a，a1，a2，a3是公差为1的等差数列；等差数列的通项公式一定能写成anknb的形式(k，b为常数)；数列2n1是等差数列其中正确命题的序号是()A BC D3在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an10，则an_.10若关于x的方程x2xm0和x2xn0(m，nR，且mn)的四个根组成首项为的等差数列，则mn的值为_三、解答题11已知等差数列an(1)若a1231，a32151，求a42的值；(2)若a15，d3，an2 009，求n.12若等差数列an的公差d0且a1，a2是关于x的方程x2a3xa40的两根，求数列an的通项公式13已知函数f(x)，数列xn的通项由xnf(xn1)(n2，且nN*)确定(1)求证是等差数列；(2)当x1时，求x100.课堂检测1答案C解析an13n，a12，a25，da2a13.2答案C解析正确，中公差为2.3答案B解析公差da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令即210，an.10答案解设x2xm0，x2xn0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x41.设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1，x2，数列的公差d，数列的中间两项分别为，.x1x2m.x3x4n.mn.三、解答题11解(1)设首项为a1，公差为d，则a12a111d31，a32a131d151，a42a141d35416211.(2)an5(n1)32 009，n669.12解由题意知