热力学与统计物理答案.doc

第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。解：由 所以, 习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数,根据下述积分求得:如果 ,试求物态方程。解： 因为,所以,我们可写成,由此, , 因为 所以, 所以, ,当. 习题1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为和，可近似看作常量，今使铜块加热至10C。问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加100，铜块的体积改多少解：分别设为，由定义得： 所以，习题1.4描述金属丝的几何参量是长度，力学参量是张力，物态方 程是实验通常在下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为等杨氏摸量定义为其中是金属丝的截面积，一般说来，和是的函数，对仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由降时，其张力的增加为解： 所以， 因 所以, 习题1.7在下，压强在0至1000之间，测得水的体积如果保持温度不变，将1mol的水从1加压至1000，求外界所做的功。解：外界对水做功:习题1.8解：外界所作的功： 习题1.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来大气中的之差为，其中是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解：假设先前的气体状态是（P0，dV0,T0）内能是u0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为（P0,dV,T）这时的内能为u，压缩气体所做的功为： ,依绝热过程的热力学第一定律， 得 积分得 对于理想气体，上式变为 故有 所以 对于等压过程 习题1.15热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？解：AB 等温过程BC 绝热过程CD 等温吸热DA 绝热， 由绝热过程泊松方程： ； 将功A直接转化为热量，令高温物体吸收。有A=Q1 。习题1.16假设理想气体的Cp和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：解：准静态绝热过程中：， (1)对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为 (2)物态方程 (3)(2)，(3)代入(1)得： （其中） 关系式为T的函数 V-1为T的函数。 。第二章 均匀物质的热力学性质习题2.2已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。解：由题意得： 。 因V不变,T、p升高,故k(V)0 据麦氏关系(2.2.3)式得: = =(V) (k(V)0) 由于k(V)0, 当V升高时(或V0V,VV0),于是 T不变时,S随V的升高而升高。2.3设一物质的物态方程具有以下形式，试证明其内能与体积无关。解： ，()T = - p = =0 得证。习题2.4求证：() 0证: 由式(2.1.2)得： 等H过程: （）H=-0; T0)由基本方程：;（）U=0.习题2.5已知 =0 , 求证 =0。解： 由式(2.2.7)得：=-p; =0 ; =0= 0 ; =0。习题2.6试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。解： F=U-TS, 将自由能F视为P,V的函数; F=F(p,V) = 由关系;。习题2.7 试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。（提示:证明-0）证：联立（1），（2）式得：-=据： 熵不变时，（dS=0）, =-=； 原题得证。 习题2.14一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长x成正比,即.X= -Ax；今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能F、熵S和内能U的表达式分别为； 解： + ; =由于, =X=0时，U=0,即不考虑自身因温度而带来的能量。实际上，=0 或 = 即得： ; 进而求(略)。 代入习题2.21如下图所示，电介质的介电常数与温度有关，试求电路为闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差。解：当电路闭合时，电容器电场恒定当电路断开时，电容器电荷恒定，因而习题2.22已知顺磁物质的磁化强度为：，若维持物质温度不变,使磁场由0增至H,求磁化热。解： ；据式(2.7.7) =等T下： 习题2.23已知超导体的磁感应强度；求证:()Cm与m无关，只是T的函数，其中Cm是在磁化强度m保持不变时的热容量；()；() 解：超导体 () (式2.7.9)；() 据式(2.7.3). ;代入表达式，其中U0为0K时的内能。() 由(ii)中已应用了； 忽略因体积变化带来的影响。习题2.24实验测得顺磁介质的磁化率。如果忽略其体积的变化,试求特性函数f(m,t),并导出内能和熵。解： 显然只与T有关；=； ; ; ; ；既已知：；第三章 单元系的相变习题3.2试由及证明及。证： 由式(2.2.1) =;+ (1) (2)由麦氏关系(2.2.3)代入(1)式中 -由式(2.2.5) ；即. 于是： 0正数于是： 0）,故对积分可得： ， (s=L2)习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为。试求在体积V内，在到的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。解：由于只与有关，与、无关，于是以上已经代入了 于是， 习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和。其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。证： 粒子A能级，粒子数分布：al简并度 粒子B能级，粒子数分布：al简并度 由 即使最大， 达到最大。 （注：与在此情况下独立） 讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证明 同一，原题得证。这也是满足热平衡的要求。第七章 玻耳兹曼统计习题7.1根据公式证明，对于非相对论粒子：，=0，1，2，有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。证：=其中 ; (对同一,)=习题7.2试根据公式证明，对于极端相对论粒子：，=0，1，2，有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。证： ；对极端相对论粒子 类似得 =习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为，以表示二者之差。试证明相应的配分函数存在以下关系，并讨论由配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。证： 配分函数 以内能U为例，对Z1: 对Z1*: 习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，,对粒子的所有量子态求和。证法一：出现某状态几率为Ps 设S1,S2,Sk状态对应的能级； 设Sk+1,Sk+2,Sw状态对应的能级； 类似；则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ；显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，。于是代表处于S状态下的粒子数。例如，对于能级个粒子在上的K个微观状态的概率为： 类似写出：等等。于是N个粒子出现某一微观状态的概率。一微观状态数 ，（基于等概率原理）将带入；习题7.5固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混合熵为其中N是总原子数，x是A原子的百分比，（1-x ）是B原子的百分比。注意x1，上式给出的熵为正值。证： 显然 S=-N=；由于 1， 故；原题得证。习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为 证： 设能级这样构成：同一中，P相同，而P与P在变化，于是有： ()参照教材玻耳兹曼分布证明；有 -,其中 由(1)知: 将代入 并配方得: =其中 对比page238式（7.2.4）得： 整个体积内，分布在 内分子数为：由条件（3）知 计算得 = =代入得出分布： 其中 ,习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值。解：两分子的相对速度在内的几率同理可求得分量为和引进，速度分布变为利用球极坐标系可求得速率分布为：相对速率平均值 习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于与之间的分子数为：证： 在斜圆柱体内,分速度为的方向的分子数为: 对于 时间碰撞到面积上的分子数（） = 得到：若只计算介于分子数则为：（只对积分） 习题7.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。解： ； 变量代换 习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：其中是常数，求粒子的平均能量。 解： 习题7.16气柱的高度为，截面为，在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。解： 配分函数 设 ； 习题7.17试求双原子理想气体的振动熵。解： 振动配分函数 代入式（7.6.1） 代入熵计算式。习题7.18对于双原子分子，常温下远大于转动的能级间距。试求双原子分子理想气体的转动熵。解：由式（7.5.14）转动配分函数 其中习题7.19气体分子具有固有电偶极矩，在电场下转动能量的经典表达式为：，证明在经典近似下转动配分函数：解：经典近似下，视为准连续能量配分函数 利用 习题7.20同19题，试证在高温()极限下,单位体积电偶极矩（电极化强度）为：。解：电极化强度高温极限下，保留至。其中习题7.21试求爱因斯坦固体的熵。解：将，代入至表达式即得，注意N取3N。(略)第九章 系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为其中是系统处在态的概率。证： 多粒子配分函数由(1)知 代至(2)得 ;于是 习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证： 符号符号利用式（9.5.3）类似求。习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为和，温度为。试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。解：习题9.5利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。解： 一般认为较小；习题9.9利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数，从而求内能和熵。解：式（3.9.4）德拜频