分数：先分后数——“分数的意义”教学新路径

分数：先分后数“分数的意义”教学新路径华应龙【专题名称】小学数学教与学【专 题 号】G392【复印期号】2011年08期【原文出处】人民教育(京)2011年6期第3738页一在三年级初步认识分数之后，教材都会在五年级再次安排认识分数的相关内容。大多数教材几乎都有差不多的表述：“一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位1。” 以前，我往往会这样教带着学生把一块饼平均分成2份，得到分数；再把1米长的线段平均分成5份，取其2份，得到分数；再出示一盒糖，把这12块糖平均分给4位同学，得到分数。 然后，指着板书，说：“一个物体，一个计量单位，一些物体都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫作单位1。”再提问：“这个1和我们一年级时所认识的1一样吗？”接着，让学生举例，日常生活中哪些具体的事物可以看作单位“1”。之后，再组织学生用简洁的语言说说等分数表示什么意思。 学生开始学得很是没劲，后来又是云里雾里：“穿上马甲”的“1”怎么就不一样了？ 现在我使用的教材里，虽然没有单位“1”的概念，但我还是不放心、不习惯，偷偷补讲单位“1”。 单位“1”究竟是什么意思？这一概念有多重要？ 2009年版辞海把“分数”定义为：“把一个单位分成若干等份，表示其中一份或几份的数称为分数”，强调的是“一个单位”。 因此，我反思：以前教学中，我出示下图，要求学生在括号中写出阴影部分所表示的数，没有规定单位是什么，向学生硬要“”是不是有些不讲道理？如果以1个小正方形为单位，则应填3；以2个小正方形为()单位，则应填；以3个小正方形为单位，则应填1 由此可以看出，是否产生分数，取决于确定的单位。“单位”是分数概念的关键。“1”是重要的计数单位，是学生所熟悉的。学生一年级认识数“1”的时候，就知道一只萝卜是“1”，一筐萝卜也是“1”。 分数，本质上是表示两数相除的结果，使得四则运算以及法则畅行无阻；在生活中，分数主要表示部分与整体的关系。而“整体”、“总量”这样的概念，学生是熟悉的，也是非常容易接受的。现行教材教法中，“单位1的量”基本上都可以用“总量”来表达。 那么，没有单位“1”这一概念，对学生后续学习有没有影响呢？北大附中特级教师张思明博士告诉我，初中、高中都没有这个概念，重要的是学生没有分数单位的思想，这一点妨碍了学生对有关分数问题的圆满解答。由此，我们也就可以理解为什么大学生大多不知道单位“1”这个概念。 我幡然醒悟：单位其实就是“1”，“单位”是重要的，“1”是重要的，单位“1”是不重要的。可以不讲单位“1”，但要重讲“分数单位”。 “把单位1平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数。表示其中一份的数，叫作分数单位。”这是教材中对“分数单位”的表述。以往我对“分数单位”的教学往往轻描淡写，一笔带过。 单位，是度量中规定的标准量。那么，如何加重分数单位的教学分量呢？度量可以很好地将分数理解为分数单位的累积。怎样发展一下，更好地体现“有单位才有度量，才有沟通与交流”？ 我再追问：学生会背诵“分数的意义”，是否意味着其理解并掌握了分数的意义？我们的教学是重在体会分数的意义，还是重在体会分数形式化的“概念”？ 什么是分数？我们能否给学生一个简单、通俗而有趣的说法？分数就是先分后数的数，是否合适？ 经过一段时间的思考，我确定的教学目标进一步认识分数，认识分数单位，感受单位的价值，理解分数的意义，体会到数学好玩，从而更加喜欢数学。二课一开始，播放动画“大头儿子的难题”：大头儿子接完电话，在没有找到尺子的情况下，用小头爸爸的领带量出床是两个领带长，沙发没有一个领带长，然后他把这根领带对折3次，量得沙发有7个这么长。但沙发是多少个领带长呢？ 在解决了大头儿子难题之后，揭示课题，让学生提出关于“分数”自己想解决的问题。 接着，带领学生认识分数单位。 我首先让学生回顾要量教室、粉笔、米粒的长分别用什么做单位，然后指出：“单位不同，尺子就不一样。创造一把尺子，其实就是创造了一个新的单位。所以大头儿子在家中没有找到尺子，用领带创造了一个单位。请回头看，刚才我们说沙发是个领带长，里有7个。这里就是一个单位。它很特别，是分数，所以叫分数单位。”进而让学生说说：，的分数单位是什么；把一根领带对折一次、两次、三次，创造的分数单位分别是什么；既然，也是一个分数单位，那么刚才量沙发长的时候为什么不用这两个单位来量，而用来量呢？学生通过思考，体会到我们要根据需要创造合适的度量单位。进而，我又引入了炮兵创造的更为精确的单位密位（1密位度），以加深学生的认识。 为了了解学生对分数的意义掌握得如何，我组织学生想一想，在练习纸上圈一圈：下面的分数表示什么意思呢？下面有6颗五角星，请圈出它的。下面有9个月饼，请圈出它的。下面有16个苹果，请圈出它的。 在一阵讨论、引导之后，学生明白了“整体不同，虽然，给你的分数相同，但是圈出来的个数也不同”。 为了考查学生在具体情境中对分数意义的理解，我出示了这样一题猪八戒吃一个西瓜的，用了1分钟。这样，他吃完这个西瓜还要用多长时间？ 最后，我回应学生课始提出的问题组织学生静下心来想一想：分数是什么？ 生1：分数就是把一个整体平均分成几份，表示这样的几份的数。 生2：分数就是用自然数和小数表示不出来的数。 生3：分数是把一个数平均分成几份。 我总结道：“简单地说，分数就是先分后数的数。”“先分，分之后就确定了分母，就创造了一个单位。”“三年级时老师为什么要强调平均分？（停顿）如果不平均，谁来做单位呢？然后再数，就是数有多少个单位，也就是确定分子。那为什么要有分数？”学生回答说：“表示用自然数表示不出来的数。” 我说：“简单地说，就是因为没法数了。分之后，就可以数了。最后和大家分享我本家的一句话，华罗庚先生说：数起源于数，量起源于量。数和量都离不开单位。从单位的角度来看，分数很好玩，很有智慧。”三 我询问学生的收获，不少学生说道：“学了这节课，我明白了生活中需要测量的时候不一定都要用尺子。”我欣欣然，因为这是我当初设计教学时就追求的副产品。 有学生说：“我明白了分数里有分数单位。” 其实，“分数是先分后数的数”和传统的“把单位1平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数”是一致的，并不矛盾。“分数是先分后数的数”，这样的表达乃是一种简单的丰富“分”，就是创造了一个单位；“数”，就是数有多少个单位这样，从单位的角度来理解分数的意义，更有后劲。通过“分”与“数（sh）”，分数是个“数（sh）”？兼评华应龙老师执教的“分数的意义”刘加霞【专题名称】小学数学教与学【专 题 号】G392【复印期号】2011年08期【原文出处】人民教育(京)2011年6期第3742页【作者简介】刘加霞，北京教育学院。德国著名数学家、直觉派代表人物克罗内克尔曾说过：上帝创造了自然数，其他的数都是人造的玩意儿。确实，数物体的“个数”（集合元素的个数）似乎是人的一种本能（最初一个一个地数，后来按“群”计数，产生新的计数单位），是一种自然的事情。对学生来说，学习分数（从数学发展史来看，分数是第一个人造的数）也通过“数”分数单位的个数是否更自然？对于任何数来说，“计数单位”与“单位的个数”有什么作用？基于度量的需要，数（sh）分数单位的“个数”从而得到分数体现出分数是个“数”（度量数）的意义，但除此以外，分数还有“比率数”的含义，这一层含义在“分数的意义”教学中如何体现？即作为“量”的分数（带有量纲）与作为“率”的分数（无量纲）的关系是什么？二者如何实现统一？在我国各个版本的教材中，基本都是分两次学习“分数的初步认识”和“分数的意义”。“分数的初步认识”的教学，多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的，即借助于直观模型（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画了“部分整体”之间的比率关系（作为“率”的分数），教学内容与教学方法没有太大的异议。但在“分数的意义（甚至我们需要进一步追问什么叫某某数的意义）”这部分内容中，究竟要学习什么？怎么学习？为了回答上述问题，我们将结合华应龙老师执教的“分数的意义”一课以及华老师的思考来研究。一. 学生为什么不认为“分数”是个“数”？一直以来，在学生的心目中并不承认分数是个“数”，是个“结果”，例如，学生在解决实际问题时，答案若是“米”的话，学生几乎都要化为“1.5米”，似乎只有看到这个结果，心里才“踏实”。出现这个现象的原因很多，关键是分数既不是“十进制”的，也不是“位值制”的，无法按照自然数的习惯看出其大小。另一个重要原因是学生在学习“分数”时一直不把它当作一个“数”（不强调“分数单位”，不强调单位的个数），而是当作“率”来理解，是用来刻画“部分与整体”或者是“部分与部分”的“倍比”关系。还有一个不可否认的事实是学生关于自然数、小数有丰富的生活经验作支撑，而分数则少见。现实生活中的“数”与“量”都用自然数或者特殊的十进分数有限小数表示，而不用分数表示“量”的大小。除了自然数以外学生更认可“小数”是个“数”，因为从数的意义上看，小数与自然数的血缘关系更“亲近”：都是十进位值制。二. “分”与“数”的价值：分数单位的累加就是分数学生不愿承认分数是个“数”，而分数的数学内涵又非常丰富，那么“分数的意义”到底认识什么？不同版本教材的处理略有不同，主要都强调以下三点：强调平均分的对象“单位1”发生了变化，由“1个”变为“群体”，平均分的份数“由少到多”；讲“分数单位”，但并没有作为重点；“整体1”不同，同一个分数所对应的量也不同。华老师执教的“分数的意义”则以“分数单位”为主线（度量的需要产生分数单位，分数单位的累加就形成分数），让学生感觉到分数是个“数”，分数很好玩，分数是个智慧的数。这样做的意义与价值是什么？“分数的意义”应该是“任何一个分数都是其分数单位累加的结果”（如同自然数、小数的组成与分解），即先有“分数单位”，再数出单位的个数，个数与分数单位相乘的结果就是“分数”。这样看待“分数”，全部“数”的构成与结构就都一致了，学生也就更认可分数是个“数”。实际上，“计数单位与其个数乘积的累加就得到全部数”。自然数因为是“十进位值制”的，所以计数单位是“1、10、100”不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数（某个计数单位的个数为“0”时，也要写出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=21000+0100+310+41。小数也如此，增加小数的计数单位“0.1、0.01、0.001”后，其累加的过程与自然数的过程基本相同，只不过有“有限次累加”与“无限次累加”两类，有限次累加就得到“有限小数”，无限次累加又分为“两种情形”：其一，不同计数单位的“个数”是有规律地出现的，例如，小数的计数单位的个数都是“3”，则这个小数是0.3的循环，也就是；其二，如果计数单位的个数情况复杂，没有规律，则无限次累加的结果是“无限不循环小数”，即是无理数。由此可见，沿袭自然数的“传统”，分数的两个关键要素就是“分数单位”、“单位个数”，即分数单位的“分母”是平均分的“份数”，分子是“1”，其他分数的“分子”就是“分数单位”的“个数”。这和传统的“把单位1平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数”本质相同，并不矛盾。正如华老师所说：“分数是先分后数的数”，这样的表达乃是一种简单的丰富“分”，就是创造了一个单位；“数”，就是数有多少个单位这样，从分数单位的角度来理解分数的意义，更自然，更有后劲。因为，分数单位同自然数的计数单位本质是一致的，但因为分数单位是随着单位“1”被等分的份数的变化而变化，不像自然数（一、十、百、千、万等）或小数的计数单位（十分之一、百分之一等）那样固定，这就使学生理解起来比较抽象和困难。更困难的是，“单位1”可以被平均分为任意等份，从而任何一个分数都有无数多个“分数单位”。分数单位不同，其所对应的“个数”就不同，但两者的乘积是一样大的。而一个固定的自然数（或有限小数）的计数单位是有限个，各个单位之间的关系又都是“十进”的。因此任何一个分数都是一个“类”，其中最简分数是这个类的“代表”，例如，可以说是“1个”，或者“2个”，甚至“16个”等等，即其中是这个“类”的代表。因此，张奠宙教授认为：分数等价类中的每一个表示（分数），各有各的用处，都有其特定的价值。分数的这个特点，既有学习难度，又有思想高度，是一个重要的数学思想方法。每一个分数都构成了一个“等价类”，就是弗赖登塔尔所说的“分数是个代数概念”的主要体现之一。但小学阶段不可能这样讲，而是以“分数性质”的形式学习。不管怎么说，把分数看成是“分数单位的累加”不仅延续了自然数的认识，又为进一步理解分数的性质以及分数的加减运算打下了坚实的数学基础。从这个角度来认识分数，学生就能够真正理解为什么同分母分数加减只需要“分子相加减而分母不变”，而异分母分数加减则必须“先通分，然后再分子相加减，分母不变”，从而进一步理解“加减法计算的本质就是相同计数单位个数相加减”，“通分的本质就是寻找两个分数的相同计数（分数）单位”，这也是分数的通分、约分和扩分（寻找等值分数）的“理论依据”。三.“单位”与“单位1”：孰重孰轻？在强调分数单位的前提下，“单位1”当然就不重要了。因为“单位1”也是最大的“度量单位”或者说是最特殊的最大的“分数单位”“1”，即“有多少桶水”问题中的“如果桶能够装下整池水的话，则有1桶水”。谁作为“单位（整体）1”，这既是认识分数的一个核心，同时也是一个难点。马丁(J.Martin)总结出“整体1”可以分为以下六种情况（以为例）：(1)1个物体，例如一个“圆形”，平均分为5份，取其中的1份。(2)5个物体，例如“5块糖”，其中的“1块”占“5块”的。(3)5个以上但是5的倍数，例如“15块糖”，平均分为5份，取其中的1份。(4)比1个多但比5个少，例如，“2条巧克力”作为“整体”。(5)比5个多但不能被5整除，例如，“7根香蕉”作为“整体”。(6)一个单独物体的一部分的，例如，1米的的。整个小学阶段的分数学习，其“整体1”的变化基本就是上述情况，华老师所重视的“分数单位”则是上述情况背后的“隐线”，在“分数的意义”的第一课时抓“分数单位”显然最有价值。再换一个角度看，即从分数产生的三种现实背景（王永，2008）（分物、度量、比较中的“倍比”关系）出发，可以清楚地看到分数产生于量的“倍比”关系。分数概念的核心是量、度量单位（基准量）与量数的基本关系，即：量度量单位（基准量）量数。因此，分数具有两种不同的意义：(1)分数可以表示量的大小，这时或者是单位分数，或者是分数单位的整数倍。(2)分数可以表示量数（也就是“率”）。“量数”是以一个量为基准量（也就是“分数单位”）去度量另一个量所得的结果，它是描述两个量的“倍比关系”的一个数（自然数或分数）。所以，从更抽象的角度看，无论是作为“量”的分数还是作为“率”的分数，其核心都是“分数单位（基准量）”。如果再“细分”的话，两个量的“倍比”关系又有下面4种类型（王永，2008）：(1)一个量中部分与整体的“倍比”关系。(2)同类的两个量的“倍比”关系。(3)一个量中各组成部分的“倍比”关系（比例）。(4)不同类的两个量的“倍比”关系（比率）。从类型(1)和(2)可以衍生出百分数的概念，从类型(3)和(4)可以衍生出“比”（比例、比率）的概念。量基准量量数，这一基本关系有下面两个等价的形式：(1)量基准量量数；(2)量量数基准量。从而分数、比都与除法既有密切的关系，但又有所不同。这也是值得探讨的问题，本文不再赘述。四. 两难情境：度量结果不用普通分数表示无论是作为“量”的分数还是“率”的分数，分数单位都很重要。那么分数单位是怎么产生的？创设什么样的问题情境才能使学生感受到分数单位的价值？理论上会说“根据现实的需要，为了满足度量的需求，使得度量结果更准确”。但我们需要追问：这个“现实”是不是个“伪现实”？因为在现实的“量”中，几乎都是把已有的“单位”平均分“10份、100份”或者是与“60”相关的，而不会是“任意的份数”，由此在现实的“度量”中度量结果不会是“普通分数”，最常用的就是有限十进分数。因此，在“分数的意义”的教学中，为了强调“分数单位”，必然从“度量”切入，但一从度量切入，度量的结果又不是“普通的分数”，所以就有很多教师提出华老师所创设的情境是“人为”的，“连教师都不懂的什么密有价值吗？”教学陷入“两难情境”！不管是不现实地用“领带”做单位，还是“什么密”以及“猪八戒吃了西瓜的”，甚至类似于脑筋急转弯的“一湖水有多少桶”的问题，华应龙老师想强调的就是“分数单位”甚至是“度量单位”的价值，强调“单位不同，度量出的结果就不同”。有的老师又说了，为什么在“分数的意义”中强调度量单位的作用？如果以分割后产生的更小“单位”为度量单位，度量的结果根本就不需要“分数”啊？有自然数就足够了。分数可以刻画“量”的大小，但更常用有限小数。分数可以刻画“率”的划分，但更常用百分数和比。到底怎么办？小学阶段的“分数的意义”到底要学习什么？怎么学习？实际上，按照弗赖登塔尔等学者的观点，在小学阶段，关于分数的学习，只要是从“算术”角度来学习的，不管学习什么还是怎么学习都是“失败”的。因为根本不应该从“算术”角度学习！真正学习分数应该从代数的角度学习，但从代数的角度学习分数，能作为小学阶段的学习任务吗？五. 作为“代数概念”的分数，是小学阶段的学习内容吗？上述的两难问题似乎能够在弗赖登塔尔等学者的观点中找到答案。弗赖登塔尔在作为教育任务的数学一书中，多次谈到“分数是个代数概念”，这句话的内涵是什么？让我们重温他的一些观点：“承认普通分数（以及以后又承认负数）是一种典型的代数思想，一种超越单纯地计算的思想。这种思想通过引进新的元素来使四则运算及它们的法则通行无阻。”（第10页）“事实上，测量产生的是（有限）小数而不是分数，分数的出现是为了使除法可以进行下去。即为了解除除法的限制，而引入分数，则作为除法问题73是多少？的解而出现。一旦接受了，那么在计算中便可以将其作为这一除法的结果来加以处理。”“数学上对如下的表示更为满意：可理解为的解，此式将分数由算术带入了代数，当然它是建立在代数基本原理基础上的。”将分数定义为方程的解，再根据方程的性质就可以进行分数的加减计算。“也许有人会感到分数的直观性丧失了。但事实上，这种直观性是否存在也值得怀疑。”（第185页）“范希尔注意到并强调了一个事实，渗透于分数中的观念显然是代数观念，引入分数及其运算是为了使四则运算及其规则的适用范围不受限制，一个域关于某些运算封闭的观念完全是代数的，它是所有代数本质的基础。分数及其运算由于缺乏直观性，应该由上述代数观念导出。”（第218页）“我认为唯一诚实的做法就是告诉学生，引入分数就是为了要求算术运算的适用范围不受限制。这是一种抽象的导出概念，几乎不受实际需要的影响。”（第218页）“依我看来，唯一可接受的解决办法是在代数中处理分数。”（第219页）张奠宙教授也认为：由“份数”定义到“商”的定义，是数系的扩充。这是一次跨越、一次升华，每个学生都必须面对。现在的教科书，对于数的扩充只字不提，连“分数是新朋友”这样的话也不说，应该说是一种数学思想方法教育上的缺失。如此看来，在算术意义下学习分数，尤其是学习分数的意义，是用“分物”还是“度量”几乎都不重要了，因为无论用哪种，价值都不大。我们不可能在“分数的意义”的第一课时就采用“代数”的方法，还