第一章函数、极限与连续.doc

课程综述本课程的主要内容；函数，极限与连续，导数与微分，中值定理与导数应用，不定积分，定积分及其应用。本课程与其他课程的关系；数学在现代社会生活中的广泛应用，不仅在自然科学中有用，在社会科学的很多方面也有用，是学习和研究现代科学技术不可少的基础和主要工具学科，学好数学对于提高全民的文化素养，培养四有公民是十分重要的，本课程实用于高职高专工科类或经济管理类各专业，因此，它与其他课程的关系是十分密切，必不可少的。本课程的现状：本课程是非常重要的公共基础课，各章内容与所学专业紧密相连，分层次的编排，供理工科和经济管理类各专业选用，也有难度模块，供不同学习目标的学生选用，主要章节后有数学实验，供上机使用，最后有习题答案和提示，供学习时参考。本课程的发展：1.针对现行普通高中和职业高中数学教材的不同体系，本教材突出了初等数学与高等数学的衔接。2.现代教育技术以学生为主体的理念，有较强的可读性，在引用数学概念时，尽量借助几何直观，物理意义和生活背景来进行解释，使抽象的数学形象化，通宿化，切合学生实际。3.有较强的选择性，为适应各层次学生使用，对全部内容做了分层处理，选定各专业都必须使用的基本内容作为基础，在次基础上用模块进行组装，构造出不同的层次。4. 针对高职高专的培养目标，有较强的实用性，要培养生产第一线应用型高级人才，在理论上和计算方面降低了难度，在数学的应用和使用现代教育技术手段方面进行了充分强化，MALAB软件的使用，将较繁的计算问题用计算机来完成，总之，本课程的发展是要培养应用型高技术人才而编写使用的。课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第一章01课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）11 函数的概念，12 函数的特性教材和主要参考书教材：高等数学四川大学出版社 参考书：大学数学应用基础 高等数学（人教社、同济等）教学目的与要求： 熟练掌握函数的概念及函数的特性教学重点和难点： 重点： 函数的概念难点： 函数的概念及函数的特性教学内容与时间安排：（2课时）1、函数的概念2、函数的图像3、函数的单调性4、函数的奇偶性5、 函数的有界性6、 函数的周期性7、小结本次课内容、布置作业思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题1-1 1（1）（3） 2（1）（3） 3 4 5习题1-2 1（1）（3） 2（2）（4）（6） 4（2）（4）7课后体会：第一章函数的极限与连续1、本章简介1）主要内容：本章在总结中学已有函数知识的基础上，进一步阐述函数的概念，介绍高等数学最基本的概念-极限，进而研究无穷大量与无穷小量的概念和性质、极限的运算法则、函数连续性的基本知识，为后继知识的学习奠定坚实的基础。2）学习目标：认识函数的极限与连续，同时能够进行相关的计算和证明。3）课时安排：14课时2、函数的概念1） 常量与变量：常量与变量概念介绍2） 区间与邻域对于某个实际问题来说，一个变量只能在一定的范围内取值变量的取值范围通常用区间表示区间分为闭区间、开区间、半开半闭区间、无穷区间等。图见书1-2在区间定义的基础上，我们把开区间(-,+)(0)叫作点的邻域，叫作邻域的中心，叫作邻域的半径如果在点的邻域中去掉,所得集合为(-，)U(，+),则称它为点的去心邻域3）函数的概念及相关例题定义1 设是两个变量，是一个实数集如果对于内的每一个数,按照某个对应法则，变量都有唯一确定的数值和它对应，则称是的函数，记作.叫作自变量,叫作因变量，或者函数值，实数集叫作这个函数的定义域.当取数值时，与相对应的的值叫作函数在点处的函数值，记作或.函数所有函数值的集合叫作函数的值域 在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的书上例l中，定义域，值域。对于只给出表达式而没有说明实际背景的函数，函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围例2 设函数，求解 （略） 例3 求下列函数的定义域.（1） (2) =解（略）例4 已知函数的定义域是，求的定义域.解 要使函数有意义，即，所以，即的定义域为.例5 判断下列各对函数是否相同.(1) (2) 解 （判定两个函数的定义域与对应法则是否相同）小结：只有两个函数的对应法则和定义域都相同时，才能说这两个函数是相同的函数 函数的定义域，一般是使得函数有意义的自变量的取值范围，为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(1) 代数式中分母不能为零；(2) 偶次根式内表达式非负；(3) 对数中真数表达式大于零； (4) 反三角函数要根据各自的定义域.例如 ，要满足；(5) 两函数代数和的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(6) 对于表示实际问题的解析式，还应该保证符合实际意义.4） 函数的图像设函数的定义域为对于任意取定的，对应的函数值为，则以为横坐标、为纵坐标，就确定了平面上的一点(,)当遍取D上的数值时，就得到点(,)的一个集合，. 这个点的集合G叫作函数的图象5）分段函数例6 函数称为符号函数它的定义域D=(-，+)，值域M=，函数图象见书图1-4所示例7 设为任一实数，表示不超过的最大整数因此把函数称为取整函数它的定义域，值域. 由上面两例看到，有时一个函数要用几个式子表示这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数3、函数的特性1） 函数的单调性 定义1 设函数的定义域为D，区间如果对于区间I上任意两点及，当时，都有,则称函数在区间上是单调增加的(图16)，区间称为单调增加区间；如果对于区间上任意两点及，当0又0，所以0，即，所以在(0，+)内是单调增加的2） 函数的奇偶性定义2 设函数的定义域关于原点对称如果对于任一,都有成立，则称为奇函数奇函数的图象关于原点对称。如果对于任一，都有成立，则称为偶函数偶函数的图象关于y轴对称。图1-10 图1-11例3 判断下列函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)解（略）3） 函数的有界性定义3 设函数的定义域为，区间如果存在正数,使得对任一，都有，则称函数在区间内有界如果这样的正数不存在，就称函数在区间内无界例如，函数在上是有界函数，在上是有界函数.但是函数在上是无界函数.因此，有界性是针对于某一区间而言的.注意 函数是否有界与所给的区间有关例如，函数在区间内有界，但在区间(0，1)内是无界的4） 函数的周期性定义4 设函数的定义域为如果存在一个不为零的数，使得对任一有且恒成立，则称为周期函数，称为的周期通常我们所指的周期函数的周期是指它的最小正周期例如，函数，都是以2为周期的周期函数；函数，是以为周期的周期函数；函数不是周期函数.明显地，对于周期函数的性态，只需在长度等于周期的任个区间上考虑即可.如图112所示，以为周期的周期函数的图象在每个长为的区间上的图象都是一样的因此，作周期函数的图象，只要作出任意一个周期内的一段曲线，再将它从一个周期的两端平移出去即可得到整个区间上的图像图1-123、小结，布置作业小结本次课主要内容：函数的概念、函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性。39泸职院基础部数学教研室课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第一章02课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）13 反函数，14 基本初等函数教材和主要参考书教材：高等数学四川大学出版社 参考书：大学数学应用基础 高等数学（人教社、同济等）教学目的与要求：熟练掌握反函数的定义及基本初等函数的性质教学重点和难点： 重点： 反函数的定义及基本初等函数的性质难点： 反函数的定义教学内容与时间安排：（2课时）1、反函数的定义2、幂函数的定义与性质3、指数函数的定义与性质4、对数函数的定义与性质5、三角函数的定义与性质6、反三角函数的定义与性质7、小结本次课内容、布置作业思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题1-3 1 2（1）（3）（5）3习题1-4 1（1）（5） 459101114 课后体会：第一章函数的极限与连续1、反函数定义的引入 在匀速直线运动中,已知物体的速度为,时间为,路程为,可得,这时是自变量，是因变量，是的函数；反之，如果已知路程为，求对应的时间时，由可解得关系式.对于给定的值，可求出对应的t值这时S是自变量，t是因变量,t是S的函数我们称为S= V0t的反函数2、反函数的定义定义5 设函数的定义域为，值域为.如果对于中的每一个值()，都可以从函数表达式确定唯一的x值与之对应，则所确定的以为自变量的函数叫作函数的反函数，常记作这个函数的定义域为，值域为相对于反函数来说，函数叫作原函数 习惯上，函数的自变量都用表示，因变量用表示，所以，反函数通常表示为 由反函数的定义知，如果函数有反函数，则x与y的取值是一一对应的因此，该条件也是判定一个函数是否存在反函数的必要条件函数的图象与其反函数的图象关于直线y=x对称 例l 求函数 的反函数，并在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象解 （略） 例2 求函数的反函数解 由 解得 将写成，写成，即函数的反函数为 例3 讨论函数的反函数 解 函数在区间(-，+)上不存在反函数3、反函数存在定理定理 设函数的定义域是，值域是.如果函数在上是单调增加(或减少)的，则它必存在反函数,且反函数在上也是单调增加(或减少)的4、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这些都是实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数1）幂函数（为常数）当时，图像经过原点和点，在内单调递增、无界.当时，图像不过原点，经过点，在 内单调递减、无界，曲线以轴和轴为渐近线，函数y=x、y=、y=、y=、y=和y=的图像如书上图1-17.2）指数函数指数函数的定义域是.由于无论取何值，总有，且，所以它的图像全部在轴上方，且通过点.也就是说，它的值域是.当时，函数单调增加且无界，曲线以X轴的负半轴为渐近线，如图1-18；当时，函数单调减少且无界，曲线以X轴的正半轴为渐近线.如图1-18。图1-18图1-193）对数函数对数函数的定义域是，图像全部在轴右方，值域是.无论取何值，曲线都通过点.当时，函数单调增加且无界，曲线以轴负半轴为渐近线，如图1-19；当时，函数单调减少且无界，曲线以轴的正半轴为渐近线.对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于对称.以无理数为底的对数函数叫做自然对数函数，简记作，是微积分中常用的函数.4）三角函数定义l 函数 依次叫作正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数这6个函数统称为三角函数，其中自变量都以弧度作单位来表示在微积分中，三角函数的自变量采用弧度制，而不用角度制.函数的定义域为，值域为，奇函数，以为周期，有界。函数的定义域为，值域为，偶函数，以为周期，有界。函数的定义域为D=,，值域为，奇函数，以为周期，在每一个周期内单调增加，以直线为渐近线.函数的定义域为D= ，值域为，奇函数，以为周期，在每一个周期内单调减少，以直线为渐近线.正割函数 是余弦函数的倒数，即 余割函数是正弦函数的倒数，即 这两个函数都是以为周期的周期函数5）反三角函数定义l 函数 依次叫作反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数这4个函数统称为反三角函数.(1) 反正弦函数 ，定义域为，值域为，是单调增加的奇函数，有界。注意 反正弦函数的自变量x表示正弦值，而函数y表示相应的角由反正弦函数的定义，可以得到 例1 求下列各式的值：(1) (2)(3) (4)解 (略) 例2求下列各式的值：(1) (2)解 (1)-1 (2)设arcsin=a，则sin a=由a-，得o，可知 所以(2) 反余弦函数，定义域是，值域，是单调递减函数，有界。由反余弦函数的定义，可以得到 cos(arccosx)=x (一1x1)例3 求下列各式的值：(1) (2)解(略) 例4求下列各式的值： (1) (2)tan(arccosx),x -1,1，且x0 解 (1)设a，则 ,由a0，,可知0，即所以 (2) 由 arccosx0, 知sin(arccosx)0.所以(3) 反正切函数y=arctanxy=arctanx，定义域是，值域是，是单调增加的奇函数，有界，图象关于坐标原点对称.(4) 反余切函数y=arccotxy=arccotx，定义域是，值域是，是单调减少的函数，有界，图象既不关于坐标原点对称，又不关于y轴对称，所以y=arccotx既不是奇函数，又不是偶函数例5 求下列各式的值：(1) (1)arctan(-1)(3) (4)解 由定义得：(1)arctan0=0 (2) arctan(-1)=(3) = (4) =5、小结，布置作业小结本次课主要内容：反函数的概念、基本初等函数的图像及性质课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第一章03课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）15 复合函数与初等函数 17 数列的极限教材和主要参考书教材：高等数学四川大学出版社 参考书：大学数学应用基础 高等数学（人教社、同济等）教学目的与要求：熟练掌握复合函数的定义及复合过程，及数列极限的定义与性质教学重点和难点： 重点： 复合函数的复合过程，及数列极限的定义与性质难点： 数列极限的定义教学内容与时间安排：（2课时）1、复合函数的定义及复合过程2、初等函数的定义3、数列的定义4、数列极限的定义5、数列极限的性质6、小结本次课内容、布置作业思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题1-5 1（1）（3） 2（1）（3）56习题1-7 2（1）（3）（5）3课后体会：第一章函数的极限与连续1、引入 球的体积是其半径的函数：.由于热胀冷缩，球的半径又随着温度变化，假定随变化的规律是，其中为常数.将代入，就得到对的函数.将一个函数代入另一个函数而得到的新函数称为由这两个函数构成的复合函数.2、复合函数的定义 定义1 设y=，u =，xD如果在D的某个非空子集上，对于x的每一个值所对应的u值，都能使函数y=有定义，则y是x的函数这个函数叫作由函数y=f(u)与u =复合而成的函数，简称为x的复合函数，记作y=，其中u叫作中间变量复合函数的定义域是注意：不是任何两个函数都可以构成复合函数.复合函数不仅可以有一个中间变量，也可以有多个中间变量.复合函数不仅可以由基本初等函数构成，而更多的是由简单函数（由基本初等函数通过有限次的四则运算得到）构成.例1函数和能否构成复合函数解 的定义域为，的值域为，显然，所以和不能构成复合函数.例2指出下列复合函数的复合过程. (1) （2） 解 (1)分解得 ， ，. (2)分解得，+2.小结：构成复合函数是由内到外，函数套函数；分解复合函数，是采取由外到内，利用中间变量层层分解. 例3 求下列函数的定义域和值域： (1) (2) 解 (略) 例4 设以，求.解 例5 设 (0)，求)解 设，则，于是.函数的表达式与字母无关，因此将字母t写成字母x，即得到.3、初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合而成的函数，叫作初等函数例如，.等都是初等函数本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数. 注意 分段函数不一定是初等函数4、数列的定义定义l 按照一定顺序排成的一列数，叫作数列组成数列的每个数都叫作这个数列的项第一个数叫作数列的第l项，记作；第二个数叫作数列的第2项，记作；第几个数叫作数列的第n项，也叫作通项，记作因此，数列一般可以写成形式；并记作，有时也简记作例如都是数列，它们的通项依次为数列可以看成是一个定义域为正整数集的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值而对应的函数的解析式就是数列的通项，即=5、 数列的极限例1 考察数列(1) (2) (3) (4) 定义2 如果当n无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数A，则称常数A是数列的极限，或者称数列收敛于A，记作当数列的极限存在且为 时，我们说数列收敛于，否则我们说数列是发散的.由上面的例题可知，对于一些简单的数列通过观察可以得到它们的极限，而稍复杂数列可以先对其通项进行恒等变形，然后再求它的极限.例2 设数列（其中是常数，且满足），求解 由等比数列求各公式可知由于，所以当无限增大时，无限趋近于零，所以无限趋近于，因此.例3 求解 注意到当无限增大时，无限趋近于零，所以有.定理l(唯一性) 如果数列收敛，则数列的极限是唯一的利用定理l可以判断某些数列的极限不存在例如,数列当为奇数时等于-1，当为偶数时等于l，因此当时，数列不收敛于唯一一个数，所以数列发散，即它的极限不存在对于数列,如果存在正数，使得一切都满足不等式,则称数列是有界的如果这样的正数不存在,就说数列是无界的 例如，数列 是有界的，因为取=2时，可使不等式 对于一切正整数都成立数列是无界的，因为不论取怎样大的正数，只要， 就有.在数轴上，一个有界数列的所有点都落在闭区间-，上定理2(有界性) 如果数列收敛，则数列一定有界由上述定理可知，如果数列无界，则数列一定发散据此可判定一类数列的发散性例如，数列无界，所以发散，即极限不存在 注意 如果数列有界，也不能断定数列一定收敛例如，数列有界，但它是发散的这就是说，数列有界是数列收敛的必要而非充分的条件 5、小结，布置作业小结本次课主要内容：复合函数的复合与分解；初等函数的定义；数列极限的描述性定义；数列极限的唯一性与有界性。课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第一章04课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）1.8函数的极限教材和主要参考书教材：高等数学四川大学出版社 参考书：大学数学应用基础 高等数学（人教社、同济等）教学目的与要求：熟练掌握时函数的极限，及时函数的极限教学重点和难点： 重点： 时函数的极限，及时函数的极限难点： 函数极限的定义教学内容与时间安排：（2课时）1、时函数的极限2、时函数的极限3、时函数的极限4、时函数的极限5、函数的左、右极限的及性质6、小结本次课内容、布置作业思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题1-8 2345课后体会：第一章函数的极限与连续1、引入 由于数列可看作一种特殊的函数因此，前一节我们实际上是研究了数列这种特殊的函数的极限在数列极限中，由于自变量只能取正整数，所以自变量只有这种变化方式.研究一般函数的极限时,自变量通常取实数，其变化过程有两种基本情况，即和下面分别讨论这两种基本情况的极限问题2、时函数的极限 x趋向于无穷大可以分为三种情形：(1) x趋向于正无穷大，记作，表示x正向无限增大的过程.(2) x趋向于负无穷大，记作，表示且无限增大的过程.(3) x趋向于无穷大， 记作，表示无限增大的过程.图图136考察时，函数以的变化趋势函数的图像如图l36，可以看出，当的绝对值无限增大时，的值无限接近于0.这时,我们把数0叫作当时的极限定义l 设函数在a (ao) 时有定义如果当的绝对值无限增大时，函数的值无限接近于一个确定的常数A，则叫作函数当的极限，记作 例如，当时，函数的极限是0，记作这里所提到的自变量的绝对值无限增大包含两种基本情形，即从某个值开始取正值无限增大(记作)和从某个值开始取负值时其绝对值无限增大(记作)定义2 如果当 ()时,函数的值无限接近于一个确定的常数，则叫作函数以当 ()时的极限，记作.例如，由图136知.这两个极限值与相等，都是0由上述讨论可知,如果,和都存在并且相等,则也存在并且与它们相等由定义可知，如果和有一个不存在，或两者存在但不相等，则不存在定理1A的充分必要条件是A图l37例l 讨论函数y=arctan x的极限. 解 作出函数y=arctan x的图像如图l37.当时，函数无限接近于常数，所以当时，因为 ,所以 当时，极限不存在3、 时函数的极限 可以分为三种情形：(1) ，它表示无限接近于，即，同时无限变小趋近于零.(2) ，它表示从点的右侧无限接近于，即，同时无限变小趋近于零.(3) ，它表示从点的左侧无限接近于，即，同时无限变小趋近于零.先看下面的例子.例3 分析下列函数的变化趋向. (1) 的变化趋向是什么？(2) ，当时，函数的变化趋向是什么？(3) ，当时，函数的变化趋向于确定的常数吗？定义4 设函数在点的某一邻域内(可以除外)有定义如果当无限接近于定值,即(不等于)时,函数的值无限接近于一个确定的常数，则叫作函数当时的极限，记作定义5 如果当时,函数无限接近于一个确定的常数A,那么就称A为函数当时的左极限,记为 或 .如果当时,函数无限接近于一个确定的常数A,那么就称A为函数当时的右极限,记为 或 .定理2 极限的充要条件是.例4 考察函数在处的极限解 因为当时，；当时，所以 由定理可知不存在.例5 考察极限和 (为常数) 解当时，函数的值无限接近于,所以 当时，函数的值无限接近于,所以例6 通过正、余弦函数的图象考察极限和的值 解当时，无限接近于0,无限接近于l,所以.例7 求函数当时的左右极限,并讨论极限是否存在 解 当时,函数的左极限为，右极限为 . 因为，所以极限不存在例8 讨论函数当的极限解 因为,所以0因此，有于是 注意 例9中，函数在=0点没有定义，但函数在=0点有极限.这就是说，函数在点是否有极限与函数在点是否有定义是无关的例9 当为何值时， 在的极限存在.解 由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限于是有， ，为使存在，必须有=，因此 当=1 时， 存在且 =1注意在求分段函数以及含有绝对值的函数分界点处的极限时，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在4、小结，布置作业小结本次课主要内容：函数的极限的描述性定义。课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第一章05课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）19无穷小量与无穷大量，110极限的运算法则教材和主要参考书教材：高等数学四川大学出版社 参考书：大学数学应用基础 高等数学（人教社、同济等）教学目的与要求：掌握无穷小量与无穷大量的定义与关系，熟练应用极限的四则运算法则求函数的极限教学重点和难点： 重点： 无穷小量与无穷大量的定义，极限的四则运算法则难点： 无穷小量的定义，极限的四则运算法则的灵活应用教学内容与时间安排：（2课时）1、无穷小量2、无穷大量3、无穷小量与无穷大量的关系4、无穷小量的比较5、极限的四则运算法则6、复合函数的极限法则7、小结本次课内容、布置作业思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题1-9 2（1）（3）（5）（7）356习题1-10 3（1）（3）（5）5（1）（3）6810课后体会：第一章函数的极限与连续1、无穷小量定义及其性质 定义l 极限是零的变量，称为无穷小量，简称无穷小例如，当时，都趋近于零.因此，当时，它们都是无穷小量.例如，当时，都趋近于零.因此，当时，它们都是无穷小量. 注意(1)说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向，如函数+3是当时的无穷小，但当时，+3就不是无穷小 (2) 绝对值很小的常数不是无穷小 (3) 常数中只有数0是无穷小.无穷小量的性质性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量；性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3 无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量； 性质4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量例1 求.解当时为无穷小，是有界函数，根据无穷小的性质，有如果，则可以看出，极限.设,则是当时的无穷小于是，即，函数可以表示为它的极限与一个无穷小的和 反之，如果函数可以表示为一个常数与一个无穷小的和，即=，则可以看出，定理1 在某个变化过程中，的充分必要条件是：在同一变化过程中，是一个无穷小量.2、无穷大量定义及其性质定义2 如果当(或时,函数的绝对值无限增大,则函数叫作当 (或)时的无穷大量，简称无穷大并记作.如果函数)当 (或)时是无穷大，且当充分接近(或的绝对值充分大)时，对应的函数值都是正的或都是负的，则分别记作例如，当时，都是无穷大量. 当时，都是无穷大量.注意 (1)说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向，如函数是当时的无穷大，但当时，就不是无穷大 (2)任意一个绝对值很大的常数都不是无穷大量。3、无穷小量与无穷大量的关系定理2 在自变量的同一变化过程中，如果是无穷大，是无穷小；反之，如果是无穷小，且0，则是无穷大。4、无穷小量的比较例如，当时, ，,都是无穷小，但即它们的商可以是无穷小，可以是无穷大，也可以是一个有极限的变量等等 定义3 设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又是在这一变化过程中的极限： (1)如果=0，就说是比高阶的无穷小，记作； (2)如果=，就说是比低阶的无穷小； (3)如果= (为不等于0的常数)，就说与是同阶的无穷小； (4)如果=1，就说与是等价无穷小，记作 例如，因为，所以当时，高阶无穷小. 因为，所以当时，是同阶无穷小. 因为，=1，=1，所以当时，互为等价无穷小量.4、 极限的四则运算法则在以下的讨论中只对的情形进行说明，但得到的结论对于自变量的其它类型的变化过程都是成立的定理l可推广到有限个函数的情形.定理l 如果，则 推论l 如果存在，为常数，则推论2 如果存在，为正整数，则.注意 (1)在使用上述运算法则时，要求每个参与运算的函数的极限都必须存在(2)在使用商的法则时，要求分母的极限不能为零例1 求下列极限.（1） （2） （3） （4）（5）求 （6）解 (1)直接计算(2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限运算法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的极限运算法则(3) 当时，呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的极限运算法则 (4) 当时，呈现型.先通分再求极限. (5) 当时，虽然分子、分母的极限都存在，但是因为分母的极限为零所以不能直接用四则运算求极限，可先进行分子有理化，然后再求极限. (6) 当时，因为分子分母的极限都不存在，所以不能直接用极限的运算法则用同除分子及分母，再根据四则运算法则求极限.注意 应用极限运算法则求极限时，必须保证每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用求函数极限时，经常出现， ，等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限. 常使用的有以下几种方法:(a) 对于型，往往需要先通分，化简，再求极限，(b) 对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，(c) 对分子、分母进行因式分解，再求极限.例2 求解 由于分子的次数比分母的次数高，如果用同除分子及分母，则得其分母极限为零，因此不能直接用极限的运算法则可考虑先求原函数倒数的极限。综合前面的例题，可得以下的结论：（结论对数列极限同样适用）5、 复合函数的极限法则定理2 设函数与满足条件： (1) (2)当时，且,则复合函数当时的极限存在，且由定理2可知，在一定条件下，求极限可以采用换元的方式例3 求解 .6、小结，布置作业小结本次课主要内容：无穷小、无穷大的概念及相互的关系与性质；对无穷小进行比较；极限的四则运算法则；课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第一章06课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）1.11 两个重要极限教材和主要参考书教材：高等数学四川大学出版社 参考书：大学数学应用基础 高等数学（人教社、同济等）教学目的与要求：掌握极限存在的两个准则及两个重要极限的应用教学重点和难点： 重点： 两个重要极限的应用难点： 两个重要极限的应用教学内容与时间安排：（2课时）1、极限存在的两个准则2、重要极限 的应用3、重要极限的应用4、小结本次课内容、布置作业思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题1-11 1（1）（3）（5）（7）2（1）（3）3（2）（4）（6）（8）课后体会：第一章函数的极限与连续1、极限存在的两个准则准则l(夹逼准则) 如果,对于点的某一邻域内的一切 (点可以除外)都有不等式成立，且，则准则2 单调有界数列必有极限 例如,数列是单调增加的，且对一切正整数有 ,即数列有界，因此该数列一定有极限即 .2、两个重要极限 (1) 重要极限 .例1 求.解 例2 求.解 令 ，当时，因此有.例3 求.解 对分式的分子和分母同除以，然后再利用例2的解法，即可求得极限。例4 求.解 例5 求 解 =(2) 重要极限.或例6 求.解 例7 求极限.解 所求极限可分为设，则当时，有，于是.例8 求极限.解 设，则时，于是.例9 求极限.解 3、小结，布置作业小结本次课主要内容：两个重要极限的灵活应用课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第一章07课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）1.12 函数的连续性教材和主要参考书教材：高等数学四川大学出版社 参考书：大学数学应用基础 高等数学（人教社、同济等）教学目的与要求：掌握函数连续的定义、函数间断点的定义及分类、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质教学重点和难点： 重点：函数连续的定义、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质难点：函数连续的定义、闭区间上连续函数的性质教学内容与时间安排：（2课时）1、 函数的增量2、 函数连续的定义3、 函数的间断点4、 初等函数的连续性 5、 闭区间上连续函数的性质6、 小结本次课内容、布置作业思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题1-12 2 3（1）（2）（3）（4）56课后体会：第一章函数的极限与连续1、引入函数的增量现实生活中，许多量都是连续变化的，如气温气压的变化，植物的生长，人的身高体重的变化等它们作为时间的函数，当时间变化很微小时，这些变化也很微小。这些现象反映在数学上就是函数的连续性 定义l 如果函数在点的某一邻域内有定义，当自变量由变到时，函数对应的值由变到，则差叫作自变量的增量(或改变量)，记作，即 而差叫作函数在处的增量，记作，即 = 由式可得 将式代入式，得函数增量的另一种表达形式： =. 注意 (1) 是一个整体记号，不能看作是与y的乘积(2) 可正可负，不一定是“增加的”量例1 设,求适合下列条件的自变量的增量和函数的增量. (1)由l变化到0.2 (2)由1变化到1+(3)由变化到+2、函数连续的定义 观察图1-50知，函数所表示的曲线在点(，)处连续,当时，图1-50 图1-51观察图151知，函数所表示的曲线在点(，)处不连续，当时，=定义2 设函数在点的某个邻域内有定义,如果当自变量在点处的增量趋于0时，函数相应的增量=也趋于0,即.则称函数在点处连续例2 证明函数=在点处连续解 因为所以，函数)=在点处连续 定义3 设函数在点的某个邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即,则称函数在点处连续 由定义3知,在点连续必须满足以下三个条件： (1)函数在点及其近旁有定义； (2)函数在点处有极限，即存在； (3)极限值等于函数值，即= 类似地，可以给出函数在一点左连续及右连续的概念 定义4 如果函数在点处的左极限存在且等于，即=，则称函数在点处左连续；如果函数在点处的右极限存在且等于，即=，则称函数在点处右连续 结论：如果函数在点处连续，则它在点处左连续且右连续；反之，如果函数在点处左连续且右连续，则它在点连续例3 设某城市出租车白天的收费（单位：元）与路程（单位：km）之间的关系为.图1-52讨论函数在处是否连续.3、函数在区间上连续的概念 如果函数在区间(，)内每一点都连续，则称函数)在开区间(,)内连续，区间(，)叫作函数的连续区间 如果函数在开区间(，)内连续，且在点右连续，在点左连续，则称在闭区间,上连续 在闭区间,上连续的函数，是,上的一条连绵不断的曲线，如图152 例4 证明在区间(-，+)内连续 证明思路 设是区间(-，+)内的任意一点，先证在点处连续又因为是区间(-，+)内的任意一点，所以，在区间(-，+)内连续4、函数的间断点 定义5 如果函数在点处不连