第20章四边形知识点总结与例题分析.doc

四边形知识点整理图形性质判定平行四边形边：平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角：平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线：平行四边形的对角线互相平分。边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线：（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形边：矩形的对边平行矩形的对边相等角：矩形的四个角都是直角；对角线：矩形的对角线互相平分 矩形的对角线相等角： （1）有三个角是直角的四边形是矩形；(2)有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线：（3）对角线相等的平行四边形是矩形（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形注：由平行四边形得到矩形需添加一个独立条件，由四边形得到矩形需要添加三个独立条件菱形边：菱形的对边平行菱形的四条边都相等角：菱形的对角相等；对角线：菱形的对角线互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角边：（1）四条边都相等的四边形是菱形（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线：（3对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形正方形边：正方形的对边平行正方形的四条边都相等角：正方形的四个角都相等；对角线：正方形的对角线相等并且互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角定义法：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。判定2：有一个角为直角的菱形是正方形。等腰梯形边：两底平行，两腰相等角：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等；对角线：等腰梯的对角线相等定义法：两腰相等的梯形是等腰梯形定理1：在同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形2、梯形问题常见辅助线做法：（1）平移梯形一腰 即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线，将梯形分割成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给的问题。 （2）平移梯形的一条对角线 即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线，将梯形割补成与之等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给的问题（3）作高线：过上底的两个端点作梯形的高线，将梯形分成两个直角梯形和一个矩形（4）延长两腰：延长梯形两腰交于一点，构成两个三角形（5）全等变换：连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形。3、正方形：判定方法（不要记，只须理解）1：对角线相等的菱形是正方形。 2：对角线互相垂直的矩形是正方形，.对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。 3：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。 4：一组邻边相等的矩形是正方形。 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 7：有一个角为直角的菱形是正方形。 8：既是菱形又是矩形的四边形是正方形20、（2007安徽）如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，BAD和CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQBA交AD于点Q，PSBC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若ABD=90，求证：ABRCRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定。专题：证明题；开放型。分析：（1）可先证CRBD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得BCR=DCR，进而求得BAR=DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证ABRCRD；（2）由PSQR，PSRD知，点R在QD上，故BCAD又由AB=CD知A=CDA因为SRPQBA，所以SRD=A=CDA，从而SR=SD由PSBC及BC=CD知SP=SD而SP=DR，所以SR=SD=RD故CDA=60度因此四边形ABCD还应满足BCAD，CDA=60解答：证明：（1）ABD=90，ABCR，CRBDBC=CD，BCR=DCR四边形ABCR是平行四边形，BCR=BARBAR=DCR又AB=CR，AR=BC=CD，ABRCRD（2）由PSQR，PSRD知，点R在QD上，故BCAD又由AB=CD知A=CDA，因为SRPQBA，所以SRD=A=CDA，从而SR=SD由PSBC及BC=CD知SP=SD而SP=DR，所以SR=SD=RD故CDA=60因此四边形ABCD还应满足BCAD，CDA=60（注：若推出的条件为BCAD，BAD=60或BCAD，BCD=120等亦可）点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件21、（2005四川）己知：如图，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF（1）求证：ABECDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定。专题：证明题；探究型。分析：（1）、根据平行四边形的性质和全等三角形的判定，在ABE和CDF中，很容易确定SAS，即证结论；（2）、在已知条件中求证全等三角形，即ABECDF，MBFNDE，得两对边分别对应相等，根据平行四边形的判定，即证解答：证明：（1）ABCD中，AB=CD，A=C，又AE=CF，ABECDF；（2）四边形MFNE平行四边形由（1）知ABECDF，BE=DF，ABE=CDF，又ME=BM=12BE，NF=DN=12DFME=NF=BM=DN，又ABC=CDA，MBF=NDE，又AD=BC，AE=CF，DE=BF，MBFNDE，MF=NE，四边形MFNE是平行四边形点评：此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论1、（2008咸宁）如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论考点：矩形的判定。专题：动点型。分析：（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证解答：证明：（1）CE平分ACB，1=2，又MNBC，1=3，3=2，EO=CO，（2分）同理，FO=CO，（3分）EO=FO（4分）（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形（5分）EO=FO，点O是AC的中点四边形AECF是平行四边形，（6分）CF平分BCA的外角，4=5，又1=2，2+4=12180=90即ECF=90度，（7分）四边形AECF是矩形（8分）点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论2、（2008宿迁）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F（1）求证：AB=CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。专题：证明题；探究型。分析：（1）根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定ABEFCE，从而得到AB=CF；（2）由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，BAE=CFE，ABE=FCE，E为BC的中点，EB=EC，ABEFCE，AB=CF（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形理由如下：ABCF，AB=CF，四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，四边形ABFC是矩形点评：此题主要考查了学生对全等三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的判定等知识点的掌握情况3、（2008南京）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE求证：（1）ABFDCE；（2）四边形ABCD是矩形考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可解答：解：（1）BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，BF=CE四边形ABCD是平行四边形，AB=DC在ABF和DCE中，AB=DC，BF=CE，AF=DE，ABFDCE（2）ABFDCE，B=C四边形ABCD是平行四边形，ABCDB+C=180B=C=90四边形ABCD是矩形点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点全等三角形的判定是本题的重点9、（2006济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形考点：矩形的判定。专题：方案型。分析：（1）和题目给出的方法是相同的，只不过和换了换位置而已；（2）可先把四边形沿对角线分成两个三角形，然后再按照题目给出的方法进行拼接解答：解：（1）如图所示：（2）如图所示：17、（2010潼南县）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，1=2，3=4（1）证明：ABEDAF；（2）若AGB=30，求EF的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：计算题；证明题。分析：（1