建立模型的绝招.doc

建立模型的绝招一 分类物理模型一般有三类：一类是把研究对象视为抽象的理想模型。这类模型有：质点、刚体、弹性体、理想气体、弹簧振子、单摆、点电荷、点光源、薄透镜、卢瑟福模型等；另一类是把物理过程抽象为理想模型。此类模型重要的有：匀速直线运动、完全弹性碰撞、等温变化、恒定电流等；还有一种是将物理过程发生的条件抽象模型化.1研究对象的模型化牛顿的质点模型、玻尔的原子模型、理想气体模型等均属“对象模型”。它的特点是将研究对象简化成某种物理模型，从而使问题简化、直观、形象。例1 用r表示两个分子间的距离EP表示两分子间相互作用势能，当r = r0时两分子间斥力等于引力。设两分子距离很远时EP= 0，则 A当rr0时，EP随r的增大而增加B当rr0时，EP随r的减小而增加C当rr0时，EP不随r而变D当r = r0时，EP=0解析 我们将研究对象相互作用的两分子抽象为一个轻质弹簧联系着两个小球的物理模型，当弹簧不伸长时，即相当于两分子距离r = r0，引力等于斥力；若rr0时，相当于拉伸弹簧，显然势能增加；若rr0时相当于压缩弹簧，显然势能也增加；所以A、B正确。注意题目已规定两分子距离很远时，EP=0，所以不能再认为D正确。例2均匀木梯EF，斜靠在光滑的竖直墙面上，梯的下端F放在有摩擦的水平地面上。梯脚和地面间的静摩擦因数是0，求：（1）梯子和水平地面所成的角最小为多少时梯子才不致于滑动？（2）若=60，则梯脚与地面的静摩擦因数0至少要多少，梯子才不致于滑动？ （3）又若= 60，梯子的重量不计，有一个重600N的人从梯脚爬到梯顶而不致使梯子滑动，此时0至少要多大？解析把梯子看作是一个刚体，本题表面上看作一道题目，实际上给了不同数据的三个小题。分析梯子的受力情况。（1）（2）题如图2所示。梯子共受到四个力的作用：重力G，支持力NE和NF，地面给梯子的静摩擦力f。根据刚体上力的可传递性原理，梯子水平方向上受到平衡的作用力有NE = fo，fo是静摩擦力，它的最大值fm=0NE，竖直方向上又有NF = G。以F点为转轴则有M=0可列出相关方程。（3）题中，不计梯的重力，但梯上的人G对梯的压力值为G受力如图3所示。其平衡条件也是=0，和M=0，同时使用后求解。设最小的角度为，此时f已达到最大静摩擦力fm =0NF，根据坚直方向上的平衡条件则有NF = G，fm=0G，以F为支点，由Mi=0的力矩平衡条件得出把NE = fm=0G代入上式，ctg= 20当0为已知数，则角其最小为crc ctg 20。改变题设条件，若= 60是一个定值，此时最大静摩擦因数0至少是多大。实际上也就是让静摩擦力达到最大值。分析类似（1）题，同样取F作为支点，则有NE = fm = NE0 = G0不计梯的重量，让人爬到梯顶，梯仍不滑动，也是要求静摩擦力达到最大值，此时竖直方向上NF = G（人重量），同样取F为支点，根据力矩平衡条件，列出下式：NE ABsin60= GABcos600GABsin60= GABcos600= ctg60=0.58表示最大静摩擦因数最小是0.58。求解本题时，把梯子视为刚体模型是十分必要的。三个小题采用同样的解题方程式。即物体平衡条件： i=0和Mi=0，其中i是指刚体受到的第i个力。Mi为第i个力的力矩代数值。此外梯子看作是均匀的，则简化问题，其重力作用点在几何中心上。解题过程中梯子长度及梯子自重值，不必具体给出。在运算过程中可消去。由此可知其关键是0与角之间的对应关系。2、条件的模型化物理过程总是在一定条件下发生，将条件理想化以便突出主要的物理现象与过程，这便是条件模型方法。例如“光滑”、“均匀”、“轻质”等均属条件模型。例3在粗糙水平面上放一个楔形木块a，如图4A若物体b在a的斜面上匀速下滑，则 Aa保持静止，而且没有相对水平面运动的趋势Ba保持静止，但有相对水平面向右运动的趋势Ca保持静止，但有相对水平面向左运动的趋势D因未给出所需数据，无法对a是否运动和有无运动趋势作出判断解析 这里很重要的一个条件是“b匀速下滑”，利用这个条件可将问题简化：静止与匀速直线运动同属平衡态，因此b匀速直线下滑的条件等价于它静止在斜面上的条件，而静止在斜面上又等价于b粘在斜面上（图4B），经过条件模型的类比，我们立即可判断A正确。使原本简单的陈题，附加上诸如摩擦等各种条件，从而变成具有相当难度的新题，是命题的一种方法，而陈题为新题修筑了解题的台阶，请看下面这道思考题。例4如图5（甲）所示，两块截面完全相同的梯形物块A和B质量均为M，放在光滑的水平面上，A与B的接触面也是光滑的，且与水平成角，今用一水平力F椎A，为了使A不致沿A、B接触面向上滑动，则推力的大小应符合什么条件？解析 这是一个常见的典型性题目，求解的方法也并不复杂，只要用整体法求出a = F/2M，再分析A的受力，确定A不致沿斜面向上滑动的极限条件是地面支持力恰为0，即：NcosMg，再对A运用牛顿第二定律，得出F- Nsin=mAa便可求得：F2Mgtg。新题取自上面陈题，但将“A、B质量相同”换成“质量分别为mA、mB”，且附加了“它们与桌面的动摩擦因数为（A、B之间光滑）”。同样要求“A不沿B上滑”，求：（1）应满足什么条件？（2）推力F的最大值不能超过多少？新题的解题基本思路：A、B不发生滑动的条件，与陈题相同，但NcosmAg式不包含，无法得出的条件，而推力要推动A、B整体的条件是：Nsin-（mBg+Ncos）0（对B），由如图5（乙）所示，分析mA的加速运动：F-（mAg-Ncos）-Nsin=mAa，由、 由于加上附加条件，使一个常见题上升为具有一定难度的压轴题。3、过程的模型化过程模型是将复杂的过程抽象为简单的物理模型的方法。例如我们已学过匀速圆周运动，匀速直线运动，自由落体运动，简谐运动等均属过程模型。利用过程模型可将一个复杂的物理过程抽象为一个我们熟知的问题加以解决。例5一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角=30，如图6所示，一条长为L的轻绳一端固定在圆锥体的顶点o处，另一端拴着一个质量为m（可视为质点）的小物体，周运动，求圆锥面对小物体的支持力N的大小。解析 以小物体为研究对象，确定受力情况如图7所示，抓住教材上“圆锥摆” 物理模型的受力特点，设想将支持力N沿轻绳拉力反方向和竖直向上两方向分解，得两个分力为运用圆锥摆周期公式列出方程N = mg（6sin2-cos）/6sin 取N=0得出有关结论是我们后面要讨论的临界值问题。例6图8中MN为一半径是R（较大）的光滑圆弧轨道，O是它的圆心，O是它的最低点，今让一小球A自O自由下落，另一小球B自靠近O点沿轨道释放，不计空气阻力，试问：哪个小球先到达0点？解析 因轨道半径R很大，所以小球可视为质点（对象模型）。小小球B将以O为中心作往复运动，因R较大，轨道光滑，B离O十分近，所以B的运动可视为M摆长为R的单摆运动（过程模型）。由显然，本题若不将小球B的运动抽象成“单摆”运动这个物理模型研究，而用一般的动力学方法t2将很不容易求出。水平面AB相切于A点，AEC弧长为8cm，设小球分别从C点静止开沿圆弧，滑至A点的时间分别为t1、t2、t3，试比较：t1、t2、t3的大小关系。解析 请同学们先自行思考求解，然后再对比性地看看下面的分析。第一步，分析效果，从分析受力着手，可知小球在圆弧面上作变加速运动，加速度变小，速度增大，而切向加速度由重力沿切向的分力获圆弧面对球的支持力与摆线的拉力完全对应，第三步，取单摆模型进行量守恒，可知沿圆弧下滑时，其任一点位置均低于斜面，平均速度较大，沿斜面平均速度则较小，故t1t2，该题的结论为：t1t2 = t3。例8一段凹槽A倒扣在水平长木板C上，槽内有一小物块B，它桌面上，槽与木板间的摩擦不计，小物块与木板间的动摩擦因数为。A、B、C三者质量相等，原来都静止。现使槽A以大小为v0的初速向速度互换，求：（1）从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C运动的路程。（2）在A、B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小。解析 该题所述物理过程比较复杂，但利用碰撞模型及匀速运动模型可作出分析。从局部看，A、B之间通过碰撞交换速度。A与C之间无摩擦力作用，它们之间不能交换动量。因此，A与B碰撞后，除第一次A保持静止外，其余每次A均将以新的速度作匀速直线运动。B与C之间只要存在速度差，便可凭借滑动摩擦力的冲量而交换动量，这与子弹打木块模型类似，也是一种广义的碰撞模型。从整体角度看，B起着“中介”作用，靠B与A、C交替碰撞，使A、B、C动量发生变化，但三者构成的系统动量守恒。由动量守恒定律易求得：A、B第一次碰撞后B、C达到的共同速说明B与C达到相同速度时尚末与A发生第二次碰撞。假设A与B经第（n-1）次碰撞后，B与C最终具有共同速度vn-1，则当A与B发生第n次碰撞后，A的速度变为vn-1；又设此后B与C最终具有的共同速度为vn，由动量守恒有mv0 = mvn-1+2mvn故这就是B、C共同速度的递推公式，也是隐含在模型中的数学特征。其中n = 1时，vn-1表示未碰撞前B、C的共同速度，此时应有vn-1= 0（n=1）。由递推公式可得（这比评分标准的解答简捷）：由于B、C速度不断减小，每一次B、C达到共同速度之前B都不可能与A发生碰撞，这就保证了递推公式的成立条件。因此，B与A刚两个简单的数字模型：模型1两正数和为常数，则两正数之积在两正数相等时取极大值。证明 设x、y为两正数，其和为常数，即x + y =c，则其积为xy = x（cx）=（xc/2）2 + c2/4当x = c/2，即x = y时，xy取极大值c2/4例9如图11所示，一端封闭的玻璃管总长为100cm，竖直放置，30cm高的水银柱封闭一段70cm长的气体，室温为27，大气压为76cmHg，问管内空气柱的温度应升至多高，才可将水银全部排出？解析 有这样一种误解，认为管内空气体积膨胀至100cm长气柱时，将水银全部赶出，此时对应的为最高温度根据p1V1/ T1=p2V2/ T2，T2=307.3K其实，在这种情况下，气体体积V的数值与压强p的数值之和恰为常数，即70+30+76 =176，只有当V=1762 = 88时，pV之值才取极大值由气态方程pV/ T=常数，知此时对应的温度才为最高温度Tmax，即p1V1/ T1 = P2V2/Tmax，解得Tmax=313.1K达到这个温度时，气体体积达到88cm气柱长，此后，水银将自行排出温度与气柱体积对应函数图象如图12所示例10在如图13所示电路中，已知电源电动势及内阻分别为E、r，固定电阻值为R1，可变电阻总阻值为R2试讨论滑动触片由AB过程中电流表示数的变化情况解析 先讨论外电路的总阻值，设AK段电阻为Rx，则有Rx与（R2Rx）之和为常数R2，它们之积在Rx = R2Rx，即Rx= R2/2时取极大值。外电阻极大值为R外max=R1+R24。R外Rx图象如图14所示。因此触片从AB过程中电流先减小后增大，即从E/（r+R1）减小至E/（r+R1+R2/4），再增大至E/（r+R1）。模型2两正数之积为常数，则两数之和在两数相等时为最小证明 设x、y为两正数，且xy = c。f = x+y = x+c/x例11某列车允许的最大加速度是am，最大速度为vm，在直线上有甲、乙两站相距为s，试求列车从甲站出发到乙站停止所用的最短时间解 列车运动v-t图象如图16所示运动总时间为t = v/a1+v/a2+（s-s1-s2）/v其中s1 = v2/2a1，s2 = v2/2a2欲使时间最短，显然a1= a2 = am即t = v/am+ v/am+s/v（v/2am+v/2am）=v/am+s/vv/am与s/v是乘积为常数s/am的两个量， 由数学模型2知，tmin=vm/am+s/vm二 建立物理模型应注意以下几点：1掌握事物本质符合客观实际例12一质量为m的金属球上装有一细杆，细杆的一端用铰链与墙连接，球下面垫一木板木板放在光滑地面上如图17所示，则 A用水平力将木板向右匀速拉出，拉力F=mgB用水平力将木板向右匀速拉出，拉力FmgC用水平力将木板向左匀速推出，推力FmgD用水平力将木板向左匀速推出，推力Fmg解析：解本题时，不少人把金属球当成质点而选择了A，结果判断错误原因是建立质点模型需要满足物体大小可以忽略不计或者物体只作平动运动而本题中的金属球只能转动不能平动，又不能忽略其半径，因此必须建立刚体模型对金属球作力的分析如图17（b）所示，由刚体的平衡条件则有fR =（mg-N）（L+R）。可见mgN0，所以Nmg对于木板，因只作平动，可以看成质点，故F = f= f = Nmg，见图17（c）同理可得向左推时，Fmg，故应选B、C例13在光滑水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线2、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v0射向它们（如图18）设碰撞中不损失机械能则碰后三个小球的速度可能值是 Cv1= -v0/3，v2 = v3 = 2v0/3Dv1 = v2 = 0，v3 = v0解析：因题中给出“不损失机械能”的条件，显然小球之间碰撞可以看成完全弹性碰撞这里关键是如何正确地建立“过程模型”若把2、3球视为整体，建立1球和2、3球之间的二体碰撞模型，就会得出v1= -v0/3，v2 = v3 = 2v0/3而选C，其结果是错误的原因是两球之间碰撞时位移极小，而2、3两球又没有固连在一起，必须建立三球先后依次两两碰撞的过程模型从而得出v1 = v2 = 0，v3 = v0而选D的正确判断从以上两例可以看出，在解题过程中，必须掌握基本概念和基本规律，通过分析题意，抓住问题的本质，才能建立起符合客现实际的正确的物理模型2注意分析比较 克服思维定势例14一质量为100g的小球从0.80m高处自由下落到一厚软垫上若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.20s，则这段时间内软垫对小球的冲量为_（取g =10 m/s2，不计空气阻力）（1994年全国高考第27题）解析：许多学生受到“铁锤打道钉”、“钢球落在钢板上”一类问题的思维定势的影响，在小球和软垫作用时，忽略了重力的作用，得出冲量为0.4Ns的错误结果事实上，前一类问题属于“硬碰撞”，冲撞力远远大于铁锤或小球的重力而本题属于“软碰撞”，冲撞力较小，小球的重力不可忽略由自由落体公式再由动量定理F合t = mgtFt = 0mv可解得所求冲量Ft= 0.6Ns可见，采用“软着地”和“硬着地”不同的物理模型，相对误差竟达到了50例15一水平传送带长度为16.5m，绷紧的皮带在轮子的带动下始终以3m/s的速度作匀速运动（如图19所示），若将一静止的物体轻轻地放在传送带的一端，则物体到达另一端所用的时间为_设物体和传送带之间的动摩擦因数为0.1，g取10 m/s2解析：有些学生直接利用匀速直线运动公式，得出t = 5.5s的错解原因是他们受某些生活经验的误导，认为物体一放到传送带上，立即和传送带一起作匀速直线运动如果仔细分析，本题中传送带和物体间的动摩擦因数比较小，传送带的速度比较大（接近于中速行驶的自行车的速度）因此，物体的运动应分两个阶段，先是在滑动摩擦力的作用下向右作初速度为零的匀加速直线运动，直到停止滑动后才与皮带一起作匀速直线运动建立了两段运动的过程模型后，很容易求得a = f/m=g，所以 t = t1+ t2 = 7s3运用数量级估计 作出正确判断例16一对长6.0cm、相距0.20cm的平行金属板，加上2.0V的电压，产生匀强电场速度为3.010 m/s的电子流，以平行极板的方向进入电场，求电子离开电场时，偏离原来方向的角度有多大？解析：显然，由于电子在极板间只受竖直方向的电场力，建立“类平抛”的物理模型，很容易求得偏角 = 0.67需要指出的是，在题中并未指明忽略重力的情况下，我们为什么没有考虑电子所受的重力？数量级是10-16N，而电子的重力G =mg=9.110-3110N，数量级是10-29N，二者相差13个数量级，即使电子换成质子（m =1.71027kg），也相差10个数量级故凡属这一类问题，在一般的情况下，不考虑带电粒子的重力是完全合理的例17初中练习册中有这样一道习题：估算大衣镜玻璃的厚度，可以用手指接触大衣镜的玻璃，看到手指的像和手指相距约6mm，则大衣镜玻璃的厚度是_mm（原题答案为3mm）该习题的编者显然要求学生根据平面镜成像物像对称的规律，物、镜距离是物、像距离的一半而得出的这一结果事实上，我们通常研究平面镜成像时，物体和平面镜的距离为零点几米至几米，而玻璃镜的厚度只有几个毫米，二者相差23个数量级，故玻璃对光的折射可以忽略不计，只考虑反射成像的物理规律而本题则不然，当手指接触大衣镜玻璃时，不仅要考虑玻璃背后水银面对光的反射，还必须考虑到玻璃对光线的两次折射，实际情况表明，对于厚度为3mm的玻璃镜手指和像的距离根本达不到6mm，而且随着视线与玻璃面法线夹角的增大而变小因此，设计本习题的失败正是错误地运用了平面镜成像的物理模型4善于把生活中的原型分解、简化、抽象成物理模型例18跳绳是一种健身运动，设某运动员的质量为50kg，他1min跳绳180次，假定在每次跳跃中，脚与地面接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，则运动员跳绳时克服重力作功的平均功率（指对跳绳的整个过程取平均笔者注）是W（g取10 m/s2）（1994年上海高考题）解析 本题直接取材于人们都很熟悉的生活现象，许多学生感到无从下手难度很大这里的关键有两点，第一是经分解、简化、抽象建立正确的物理模型第二是用功能关系理顺解题的思路首先，把跳绳的运动分解成脚脱离地面和脚接触地面两段过程在人脚跳离地面到落回到地面这段时间，由于运动速度比较小，空气阻力可以忽略，而且主要是身体（或质心）上下的平动，故可以建立竖直上抛运动的简化模型然后再考虑到，运动员跳绳时人体消耗生物能转化为跳起时的动能，而且正因为具有该动能才能克服重力作功，二者的数值应当相等这样，只要根据题中给出的条件和竖直上抛公式，求出跳起时的动能和平均跳一次的时间，就可以求出题中所要求的平均功率运动员平均每跳一次的时间为T= t/N = 60/180s = 1/3s，则每次在空中停留时间为T=（12/5）T =1/5s由竖直上抛公式，上升到最高点的时间t1= v0/g = T/2可得v0 = Tg/2 =1/21/510m/s= 1m/s故运动员跳绳时克服重力作功的平均功率为上面我们举出的7个例题，都属于前面提到的第一类或介于一、二类之间的物理问题真正的第二类问题，像“估算地球大气层总质量” （1984年全国高考题）、“用直尺测出杆秤秤砣的质量”（1993年全国高考题）等近几年已经在高考或各种竞赛的试卷中出现更有一些现实生活中的实际问题，虽然不适合于进行应试，但却是“小论文”、“小科研”中的研究对象和课题因此，在物理教学中引导学生正确地建立物理模型，对于培养学生解决实际问题的能力，提高科学素质是十分重要的