等比数列(二)

等比数列（二）学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法知识点一推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anamqnm(m、nN*)思考1如何推导anamqnm?答案根据等比数列的通项公式，ana1qn1，ama1qm1，qnm，anamqnm.思考2若已知等比数列an中，q3，a33，则a7_.答案243解析a7a3q433435243.知识点二等比数列的性质1如果mnkl，则有amanakal.2如果mn2k，则有amana.3若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列4在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列5如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.6等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.思考等比数列an中，_，a5a11_.答案a7a解析由等比数列的性质得a5a11a.a3a9a5a7，a7.题型一等比数列的性质及应用例1(1)在等比数列an中，若a3a69，a2a4a527，则a2的值为()A2 B3C4 D9(2)已知公比为q的等比数列an中，a5a9q，则a6(a22a6a10)的值为_答案(1)B(2)解析(1)因为an为等比数列，所以a3a6a4a59，又因为a2a4a527，所以a23.(2)a5a9q，a4a8，a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a2.跟踪训练1(1)在等比数列an中， a7a116，a4a145，则等于()A. B.C.或 D或(2)已知数列an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5_.答案(1)C(2)5解析(1)a7a11a4a146，又a4a145，或，q10或，q10或.(2)由a2a42a3a5a4a625，即a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.题型二灵活设项求解等比数列例2已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为，则此4个数为_答案8，2，或，2,8解析设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q61，aq(1q)，所以a2q31，当a2q31时，q0，代入式化简可得q2q10，此方程无解；当a2q31时，q0，代入式化简可得q2q10，解得q4或q.当q4时，a；当q时，a8.所以这4个数为8，2，或，2,8.跟踪训练2有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积为80，求出这四个数解由题意设此四个数为，b，bq，a，则有，解得或.所以这四个数为1，2,4,10或，2，5，8.题型三等比数列的实际应用例3为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 20.3，最后结果精确到整数)解设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1，经过n年后绿洲面积为an1，设2014年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1.依题意，an1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，所以an192%an12%(1an)an，即an1(an)，a1，是以为首项，为公比的等比数列，an()()n1，an()n1，则an1n，an150%，n，n，n3.则当n4时，不等式n恒成立所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.跟踪训练32015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.(1)求哪一年两林场木材的总存量相等？(2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？解(1)由题意可得16a(125%)n125a(120%)n1，解得n2，故到2017年两林场木材的总存量相等(2)令n5，则a516a425a42(16a25a)，故到2019年不能翻一番1在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()A. B. C. D.2等比数列an中，a24，a7，则a3a6a4a5的值是()A1 B2 C. D.3在正项等比数列an中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A3或1 B9或1 C1 D94已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b等于()A20 B18 C16 D145在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为_ 一、选择题1已知等比数列an，a11，a3，则a5等于()A B C. D2在等比数列an中，a1a2a32，a4a5a64，则a10a11a12等于()A32 B16 C12 D83已知等比数列an中，an0，a1，a99是方程x210x160的两根，则a40a50a60的值为()A32 B64 C256 D644设an是公比为q的等比数列，令bnan1，nN*，若数列bn的连续四项在集合53，23,17,37,82中，则q等于()A BC或 D或5已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)26已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于()A. B.或 C. D以上都不对7已知数列1，x1，x2，x2n,2是等比数列，x1x2x3x2n的值为()A.n B.2n1 C2n D22n1二、填空题8已知等比数列an满足a1a24，a2a38，则a5_.9已知等比数列an中，a3a114a7，数列bn是等差数列，且a7b7，则b5b9_.10已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.11若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_三、解答题12三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数13“猴子分苹果”问题：海滩上有一堆苹果，五只猴子来分，第一只猴子把苹果分成五等份，多一个，于是它把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份，多了一个，它把多的一个扔到海里，取走一份；以后的3只猴子都是如此处理问原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？当堂检测答案1答案D解析设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1an知0q1，由a2a86，得a6.a5，a4a6q5.解得q，2.2答案C解析a3a6a4a5a2a74，a3a6a4a5.3答案D解析由3a1，a3,2a2成等差数列可得a33a12a2，即a1q23a12a1q，a10，q22q30.解得q3或q1(舍)q29.4答案B解析由题意可得2a41216a8，又1228bb18.5答案8解析设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2ac84，因为a2b0，b2(舍负)所以这3个数的积为abc428.课时精练答案一、选择题1答案C解析根据等比数列的性质可知a1a5aa5.2答案B解析q32，a10a11a12(a1a2a3)q92(23)2416.3答案B解析由题意得，a1a9916，a40a60aa1a9916，又a500，a504，a40a50a6016464.4答案C解析即an的连续四项在集合54，24,16,36,81中，由题意知，这四项可选择54,36，24,16，此时，q，若选择16，24,36，54，则q.5答案C解析设Ta1a3a5a2n3a2n1，Ta2n1a2n3a2n5a3a1，T2(a1a2n1)(a3a2n3)(a5a2n5)(a2n1a1)(22n)n22n2，T2n2，原式log2(a1a3a2n1)log2Tn2.6答案A解析不妨设是x2mx20的根，则其另一根为4，m4，对方程x2nx20，设其根为x1，x2(x1x2)，则x1x22，等比数列为，x1，x2,4，q38，q2，x11，x22，nx1x2123，.7答案C解析由题意得x1x2nx2x2n12，x1x2x2n2n.二、填空题8答案解析q2，a1a2a1(1q)4a1(12)3a1，a1，a524.9答案8解析a3a114a7a，a74(a70舍去)，b7a74(b5b9)，b5b98.10答案2n解析an单调递增，q0，又aa100，an0，q1，由条件得25，即25，q2或q(舍)，由aa10得(a1q4)2a1q9，a1q2，故an2n.11答案9解析由题意得，abp，abq，由p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或，解得：，解得：.pab5，qab4，pq9.三、解答题12解设三个数为，a，aq(a，q0)，由题，a22136，a6，q2或，三个数为3,6,12或12,6,3.13解设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次