磁场中的临界和极值问题

带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题 带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 1 直线边界 进出磁场具有对称性 如图所示 2 圆形边界 沿径向射入必沿径向射出 如图所示 一束完全相同的粒子 以相同 不同的初速度从边界某点进入匀强磁场时 所有粒子运动轨迹的圆心都在与直线上 速度增大 轨迹半径增大 所有粒子的轨迹均通过点 且组成一组动态的圆 填写圆的位置关系 我们将这一组圆叫做 v2 v1 方向 大小 入射速度垂直的同一条 入射 内切 放缩圆 由 得 o 大小 方向 相同 转动圆 y x 2010全国新课标1卷 25 如图所示 在0 x a o y a 2范围内有垂直于xoy平面向外的匀强磁场 磁感应强度大小为B 坐标原点O处有一个粒子源 在某时刻发射大量质量为m 电荷量为q的带正电粒子 它们的速度大小相同 速度方向均在xoy平面内 与y轴正方向的夹角分布在0 范围内 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a 2到a之间 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 1 速度的大小 2 速度方向与y轴正方向夹角的正弦值 2010全国新课标1卷 25 如图所示 在0 x a o y a 2范围内有垂直于xoy平面向外的匀强磁场 磁感应强度大小为B 坐标原点O处有一个粒子源 在某时刻发射大量质量为m 电荷量为q的带正电粒子 它们的速度大小相同 速度方向均在xoy平面内 与y轴正方向的夹角分布在0 范围内 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a 2到a之间 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 1 速度的大小 2 速度方向与y轴正方向夹角的正弦 解 1 设粒子的发射速度为 粒子做圆周运动的轨道半径为R 由牛顿第二定律和洛仑兹力公式 得 由 式得 当时 在磁场中运动时间最长的粒子 其轨迹是圆心为C的圆弧 圆弧与磁场的上边界相切 如图所示 设该粒子在磁场运动的时间为t 依题意 得 设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为 由几何关系可得 由 式得 由 式得 2 由 式得 在xoy平面内有很多质量为m 电量为e的电子 从坐标原点O不断以相同速率V0沿不同方向射入第一象限 如图所示 现加一垂直于xOy平面向里 磁感强度为B的匀强磁场 要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动 试问符合该条件的磁场的最小面积为多大 不考虑电子间的相互作用 所有电子的轨迹圆半径相等 且均过O点 这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心 半径为r的且位于第 象限的四分之一圆周上 如图所示 电子由O点射入第 象限做匀速圆周运动 解1 即所有出射点均在以坐标 0 r 为圆心的圆弧abO上 显然 磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积 由几何关系得 由图可知 a b c d等点就是各电子离开磁场的出射点 均应满足方程 x2 y r 2 r2 解2 设P x y 为磁场下边界上的一点 经过该点的电子初速度与x轴夹角为 则由图可知 x rsin y r rcos 得 x2 y r 2 r2 所以磁场区域的下边界也是半径为r 圆心为 0 r 的圆弧应是磁场区域的下边界 磁场上边界如图线1所示 1 两边界之间图形的面积即为所求 图中的阴影区域面积 即为磁场区域面积 磁聚焦概括 平行会聚于一点 一点发散成平行 区域半径R与运动半径r相等出射方向和入射点的位置有关 迁移与逆向 对称的物理思想 课堂总结动态圆的两种模型 1 放缩圆速度不变 速度发生变化 轨迹半径同 圆心始终在直线上 所有圆内切 2 转动圆速度不变 速度发生变化 圆的大小变 绕射入点转动 方向 方向 大小 大小 与速度方向垂直的同一 不 不 如图 磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里 PQ为该磁场的右边界线 磁场中有一点O到PQ的距离为r 现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出 它们均做半径为r的匀