2018高考数学复习解析几何课时达标检测五十一圆锥曲线中的定点定值存在性问题理.docx

课时达标检测(五十一) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若2，且.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a24，故所求椭圆的方程为1.(2)证明：由(1)得A1(2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x02，则直线QA1的方程为y(x2)，与直线x的交点E的坐标为，直线QA2的方程为y(x2)，与直线x的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m，则HEHF，从而kHEkHF1，即1，即2，由1得y.所以由得m1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：y21上的非坐标轴上的点，且4kOAkOB10(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；(2)判断OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4kOAkOB10，得10，化简得y2，因为点A，B在椭圆上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.结合得x4y，同理可得x4y，从而xx4yx4，为定值，yyy1，为定值(2)SOAB|OA|OB|sinAOB |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，SOAB|x1y2x2y1|1，因此OAB的面积为定值1.3(2017河北质量检测)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)，且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.二、重点选做题1A为曲线y上任意一点，点B(2,0)为线段AC的中点(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M，N两点，在圆x2y21上是否存在一点P，使得PM，PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设C(x，y)，A(m，n)，因为B(2,0)是AC的中点，所以所以又n，所以所求方程为x24y.(2)假设存在点P(x0，y0)，设M，N，直线MN的方程为ykx1，联立得x24kx40，则切线PM的方程为y(xx1)，将点P(x0，y0)代入化简得x2x1x04y00，同理得x2x2x04y00，所以知x1，x2是方程x22x0x4y00的两根，则x1x24y04，所以y01，代入圆的方程得x00，所以存在点P(0，1)，使得PM，PN分别为轨迹E的切线2已知椭圆M：1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线yxm交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，椭圆M的标准方程为y21.(2)由得3x24mx2m220.由题意得，16m224(m21)0，即m230，所以mb0)的离心率为e，过C1的左焦点F1的直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由解：(1)直线l的方程为xy20，令y0，得x2，即F1(2,0)，c2，又e，a26，b2a2c22，椭圆C1的方程为1.(2)圆心C2(3,3)到直线l：xy20的距离d，又直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2，r 2，故圆C2的方程为(x3)2(y3)24.设圆C2上存在点P(x，y)，满足|PF1|PF2|，即|PF1|3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(2,0)，F2(2，0)，则3，整理得2y2，它表示圆心是C，半径是的圆|CC2| ，故有2|CC2|2，故圆C与圆C2相交，有两个公共点圆C2上存在两个不同的点P，满足|PF1|PF2|.2如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故点G的横坐标为，解得k，故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB，使得S1S