水力学辅导材料3

水力学辅导材料水力学辅导材料3 3 水力学辅导材料3 一 第3章水动力学基础 2 教学基本要求 1 掌握恒定总流的动量方程及其应用条件和注意事项 掌握动量方 程投影表达式和矢量投影正负号的确定方法 会进行作用在总流上 外力的分析 2 能应用恒定总流的动量方程 能量方程和连续方程联合求解 解 决工程实际问题 3 了解液体运动的基本形式平移 变形 线变形和角变形 旋转 4 理解无旋流动 有势流动 和有旋流动的定义 5 初步掌握流函数 势函数的性质和流网原理 学习重点 1 掌握恒定总流动量方程的矢量形式和投影形式 掌握恒定总流动 量方程的应用条件和注意事项 重点注意和影响水体动量变化的作用力 2 能应用恒定总流的连续方程 能量方程和动量方程进行水力计算 内容提要和学习指导 3 6恒定总流动量方程恒定总流动量方程是 动量定理在液体流动中的表达式 它反映水流动量变化与作用力之 间的关系 恒定总流动量方程主要用于求解水流与固体边界之间的相互作用力 如水流对弯管的作用力 水流作用在闸门和建筑物上的动水压力 以及射流的冲击力等 1 恒定总流动量方程根据动量定理可导出恒定总流的动量方程式 为 3 9 恒定总流动量方程的物理意义表明单位时间内流出控制体与流 入控制体的水体动量之差等于作用在控制体内水体上的合外力 恒定总流的动量方程是个矢量方程 把动量方程沿三个坐标轴投影 即得到投影形式的动量方程 Fx Q 2v2x 1v1x Fy Q 2v2y 1v1y 3 10 Fz Q 2v2z 1v1z 式中 Fx Fy Fz是作用在控制体上所有外力的合力 沿x y z轴方向的分量 v1x v2x v1y v2y v1z v2z分别是控 制体进出口断面上的平均流速在x y z轴上的分量 1 2 2 QF 1 2为进出口断面处的动量修正系数 已知断面上的点流速u分布 规律时 可以按下式计算 3 11 Av2 值一般约为1 02 1 05 通常取 1 2 1 0计算 2 恒定总流动量方程的应用条件和注意事项a 水流是恒定流 并且控制体的进出口断面都是渐变流 但两个断面之间可以是急变 流 这与恒定总流能量方程的条件相同 这样在应用能量方程和动量方 程进行联解时不会出现适用范围的不一致 b 动量方程是矢量方程 方程中的流速和作用力都具有方向的 因此 应用动量方程解题必须建立坐标系 坐标系可以任意选择 但所选的坐标系应使流速和作用力的投影分 量越少越好 这样可以减少方程中的数 还必须注意 当流速或者作用力的投影分量与坐标方向一致时 则 为正值 否则应为负值 这一点在解题中经常容易发生错误 学员应特别注意 c 动量方程式的右端应该是流出液体的动量减去流入液体的动量 d 包括作用在控制体上的全部外力 不能遗漏 也不能多选 这也是解题中常F会发生错误的地方 外力通常包括重力 质量力 压力和周围固体边界对水体的反作 用力 求水流与固体边界之间的作用力是应用动量方程解题的主要任务 当所求的力的方向不能事先确定时 可以先假设其方向进行求解 如果求出该力为正值 表示假设方向正确 否则表示该力的实际作 用方向与假设方向相反 e 动量方程只能求解一个数 如果方程中的数多于1个 必须与连 续方程 能量方程联合求解 f 对于有分岔的管道 动量方程的矢量形式为 3 12 流出 vQvQF 3 7液体微团的运动形式在理论力学中 刚体有两种基本运动形式 即平移和绕某瞬时固定轴的转动 而液体能够流动 发生变形 因此液体微团具有四种基本运动形式 即 1 平移运动平移的速度为ux uy uz 2 线变形运动线变形速度为 3 13 x 3 角变形运动角变形速度为uzux 3 14 22zyzy 流入 dAuA2 zzuzyyuxxxu 21 1 1yxuxyuzxzuxuy 4 旋转运动旋转角速度为 3 15 22zyzyx 式中 i 边线变形速度 i 角变形速度 i 旋转角速度 在液体上述四种基本运动形式中 我们最关心的是旋转运动 它对 讨论液体的运动和运动的求解十分重要 如果液体微团的旋转角速度 x y z 0 则液体是无旋流动或有 势流动 存在流速势函数 当 x y z有一个不为0 则液 体作有旋流动或有涡流动 3 8平面势流的流函数和流速势函数 1 流函数平面流动中的流线方程uxdy uydx 0能够进行积分的条件是它必须是某函数 x y 的全微分 我 们把 称为流函数 流函数 存在的充分必要条件是满足连续性方程 也就是说 对于 连续的平面运动 流函数 总是存在的 流函数与流速之间的关系可以表示为 3 16 xyyx 流函数具有四个重要的性质1 在平面无旋运动中 流函 数满足拉普拉斯方程 即 3 17 022 yx在数学上把满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数 所 以 是调和函数 2 等流函数线就是流线 即 常数 它代表一条流线 3 两条流线的流函数值之差等于两条流线之间通过的单宽流量 4 流函数的增值方向是流速矢量方向逆时针旋转90 的方向 2 流速势函数有势流动的流场中必定存在一个流速势函数 x y z 流速势函数 对各个坐标轴的偏导数等于流速向量在该坐标轴 上的投影 即 3 18 也可以表示为d ux dx uydy 3 19 流速势函数具有下面四个性质1 某瞬时流速势函数 对某方向 的偏导数等于流速在该方向上的投影 2 流速势函数也满足拉普拉斯方程 即 也是调和函数 3 当势函数 常数 它表示一条等势线 4 流速势函数的增值方向与流速方向一致 21 1 1yxuxyuzxzuxuyuzu zzuyyuxxu uu 2 2 3 9流网原理在平面势流中 流速势函 数 等于不同常数时构成了一组等势线 流函数 为不同常数时代 表一组流线 这些等势线和流线构成的网格即是流网 流网有下列特征1 流线与等势线处处正交 也就是说流网是正交网 格 2 如果取 则流网构成正交方格 利用组成流网的流函数与流速势函数的性质 可以求解流场内任何 一点的流速和压强 思考题 3 10建立动量方程有哪些条件 应用时要注意哪些问题 3 11建立动量方程时如何建立坐标可以简化计算过程 3 12为什么边界对水流的作用力方向可以任意假设 3 13液体运动的基本形式有哪几种 3 14什么是平面流动 3 15什么是有势流动和有旋流动 有势流动如何判别 3 16什么是流函数和流速势函数 它们存在的条件是什么 有哪些性 质 3 17流网是怎么构成的 它具有什么性质 解题指导 例题3 4请参阅教材上的例3 11 例题3 5有一个水平放置的弯管 直径从d1 30cm渐变到d2 20cm 转角 6 0 如图所示 已知弯管1 1断面的平均动水压强p1 35000N m2 断面2 2的平均动水压强为p2 25840N m2 通过弯管的流量Q 150L s 求水流对弯管的作用力 解根据题意要求水流对弯管的作用力 应该用动量方程进行求解 1 取弯管的1 1与2 2断面之间的水体作为脱离体 如图 断面1 1和2 2两过水断面的动水压力可以按静水总压力的公式计算 2 分析作用在脱离体上的外力11v1Ryyxv2P2Ry Rx R P122Rx 断面1 1和2 2上的动水总压力分别为P1与P2 P1 p1A1 P2 p2A2 管壁对水流作用力R 它实际上是水流对管壁作用力R 的反作用力 二者大小大小相等 方向相反 这一作用力R 包括水流对管壁的动水总压力与水流对管壁表面作用 的摩擦阻力 如果求出作用力R 也就求得了水流对管壁的总作用力 R 为了计算方便 将作用力R分解为x和y方向上的两个分量Rx和Ry Rx 和Ry的方向可以任意假设 如果计算结果为正值 说明假设方向是 正确的 若为负值 说明假设方向与实际作用力方向相反 重力 脱离体内水体自重 垂直于水平面 对弯管水流运动没有影 响 3 建立x轴与y轴方向的动量方程 所取坐标系如图所示 取动量修正系数 1 2 1 0 沿x轴方向写动量方程 得xRPPvvQ 60cos 60cos 2112 smscm vAQ 12 2 3 2122313010 150 41 smscmvAQ 78 4 7 477232xx 150 42 NpPd48 24723500043 014 311221 NpPd4 811258 4042 014 3422222 假设方向正确 5 20265 407 4058 2472 12 278 4 15 010000 1 4 8118 2472 60cos 60cos21211221NvvQPPR x 沿y轴方向写动量方程得 060sin 60sin22 vQRPy 假设方向正确 4 27629 6205 214178 415 0100018 24 7260sin60sin232322NQvPRy 合力的大小为34264 2 7626 20262222 yxRRRN合作用力的方向为44533631 1tantantan 16 20264 276211 yxRR 所以水流对弯管的作用力为R R 方向与R相反 与x轴的夹角为 53 44 例题3 6如图所示 一个水平放置的三通管 主管的直径D 120cm 两根支 管的直径为d 85cm 分叉角 45 主管过水断面1 1处的动水压强水头p1 100m 水柱 通过的流量Q 3m3 s 两 根支管各通过二分之一的流量 假设不计损失 求水流对三通管的作用力 解根据题意要计算水流对三通管的作用力 必须用动量方程进行求 解 但是首先要求出两根支管断面上的动水压力 1 运用能量方程计算断面2 2和3 3上的动水压强 因为不计损失 而且三通管位于同一个水平面中 高程相同 建立1 1断面和2 2断面的能量方程211 A1 将上述各值和p1 100m 水柱 代入 能量方程 可以得到p2 100m 水柱 同理可得p3 100m 水 柱 所以p2 p3 9 8 105N m2 2 我们再运用动量方程求解水流对三通管的作用力 首先建立坐标系如图所示 取断面1 1 2 2和3 3之间的水体作为脱离体 作用在水体上的外力有断面1 1 2 2和3 3上的动水压力 三通管对水流的作用力R 将R分解为沿x轴和y轴方 向的分力Rx和Ry 三通管水平放置 不考虑重力对管内水流运动 的影响 建立x方向的动量方程 P1 2P2cos45 Rx Q22v2cos45 Q1v1gvpgvp22222 smdQQv 65 22 1 14 33442211 mgv35 9 06 1965 22221 smdQAQv 65 285 014 35 1 4422222 mgv35 9 06 1965 22222 112233Ddd311223v1P1P2v2P3v3x RoyxRx P1 2P2cos45 Q1 v2cos45 v1 根据三通管对称于x轴 可得 Ry 0所以水流对三通管的作用力 为R 3 24 105N 方向与R相反 例题3 7已知平面流动的流速分量为ux 2y uy 2x 试判别该流动是否为有 势流动 如果是有势流动