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初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算一、 有理数的基本概念：（一）常考点，易错点： 1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|x|=|，则x=_；若|x|=|4|，则x=_；若-|x|=-|2|，那么x=；若-|-x|=-|2|，那么x=4.互为相反数的两个数的平方相等。如果，那么a=_；若x2=(2)2，则x=_.5.注意乘方中括号的作用。（2）3的底数是_，结果是_；32的底数是_，结果是_；n为正整数，则（1）2n=_ _, (1) 2n+1=_ _。计算：（1）= ； （2）= ； （3） = ；（4）= （5） = 6.a的相反数是 ；a+b的相反数是 ；a-b的相反数是 ；-a+b-c的相反数是 ；变式训练：若ab，则a-b= ，-a-b= （二）绝对值的化简：7.绝对值即距离，则8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a0） |a| = （a0 ） （a0 ） 9.绝对值的非负性：（1）若|a|0，则a ； （2）若|a|a，则a ； （3）若|a|a，则a ； （4） ， 则；（5），则；（6）若|a|+|b|=0，则a 且b 小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。例1 已知：a1+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？例2.若ab0，求+的值例3.（1）如果x2，那么|1|1+ x|= ； 若|m1|=m1,则m_1. ； 若|m1|=1m,则m_1.（2）已知，且，则_例4.有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|CB0A1.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|cb|ac|+|b-a|a0cb2.数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a|a0b例5. 若-2a0，化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1.已知x-3,化简|3+|2-|1+x| 2. 若a0，则x+y的值为多少？ 2.解方程：|x-5|=8（四）两个重要的非负数：；a20； 例8.例9已知与互为相反数，求代数式二、 突破有理数的计算（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。例10.计算：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：例11.计算：（巧算）（1） （2）+例12.计算：（）（）（）（1）例13.例14.（1）（分组求和）1-2+3-4+2001-2002 （2）（倒序求和）1+3+5+7+99（三）利用幂的性质巧算：例15.计算：（1） （2
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