培养小学生的数感实践研究评审稿

1 培养小学生数感的实践研究培养小学生数感的实践研究 上海市静安区第一中心小学 童俊文 上海市静安区威海路第三小学 王洁琪 内容摘要 内容摘要 儿童在日常生活中也能积累起一些数感 但学校数学课程的学习是帮助学 生建立数感的主要渠道 本文作者认为数感是数的抽象意义与数的具体意义的 统一 是一种主动地 自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识 是人 的一种基本素养 本文着重阐述了在数概念的教学中 帮助学生形成数感的主 要途径与措施是 利用生活经验 借助直观形象 运用已有的数感及其他途径 在计算教学中 帮助学生形成数感效果明显的途径及其措施有 重视口算教学 提高估算意识 关注笔算算理和适当的算法多样化 关键词 关键词 数感 数概念教学 计算教学 一 问题的源起一 问题的源起 在日常教学中我们经常发现 有些学生对数的大小和运算结果比较敏感 能够作出比较迅速 准确的反应 而另外一些学生则恰好相反 比如 练习两 位数进位加法 11 19 得出等于 20 的错误答案 究其原因 仅仅是忘了 加上进位的 1 吗 教师进一步追问这些学生 19 和 20 是相邻的两个数 和 是 20 可能吗 他们立刻恍然大悟 显然 看似粗心致错 实际上却反映出学生 对数的感受性较弱 类似的 失误 还有许多 如 小丁丁的体重是 25 克 奶 奶今年 17 岁等 这些似乎滑稽可笑的答案 在数学教学中确实存在而且经常出 现 是学生缺乏与此相关的生活经验和常识吗 不 那为什么学生头脑中的 数 游离于他们的生活经验 不能自觉地与已有的常识建立起应有的联系呢 反思其中原因 我们认为 这固然与学生解题的不良习惯有关 但更重要的原 因还在于他们缺乏一定的数感 关于数感 在以往的教学中 没有引起我们特别的重视 常常认为数学教 学就是让学生学会正确地读数 写数 能够按照既定规则比较数的大小 完成 数的计算操作就可以了 很少有目的地让学生思考数的实际大小 更不会有意 识地引导学生用已有的数的知识去考察身边事物发展的数量规律 这就造成了 学生不能在数学知识与生活实际之间建立起自然的联系 不会从数的实际意义 上去理解 解释和解决问题 简而言之 学生单纯是为了学习数学而学数学 作为数学教师的我们 为了让学生学会解题 采用大量的各种形式的操练 最 后达到 条件反射 的程度 结果是学生的负担大大加重了 数感并没有因此 而得到增强 我们生活在一个 数字化 的世界 生活中处处都有数的存在 建立数感 不仅仅是为了学好数学 更重要的是它对于每一个人的生活和工作都有很大的 帮助 有了良好的数感后 当遇到与数有关的具体问题时 就能自然地 有意 识地与数学联系起来 并试图进一步用数学的观点和方法去处理问题 解释问 题 诚然 儿童在日常生活中也能积累起一些数感 但学校数学课程的学习是 2 帮助学生建立数感的主要渠道 这是毋容质疑的 事实上 学生在学习数学课 程之前 早已感知生活中的数 具有了一些数的意识 如果教师能够重视学生 数感的已有基础 结合具体内容的教学 有意识地培养 发展学生的数感 这 既是可能的 也是必要的 基于以上想法 我们在自己的教学中开展了培养学生良好数感的实践研究 二 概念的界定二 概念的界定 什么是数感 顾名思义应该是指对数的感觉 那么 什么是数的感觉呢 全日制义务教育 数学课程标准 实验稿 的解释是 数感主要表现在 理 解数的意义 并能用多种方法来表示数 能在具体的情境中把握数的相对大小 能用数来表达和交流信息 能为解决问题而选择适当的算法 能估计运算结果 并对结果的合理性作出解释 显然 这段话并没有给数感下定义 而是试图从 学习行为改变的角度 对数感在数学学习中的表现加以刻画 它的内涵相当广 泛 既包含数概念的理解 又包含运算概念的理解 既包括数的应用 又包括 算法的选择与运算结果的估计和解释 也正是由于内涵丰富 所以从概念界定 的需要来讲 显得不很明确 不够概括 为此 我们认为张奠宙教授的观点具 有更高的概括性 他指出 数感就是 数量意识 即能够用数量的意识 考察 事物发展的数量规律 1 然而 在数学科学里 数与量可以混为一谈 因为数是量的高度抽象 变 数与变量是同义词 但在小学数学中 数与量却是两个既有联系又有区别的概 念 例如 从数的角度讲 1 小于 10 从量的角度讲 1 千米大于 10 毫米 前 者是纯粹的 数感 后者是实实在在的 量感 此外 在中学物理教学中 数与量是必须严格区分的 从某种意义说 中学物理的重要任务之一就是帮助 学生精确分化各种有关的物理量 考虑到在小学数学教学中 我们既有必要抽象地解释数的意义 又必须联 系具体的量借助直观来帮助学生理解 例如 我们常常通过把 10 根小棒扎成 1 捆 抽象出 10 个 1 是 1 个 10 常常借助 1 米的十分之一是 1 分米 使 1 的 10 等分是或 0 1 直观化 也就是说 联系量来帮助学生建立数感 是小学数学 10 1 的主要教学策略 对小学生而言 数感的形成离不开量感的支持 缺了量感 数感也就成了无源之水 无本之木 没有实际意义了 其实 在实际生活中 人们常常会有意识地将一些现象与数量建立联系 从而使我们眼中看到的世界有了量化的意味 例如买了 1 千克橘子 会估计大 约有 14 个 这里 1 千克 单个橘子的质量与 14 个产生了联系 可见数与量 在现实世界里总是密不可分的 因此 我们认为数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一 是一种主动数的抽象意义与数的具体意义的统一 是一种主动 地 自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识 是人的一种基本素养 地 自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识 是人的一种基本素养 如同球员打球有球感 歌手唱歌有乐感一样 学生学数学也要有数感 建 立数感 是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础之一 也是 将数学与现实建立联系的重要桥梁 有了数感 学生在学习数学及相关学科时 就会感到左右逢源 得心应手 反之则会处处受制 1张奠宙 对 义务教育数学课程标准 理念部分的意见 数学通报 2005 年 12 期 3 三 帮助学生形成数感的方式三 帮助学生形成数感的方式 一 在数概念的教学中 帮助学生形成数感 一 在数概念的教学中 帮助学生形成数感 数概念的教学是数学教学的重要任务 其目的之一就是培养学生的数感 学生数概念的建立需要经历一个从 迷茫 到 醒悟 的过程 如何在这过程 中帮助学生形成数感 通过实践研究 我们发现 利用生活经验 借助直观形 象 运用已有数感 是在数概念教学中帮助学生形成数感的三条主要途径 1 1 利用生活经验 利用生活经验 利用学生生活经验帮助学生形成数感 这是小学生的年龄特点所决定的 数概念本身的抽象性和学生思维的具体形象性往往会产生矛盾 解决这一矛盾 的手段之一就是教师要善于把教学内容与学生的生活实际联系起来 从学生身 边的事入手 从他们已有的生活经验和熟悉的生活实际出发 让他们把所学的 知识和生活经验联系起来 了解其中的内在关联 从而为学生真正理解数的意 义 建立数概念和形成数感提供经验支撑 负数是学生数概念的一次重要扩展 在这之前 学生学习的都是 算术数 这些数与生活实际往往联系紧密 学生借助于生活实际感受这些数的含义相对 比较容易 负数对学生来说虽然也有一定的生活经验 但在学生生活中的直接 应用并不多见 概念的建立更为困难 因此 负数的教学更要从学生的实际出 发 创设现实情境 利用生活经验感悟负数具体的实际意义 然后通过实际应 用 初步理解负数的抽象意义 例如 学生看电视时经常看到天气预报 教学时就从列举学生熟悉的几个 城市的天气预报入手 让他们发现气温除了零度 零上温度 还有零下温度 怎样才能用数表示气温 使得零上 零下温度一目了然呢 在这过程中 学生 第一次真切的感受到 1 如果不用文字 仅用已学过的数 即非负数 不能明确区分零上 零下的气温 2 还有比摄氏零度更低的气温 需要用比零更小的数来表示 于是比较自然地促使学生产生用负数表示的想法 然后通过观察银行存折 记载情况 记录家庭收支情况等活动 引导学生用正负数表示一些日常生活中 具有相反意义的数量 感悟正负数的实际意义 进一步 启发学生 你能找出 生活中的正负数吗 促进他们从身边事物中挖掘一些生活中可以使用正负数 的例子 加深对正负数的理解 学生想到了班级同学的转进 转出 股票的盈 利与亏损 等等 个别学生还想到了医院中婴儿的出生与病人的去世也可以用 正负数来表示 可见 学生已经在用数学的眼光观察生活 去发现生活中的正 数与负数 而后的练习继续丰富学生的认识 并让他们尝试使用正数与负数 在最近一次教学正负数时 老师利用抗震救灾中出现的一个特殊现象 堰塞湖 创设了以下情境 如图 同时提出如下问题 水深水深60米米 20米米 水深水深20米米 海平面海平面0米米甲湖甲湖 乙湖乙湖 4 甲湖水面高度就是海平面高度 记作 0 米 那么甲湖水底高度记作 米 乙湖是堰塞湖 水底高度记作 米 水面高度记作 米 如果 乙湖内存有大量的水 水面还在不断上涨 说说堰塞湖溃坝的危险性 画面使 学生形象地感知堰塞湖所处位置 在应用正负数解答问题的同时 对堰塞湖的 危险性有了比较清晰的认识 一旦溃坝 水会把下游的村庄和农田冲垮 造成 极大的损失 通过看图回答 他们一边感叹数的应用可以帮助我们表示和解释 形形色色的有关现象 一边感悟到正负数的产生是为了表示具有相反意义的量 0 是正数与负数唯一的分界 这样 伴随着应用的适当拓展 抽象的正负数概 念逐渐清晰 原有的数概念范围得到了扩充 相应的数感也自然而然地建立了 起来 2 借助直观形象 借助直观形象 如果说利用生活经验形成数感是将儿童课堂以外的活动经验及其所见所闻 融入了数学学习 那么借助直观形象则可以说是利用了儿童善于形象思维的本 能 因此 通过教具的演示和学具的操作来帮助学生建立数概念 形成数感 也是小学数学教学不可或缺的手段 借助直观形象帮助学生形成数感的传统的 经典的方法就是利用计数器 计数器能与数位顺序表一一对应 同时通过计数器的演示 还能让学生看到满 十进一的过程 感悟十进制的构造 但计数器具有一定的抽象性 难以表现数 的实际大小 鉴此 我们在教学中还学习国外的经验 引入积木式的计数教具 块 条 板 即用一 块 小立方体表示 1 一 条 10 个 小立方体表示 10 一 板 100 个 小立方体表示 100 一 块 大立方体 由 10 板即 1000 个小立方体 组成 表示 1000 块 条 板的引入 更形象 更具体地为学生展示了数的大 小 简洁明了 学生看到几个大立方体几板几条几块小立方体就知道表示的是 几千几百几十几 对数感的形成有着比较直接的促进作用 在教学过程中 我 们发现 每个班级总有那么一些学生受到老师这种直观手段的启发 自发地想 到用图来表示 一个点就是一 块 一条线段就是一 条 一个正方形就是 一 板 例如 这样表示也非常形象 直观 这种学生自发想到的方法既是符号感的反映 更 是数感的表现 说明学生对数的组成已经很清楚了 从理论上说 块 条 板 图示 计数器在表示数的大小及其组成过程中是 一个从直观到抽象逐步递进的 链 然而 教学实践表明 对于一些学习能力 233 块 个 条 十 板 百 大块 千 5 强 块 条 板 图示 计数器 的学生来说 这个 链 在帮助他们认识数的实际大小与组成 增强数感方面 确实起到了积极的促进作用 因为 多数学生基于自己已有的经验 虽然也能 知道 233 由 2 个百 3 个十和 3 个一组成 但这一理解往往是抽象的 欠缺感 性认识支撑的 因而很难在具体情境中再现并灵活应用 而对于学习能力相对 较弱的学生来说 表现形式的多样性 使他们处在不断接受新事物的过程中 一种形式还没有完全适应 另一种形式就接踵而来 反而造成了干扰 对学习 产生不利影响 针对这一情况 我们的教学策略是 其一 将上述三种形式视为帮助学生认识数 理解数的直观手段 手段本 身不作为教学目标 如果要求每个学生掌握每一种表示方法 那就不仅本末倒 置 而且还有可能加重学生的学习负担 其二 允许学生各取所需 用自己喜欢的方法来表示 无论你用哪一种形 式来表示都是可以的 这就把选择的主动权交给学生 从而降低了学习的心理 负担 其三 对于个别抽象能力强的学生 他们不借助任何直观手段就已经能清 晰地说明数的意义与实际大小 则不强求他们一定要去使用这些手段 3 3 运用已有的数感去建立新的数感 运用已有的数感去建立新的数感 在学习某一数概念之前 学生并不是 一张白纸 且数学学习是一个循序 渐进 螺旋上升的过程 后一个知识的学习往往是建立在前一个知识基础上的 数感的建立亦是如此 教师可以从学生已有的数感出发 帮助他们建立新的数 感 以 万 的教学为例 考虑到学生已经有一千的数感 教学时可以结合身 边的例子来展开 如 全校有一千名左右的学生 那么一万名学生有多少呢 一个学校一千 一千一千地数 数十次 十个一千就是一万 10 个这样的学校 里的学生集合在一起就大约是一万名学生了 如果说 为帮助学生形成一万的数感 还可以利用直观引入 如出示 10 个 每个都划分成 10 10 10 小正方体的大正方体 那么教学十万 百万 千万 亿等计数单位 就难以给出精确的直观模型了 这时就必须利用学生已有的数 感去建立新的数感 例如利用计数器 先复习学过的计数单位 在此基础上引 导学生一万一万地数 数十次 十个一万就是一个十万 十万十万地数 十个 十万就是一个一百万 从而引出新的计数单位十万 百万 千万 相 邻两个计数单位的进率是学生已有的知识 他们能够感受到新的计数单位是一 万的十倍 一百倍 然后再结合具体事例 引导学生感受大数的实际意义 如 100 万小时相当于一个 114 岁人活的总时数 一秒钟数一个数 那么 数 一千大约需要 17 分钟 数一万大约需要 3 小时 数一百万大约需要 12 天 而 数一亿则需要 3 年多等 这些数据信息的感知 可以让学生借助已有经验理解 数的大小 增强数感 4 4 其他途径 其他途径 除了以上三种方式以外 我们还可以根据教学内容本身的特点 挖掘培养 6 学生数感的其他途径 其中数的读写 大小比较等在培养学生数感方面同样有 着不容忽视的功能 例如 三万零六百 三万零六十 三万零六这三个数都只读一个零 为什 么不会混淆 因为我们把所含计数单位的个数与计数单位都读出来了 写数时 这三个数都要写一个 3 一个 6 和三个 0 只是 3 都写在万位上 6 分别写在百 位 十位 个位上 其他数位上一个单位也没有 就用 0 占位 由此可见 我 们可以利用读数 写数 数的组成 数位顺序的一致性 把这些内容联系起来 教学 这样既便于加深学生对数的实际意义的理解 又发展了学生的数感 同样 比较数的大小也是培养数感的好时机 教学时 不仅仅是让学生单 纯用法则来比较大小 如 位数大的数较大 位数少的数就小 而应进一步问 一问 为什么四位数比三位数大呢 让学生结合具体的实例说一说 最小的四 位数是 1000 比最大的三位数 999 多 1 由此可以推断 任何四位数要比三位 数大 这样的说理其实是数感的再现和运用 说明此时学生们的心里已经有 数 了 除了让学生单纯从数理上分析比较两个数的大小之外 还可以通过一些真 实情境中数的大小比较 强化学生的数感 例如 上海大剧院有座位 1800 个 青少年活动中心剧院有座位 660 个 哪个剧院的座位多 仅仅让学生比较 1800 与 660 的大小 就此打住是不够的 因为这样的比较只是以数学解释数学 教 师应该抓住这一教学情境 追问 你进入活动中心剧院和进入上海大剧院时有 什么不同的感觉 大剧院要大得多 座位多得多 如果我校三 四五年级师生 630 人 要租其中一个剧院 你认为租哪个比较合适 这样让学生在具体的 情境中感受数的实际大小 并在具体的情境和数学的问题的转化过程中 具体 去发现 感受 体验这些数据的大与小 学会怎样用数学的眼光去观察认识周 围的事物 处理有关的问题 从而真正实现对数的理解 发展学生的数感 二 在计算的教学中 帮助学生形成数感 二 在计算的教学中 帮助学生形成数感 计算教学也是数学教学的重要任务 对计算方法的选择 对计算结果的估 计 都与学生的数感有着密切的联系 经过多年的实践研究 发现在计算教学 中帮助学生形成数感的途径与措施很多 比较而言 相对重要 效果明显的途 径及其措施是 重视口算教学 提高估算意识 关注笔算算理 倡导算法多样 化 1 1 重视口算教学重视口算教学 口算既是人人必须具备的基本技能 又是学习笔算 估算的基础 口算教 学中 如何培养学生的数感呢 我们认为加强学生对口算算理的理解和口算方 法的掌握上 循理入法 以理驭法 应该贯穿在口算教学的始终 因为口算 方法只是解决问题的操作程序 口算算理才是算法赖于成立的数学原理 而数 感则是理解口算原理的必要支撑 举个典型的例子 口算因数末尾有 0 的乘法 如 7 800 800 70 课改 以来 一些教师把教学的重点放在让学生自己发现计算规律即口算的方法 一 旦学生得出了算法 先把因数末尾 0 前面的数相乘 再看因数的末尾有几个 0 就在乘得的积的末尾添上几个 0 就认为大功告成 算理的解释弃置不顾 这实际上是放弃了培养学生数感的机会 其实 引导学生由 7 个 8 是 56 推出 7 个 800 是 56 个百 所以 7 800 5600 再由 7 800 是 56 个百 推出 800 70 是 56 个千 也就是 56000 在整个推算过程中 不仅强化了学生对数 7 概念的理解 更有助于学生数感的发展 由于口算的最终要求是学生能不假思索地脱口说出计算结果 因此 在教 学过程中我们常常介绍多种记忆方法 以促进口算的熟练 如果能够挖掘记忆 方法中的算理因素 就能用思维帮助记忆 并将记忆过程与数感的培养结合起 来 以乘法口诀的记忆为例 可以根据口诀的由来找出规律促进 记 也可以 利用相关乘法之间的联系促进 忆 比如 9 6 除了想 9 的乘法口诀 还可 以这样推算 10 6 6 54 又如 7 6 如果忘了六七四十二这句口诀也没关 系 可以通过想它的前一句口诀六六三十六再加上六或后一句口诀六八四十八 再减六来得出结果 通常同数相乘的口诀学生比较容易记住 以此来推算前一 句或后一句的口诀比较实用 这看似是对回忆口诀方法的指导 实则也是对学 生数感的培养 2 提高估算意识 提高估算意识 估算 同我们的生活息息相关 外出购物 开支预算 形体测量等等 取 近似值的比例远远高于求精确值 提高学生的估算意识 不仅给学生的生活实 际带来方便 而且还有利于发展学生的数感 所谓估算意识是指人们在面对一个实际问题时 不急于计算准确的结果 先采用适当的方法估计得数的大致范围 以及对自己或别人的计算结果 自觉 地用估计的方法 判断其是否有明显错误 并成为一种习惯 在教学如 19 12 的两位数乘两位数时 先让学生估算一下 结果大概 是多少 一般学生会有以下估计方法 方法 1 把 19 看作 20 20 12 240 方法 2 把 12 看作 10 19 10 190 方法 3 把 19 看作 20 把 12 看作 10 20 10 200 这三种方法都正确 但结果各不相同 观察 比较后学生们发现 方法 1 把 19 看作 20 估大了 估算结果一定比正确结果大 方法 2 把 12 看作 10 估小了 估算结果一定比正确结果小 方法 3 一个因数估大 一个因数估小 估算结果更接近正确结果 这样 通过三种不同估算结果的比较 学生对计算 结果有了大致的判断 答案范围应在 190 240 之间 如果笔算结果不在此范围 内 说明计算错误 经常有意识地引导学生尝试通过估算预测计算结果的范围 或检验计算结果是否有误 不断积累经验 能使估算意识与数感的培养相得益 彰 事实上 估算本身也反映了学生对实际情境中数和数量大小范围的理解和 把握水平 是数感的一种表现 有了估算的意识 还有助于学生选择相应的策略解决不同情况下的实际问 题 一次 教师创设的问题情境是 世纪公园的停车场里停着一些自行车和三 轮车 共 8 辆 共 23 个轮子 问自行车和三轮车各有几辆 问题一出 有个学 生第一反应就说 三轮车的辆数一定是单数 问他为什么 他自信的答道 因为只有三轮车的辆数是单数 轮子的总个数才会是单数 显然 这就是数 感在起作用 伴随着应用 估算意识自然而然地生成了学生数感的锻炼机会 3 3 关注笔算算理关注笔算算理 所谓笔算就是借助纸和笔把思维的过程完全 清晰地记录下来 学生在记 录的过程中 是否了解每一步的含义 即计算的道理对于掌握计算方法是非常 重要的 而关注笔算的算理 也有利于学生形成数感 笔算教学通常由现实生 活问题引入 因此 学生的生活经验常常能起到支持理解内部意义的作用 例 如 把 73 支铅笔平均分给 3 个小朋友 每个小朋友能分到多少支铅笔 还剩几 8 支铅笔 让学生用小棒动手操作 通常会出现两种分法 其一 先分根 再分捆 先拿出 3 根小棒 每人分到 1 根 再拿出 6 捆小 棒 每人分到 2 捆 然后把剩下的 1 捆小棒拆成 10 根 每人分到 3 根还多出 1 根 因此 每人分到 1 根 2 捆 3 根 24 根 还剩 1 根 其二 先分捆 再分根 先拿出 6 捆小棒 每人分到 2 捆 再把剩下的 1 捆和 3 根合起来分 每人分到 4 根 还剩下 1 根 因此每人能分到 2 捆 4 根 24 根 还剩 1 根 观察 比较两种分法的操作过程可以发现 第一种分法受 3 根小棒的诱惑 先分根 用三次才完成 第二种分法两次就完成了操作活动 显而易见 第二 种分法更简单 更合理 由此 除法计算的过程与方法与等分小棒的操作相互 对照 有效地帮助学生其知其然 知其所以然 计算 73 3 先分捆 再分根 从心理学的角度来分析 物化的操作使抽象的计算得以具体 形象地展现 有利于学生形成计算过程的表象 同时也使学生有了关于除法计算的数感 这 样 数学严密的逻辑思维得到锻炼 算理得到澄清 数感也在增长 有了这样的基础 除法笔算的进一步学习 就能依此类推 这里 也让我 们看到 将算理结为最基本的运算意义和数的组成 即归结为最基本的数学概 2 37 3 6 1 3 2 4 4 3 7 3 6 1 3 1 1 2 2 1 1 3 7 3 9 念 则迁移的范围也就越广 同样 在后继练习过程中 我们也常常有意识地提醒学生关注每一步计算 操作的算理 把学生从不假思索的数字搬弄中拉回来 促使 知行合一 4 4 适当