第四讲-全等三角形与角平分线.doc

第四讲 全等三角形与角平分线1 【知识回顾】1、全等三角形的性质与判定 2、角平分线的性质与判定二【讲解与练习】1如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=90，AB=AD，若四边形ABCD的面积为24cm2，则AC长是cm2如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cmF是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍若用（a，t）表示经过时间t（s）时，OCF、FAQ、CBQ中有两个三角形全等请写出（a，t）的所有可能情况3如图，已知ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，ABC=54，则BCA的度数为4如图所示，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，1=24，2=36，则3=5如图，AC=DB，1=2，则ABC，ABC=6如图，点D在BC上，DEAB于点E，DFBC交AC于点F，BD=CF，BE=CD若AFD=145，则EDF=7如图，已知五边形ABCDE中，ABC=AED=90，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为8如图，在55的正方形网络，在网格中画出点F，使得DEF与ABC全等，这样的格点三角最多可以画出个9如图，O是ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若BAC=70，BOC=10如图，ABC的周长是12，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，则ABC的面积是11如图，OC平分AOB，AOC=20，P为OC上一点，PD=PE，ODOE，OPE=110，则ODP=12如图，ABC中，A=60，ABAC，两内角的平分线CD、BE交于点O，OF平分BOC交BC于F，（1）BOC=120；（2）连AO，则AO平分BAC；（3）A、O、F三点在同一直线上，（4）OD=OE，（5）BD+CE=BC其中正确的结论是（填序号）13如图1，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F（1）求证：AE=CF；（2）求证：EPF是等腰直角三角形；（3）求证：FEA+PFC=45；（4）求证：SPFCSPBE=SABC14如图，ACO为等腰直角三角形（1）若C（1，3），求A点坐标；（2）过A作AEAC，若FEO=COE，求EOF的度数；（3）当ACO绕点O旋转时，过C作CNy轴，M为AO的中点，MNO的大小是否发生变化？15如图，在ABC中，D是边BC上一点，AD平分BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长16如图，在四边形ABCD中，AC平分DAE，DACE，AB=CB（1）试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；（2）若DAC=25，求AEB的度数17如图，在ABC中，AD平分BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法，求证：18如图，ABC中，C=60，AD，BE分别平分CAB，CBA、AD、BE交于点P求证：（1）APB=120；（2）点P在C的平分线上；（3）AB=AE+BD19（1）如图1，在ABC中，ABC=ACB，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若BAC=40，求AMB的度数；（2）如图1，如果将（1）中的BAC的度数改为70，其余条件不变，再求AMB的度数20在ABC中，AD是BAC的平分线（1）如图，求证：；（2）如图，若BD=CD，求证：AB=AC；（3）如图，若AB=5，AC=4，BC=6求BD的长三【作业】1“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量AB=20米，DEC=90，ECD=45，则该花园面积为平方米2如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，AE是过A点的一条直线，CEAE于E，BDAE于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD=3如图，在RtABC中，AC=BC，C=90，AB=8，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论中正确的结论是（1）DFE是等腰直角三角形；（2）四边形CDFE不可能为正方形；（3）DE长度的最小值是4；（4）四边形CDFE的面积保持不变；（5）CDE面积的最大值为44在直角坐标系中，如图有ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与ABC全等，则D点坐标为5如图所示，在ABC中，A=90，BD平分ABC，AD=2cm，AB+BC=8，SABC=6如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和38，则EDF的面积为7如图，在ABC中，ABC=90AB=BC，A（4，0），B（0，2）（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，BC交x轴于点M，AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：AMB=CMN；（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角BOF与等腰直角ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度8如图，在ABC中，已知B=C，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s，BPD与CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？9如图，ADBC，D=90（1）如图1，若DAB的平分线与CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分ABC，CPB=35，求PAD的度数为多少？10观察、猜想、探究：在ABC中，ACB=2B（1）如图，当C=90，AD为BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明参考答案与试题解析1cm2（1，4），（，5），（0，10）解：当COF和FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，OC=6，OF=t，AF=10t，AQ=at，代入得：或，解得：t=4，a=1，或t=5，a=，（1，4），（，5）；同理当FAQ和CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，10=10t，6at=at，此时不存在；因为CBQ最长直角边BC=10，而COF的最长直角边不能等于10，所以COF和BCQ不全等，F，Q，A三点重合，此时COF和CBQ全等，此时为（0，10）故答案为：（1，4），（，5），（0，10）3424605DCB，DCB65574解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，由题中条件可得RtABCRtAEF，ACDAFD，SABCDE=2SADF=2DFAE=222=4故答案为：484个912510181113012（1）（2）（4）（5）（填序号）13证明：（1）连结AP，EF；ABC为等腰直角三角形，且点P为斜边BC的中点，PA=PB=PC，PABC；而EPF=90，APF=BPE，PAC=PBA=45，PAF=PBE=135；APFBPE（ASA），AF=BE，而AB=AC，AE=CF（2）APFBPE，PF=PE，而EPF=90，EPF为等腰直角三角形（3）APFBPE，PFA=PEB，FEA+PFC=FEA+PEB=45（4）APFBPE，SAPF=SPBE，SPFCSPBE=SPFCSAPF=SAPC，而，SPFCSPBE=SABC14解：（1）作CDy轴，ABDC延长线于点B，BAC+BCA=90，BCA+DCO=90，BAC=DCO，ABCCDO（AAS），BC=OD=3，AB=CD=1，A点坐标（4，2）；（2）EOF=45；（3）不变，理由如下：作MKON于K点，MFNC于F点，连接MC，MFC=CNO=MKN=90，FMK=90，四边形MKNF为矩形，AC=CO，M是AO中点，CMO=90，CM=MO，CMO=CMK+KMO，FMK=FMC+CMK，KMO=FMC，FMCKMO（AAS），FM=MK，矩形MKNF为正方形，MNO=4515解：AD平分BACBAD=CADADEADC（SAS）DE=DCBC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）16（1）答：BE垂直平分AC，证明：AC平分DAE，DAC=EAC，DACE，DAC=ACE，ACE=EAC，EA=EC，E在AC的垂直平分线上，AB=CB，B在AC的垂直平分线上，BE垂直平分AC；（2）解：AC是DAE的平分线，DAC=CAE=25，又DAEDAC=ACE=25CAE=ACE=25AE=CE，AEC=130，AEBCEB，AEB=CEB，AEB=（360AEC）=11517面积法18证明：（1）C=60，AD、BE是ABC的角平分线，ABP=ABC，BAP=BAC，BAP+MBP=（ABC+BAC）=（180C）=60，APB=120；（2）如图1，过P作PFAB，PGAC，PHBC，AD，BE分别平分CAB，CBA，PF=PG，PF=PH，PH=PG，点P在C的平分线上；（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PMAD是BAC的平分线，PAM=PAE，AMPAEP，APM=APE=180APB=60，BPM=180（APM+APE）=60，BPD=APE=60，BPM=BPD，BE是ABC的角平分线，MBP=DBP，BOMBOD，BM=BD，AB=AM+BM=AE+BD19解：ABC=ACB，BAC=40，ABC=70，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，AM=BM，BAM=ABC=70，AMB=180ABCBAM=40；（2）ABC=ACB，BAC=70，ABC=55，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，AM=BM，BAM=ABC=55，AMB=180ABCBAM=7020解：（1）如图，证明：作DEAB于E，DFAC于F，AD是BAC的平分线，DE=DF；（2）BD=CD，SABD=SACD由（1）的结论，AB=AC；（3）如图，过A作AEBC，垂足为E，由（1）的结论，BD=，DC=【作业】20026cm3（1）4（2016吉安模拟）在直角坐标系中，如图有ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与ABC全等，则D点坐标为（0，2）或（2，2）或（2，2）58cm2667解：（1）作CDBO，CBD+ABO=90，ABO+BAO=90，CBD=BAO，ABOBCD（AAS），BD=AO=4，CD=BO=2，C点坐标（2，2）；（2）（3）作EGy轴，BAO+OBA=90，OBA+EBG=90，BAO=EBG，BAOEBG（AAS），BG=AO，EG=OB，OB=BF，BF=EG，EGPFBP（AAS），PB=PG，PB=BG=AO=28解：（1）点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP全等，理由是：AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，B=C，BD=5厘米，BP=CQ=3t厘米=3厘米，CP=8厘米3厘米=5厘米=BD，DBPPCQ（SAS）；（2）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使BPD与CQP全等，BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（83t）厘米，CQ=xt厘米，B=C，当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，BPD与CQP全等，即3t=xt，5=83t，解得：x=3（不合题意，舍去），3t=83t，5=xt，解得：x=，即当点Q的运动速度为厘米/时时，能够使BPD与CQP全等9解：（1）点P是线段CD的中点理由如下：过点P作PEAB于E，ADBC，D=90，C=180D=90，即PCBC，DAB的平分线与CBA的平分线交于点P，PD=PE，PC=PE，PC=PD，点P是线段CD的中点；（2）过点P作PEAB于E，ADBC，D=90，C=180D=90，即PCBCPBEPBC（AAS），EPB=CPB=35，PE=PC，PC=PD，PD=PE，RtPADRtPAE（HL），APD=APE，APD+APE=180235=110，APD=55，PAD=90APD=3510解：（1）过D作DEAB，交AB于点E，如图1所示，AD为BAC的平分线，DCAC，DEAB，DE=DC，在RtACD和RtAED中，AD=AD，DE=DC，RtACDRtAED（HL），AC=AE，ACB=AED，ACB=2B，AED=2B，又AED=B+EDB，B=EDB，BE=DE=DC，则AB=B